例析三類分段函數(shù)問題的解法

金丙楠

分段函數(shù)是指在不同區(qū)間上有不同解析式的函數(shù)．因而分段函數(shù)問題較為復(fù)雜，需靈活運(yùn)用分類討論思想，分別對(duì)不同區(qū)間上的函數(shù)解析式、性質(zhì)、圖象進(jìn)行討論．本文結(jié)合幾個(gè)典型的例子，談一談如何解答有關(guān)分段函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性問題．

一、有關(guān)分段函數(shù)的單調(diào)性問題

若定義域的每一個(gè)子區(qū)間上的函數(shù)都是增函數(shù)（或減函數(shù)），則該分段函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)（或減函數(shù)）．求解有關(guān)分段函數(shù)的單調(diào)性問題，首先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，或?qū)Ш瘮?shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷每個(gè)區(qū)間段上函數(shù)的單調(diào)性．要注意的是，對(duì)于具有單調(diào)性的分段函數(shù)，需確保定義域內(nèi)每個(gè)子區(qū)間上的每個(gè)x對(duì)應(yīng)的y都是越來越大或越來越?。?/p>

本題看似較為復(fù)雜，其實(shí)卻較簡(jiǎn)單，只需明確當(dāng)x<1時(shí)，f（x）=（3a-1）x+4a為一次函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）= logax為對(duì)數(shù)函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義建立不等式，即可解題．

二、有關(guān)分段函數(shù)的奇偶性問題

解答有關(guān)分段函數(shù)的奇偶性問題，需首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義來進(jìn)行求解．一般地，若在定義域內(nèi)廠（-x）= -f（動(dòng)，則該函數(shù)為奇函數(shù)；若f（x）=f（-x），則該函數(shù)為偶函數(shù)．

三、有關(guān)分段函數(shù)的周期性問題

若某個(gè)函數(shù)f（x）的周期為T，則f（x）=f（x+T），分段函數(shù)也具有該性質(zhì)．解答有關(guān)分段函數(shù)的周期性問題，需根據(jù)已知條件和函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性，借助已知區(qū)間上的函數(shù)式或值，求得未知區(qū)間上的函數(shù)式或者值，以便明確分段函數(shù)的周期T，從而利用函數(shù)的周期性來解題．

雖然分段函數(shù)與簡(jiǎn)單基本函數(shù)有所不同，但是分段函數(shù)卻是由幾個(gè)簡(jiǎn)單基本函數(shù)構(gòu)成的．因此在解答分段函數(shù)問題時(shí)，要靈活運(yùn)用分類討論思想，將問題轉(zhuǎn)化為定義域的幾個(gè)子區(qū)間上的簡(jiǎn)單基本函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性問題，然后根據(jù)簡(jiǎn)單基本函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性的定義進(jìn)行求解．