利用“數(shù)學(xué)活動(dòng)”培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的策略

欒長(zhǎng)偉

（大連教育學(xué)院）

《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》課題組負(fù)責(zé)人就研究成果答記者問(wèn)時(shí)指出，在價(jià)值定位方面，核心素養(yǎng)是黨的教育方針的具體化，是連接宏觀教育觀念、培養(yǎng)目標(biāo)與具體教育教學(xué)實(shí)踐的中間環(huán)節(jié)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)的理念，需要對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行把握和設(shè)計(jì)。教學(xué)中，要讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)、合作研討、創(chuàng)新實(shí)踐去體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與熱情。

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊一般放在教材章節(jié)知識(shí)學(xué)習(xí)之后，是對(duì)章節(jié)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用的檢驗(yàn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活之間的關(guān)聯(lián)性，在滲透模型思想等數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，化枯燥為趣味?！皵?shù)學(xué)活動(dòng)”板塊的教學(xué)要遵循主體性原則，即學(xué)生是教學(xué)過(guò)程的直接對(duì)象，因?yàn)橐磺薪虒W(xué)活動(dòng)都是圍繞學(xué)生開展的；要遵循發(fā)展性和適應(yīng)性有機(jī)融合原則，既要符合學(xué)生現(xiàn)階段的認(rèn)知特點(diǎn)，又要讓學(xué)生經(jīng)過(guò)一定的努力能準(zhǔn)確掌握相關(guān)知識(shí)，從而有效促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展；要遵循創(chuàng)造性和過(guò)程性統(tǒng)一原則，即需要以周密的計(jì)劃作為指導(dǎo)來(lái)保障活動(dòng)流程的順利進(jìn)行，同時(shí)也能引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮自身創(chuàng)造能力；要遵循適當(dāng)?shù)娜の缎栽瓌t，即讓“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊的教學(xué)成為一個(gè)寓教于樂的學(xué)習(xí)過(guò)程，從而使學(xué)生更加主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。

基于此，我將“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊的教學(xué)大體分為創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題，逐層分析、初步建模，推理論證、完善模型，應(yīng)用模型、解決問(wèn)題這四大環(huán)節(jié)，在這四個(gè)環(huán)節(jié)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

數(shù)學(xué)離不開現(xiàn)實(shí)生活，課堂中問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)也是為了讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)性。常見新授課的問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)有“從實(shí)際問(wèn)題引入”和“由數(shù)學(xué)知識(shí)本身引入”兩種，我們要防止問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)的形式化，切記“問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)關(guān)鍵在問(wèn)題，而不在情境”。“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊有它的特殊性，我們要依據(jù)教材“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊中所提出的問(wèn)題，通過(guò)真實(shí)數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生置身于現(xiàn)實(shí)生活的具體情境中。這樣，一方面會(huì)讓學(xué)生體會(huì)到他們要解決的問(wèn)題就是自己身邊的問(wèn)題，同時(shí)也會(huì)提高研究問(wèn)題的興趣。即使遇到的是單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，置身于情境中，也能凸顯學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有挑戰(zhàn)性，能吸引他們主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

在人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)十四章“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊中的導(dǎo)入題目如下。

觀察下面的等式：

15×15=1×2×100+25=225

25×25=2×3×100+25=625

35×35=3×4×100+25=1225

找出規(guī)律，證明，并求出95×95的值。

對(duì)于該題目的處理，如果直接拋給學(xué)生讓其解答，就會(huì)顯得枯燥，部分學(xué)生可能會(huì)有一種“刷題”的感覺，這時(shí)教師可先給學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)生活情境。

在一次速算比賽中有這樣的3道題，15×15，25×25，35×35。小明看到后在演算紙上寫出了如下幾個(gè)等式：15×15=1×2×100+25=225，25×25=2×3×100+25=625，35×35=3×4×100+25=1225。他很快就得出了答案。你能說(shuō)說(shuō)小明是如何計(jì)算的嗎？并試著求出95×95的值。

這樣設(shè)計(jì)，既沒有增加原來(lái)問(wèn)題的復(fù)雜程度，又提高了學(xué)生研究問(wèn)題的興趣，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)和生活的關(guān)聯(lián)性。這種情境的設(shè)計(jì)雖然不夠深入，形式上更重一點(diǎn)，但是如果結(jié)合在課堂上隨機(jī)進(jìn)行速算比賽，將課堂現(xiàn)場(chǎng)生成的方法作為我們研究的問(wèn)題起點(diǎn)，就會(huì)讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加“順其自然”。

在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)知識(shí)背景、設(shè)置教學(xué)情境時(shí)，應(yīng)該力求以教學(xué)內(nèi)容為主，但也可根據(jù)實(shí)際情況，滲透人文、科學(xué)、社會(huì)等多方面的教育內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)“五育并舉”。教師要能夠靜下心來(lái)研究，要結(jié)合學(xué)生身邊可感、可知的具體生活案例來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。例如，人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)中第八章的“數(shù)學(xué)活動(dòng)2”，就是對(duì)“與吸煙有關(guān)的疾病的人數(shù)”問(wèn)題的調(diào)查。我們應(yīng)讓學(xué)生真正去搜集資料、分析案例，通過(guò)開展調(diào)查、收集資料，學(xué)生不僅能體會(huì)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的價(jià)值，也能對(duì)吸煙的危害有所了解。

二、逐層分析，初步建模

很多教師都認(rèn)為，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊教學(xué)的一般模式是“問(wèn)題探究模式”，即知識(shí)的生成。事實(shí)上，更科學(xué)的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊教學(xué)模式應(yīng)該是促使學(xué)生去自我發(fā)現(xiàn)。這就需要我們逐層去分析，同時(shí)將問(wèn)題情境中的實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，建立數(shù)學(xué)模型。這樣的設(shè)計(jì)，主要目的是培養(yǎng)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊的教學(xué)，還要使學(xué)生具備利用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，抽象、簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題的能力。

如上一環(huán)節(jié)中提出的問(wèn)題，學(xué)生需要先從中分析出解決的是哪種類型的計(jì)算問(wèn)題，這種類型的問(wèn)題有什么樣的規(guī)律可循，需要找到規(guī)律并用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)。學(xué)生在這一部分通過(guò)對(duì)三個(gè)表達(dá)式的觀察，獨(dú)立思考后不難發(fā)現(xiàn)，需要解決的是十位數(shù)相同，個(gè)位數(shù)為5的兩個(gè)數(shù)相乘的計(jì)算問(wèn)題，也不難得出表達(dá)式（10n+5）2=n（n+1）×100+25。這其實(shí)就完成了模型的初步構(gòu)建。在這個(gè)過(guò)程中，教師需要給學(xué)生足夠的獨(dú)立思考與完成初步建模的時(shí)間，培養(yǎng)獨(dú)立分析、解決問(wèn)題能力。

在構(gòu)建模型的過(guò)程中，還可以根據(jù)不同活動(dòng)內(nèi)容采用不同的設(shè)計(jì)模式。例如，在遇到形成性和應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，可以采用探究式設(shè)計(jì)模式，突出合情推理、演繹推理、數(shù)學(xué)建模、合作交流等方法。以“一次函數(shù)的圖象”的第二課時(shí)為例，在此前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)正比例函數(shù)的圖象及其特點(diǎn)已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)。教學(xué)中，可先讓學(xué)生在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中做出y=5x，y=-x+6，y=-x，y=2x+6這四個(gè)函數(shù)的圖象。然后，結(jié)合圖象內(nèi)容提出問(wèn)題：

（1）x的值從0開始逐步增大時(shí)，y=5x與y=2x+6這兩個(gè)函數(shù)的值，哪一個(gè)最先達(dá)到20？這可以反映出什么問(wèn)題？

（2）直線y=-x和y=-x+6之間的位置關(guān)系是怎樣的？

（3）直線y=-x+6和y=2x+6之間的關(guān)系是怎樣的？

（4）從一次函數(shù)的圖象來(lái)看，在y=kx+b中，k和b的取值對(duì)函數(shù)的圖象產(chǎn)生了怎樣的影響？

最后，讓學(xué)生圍繞這些問(wèn)題進(jìn)行自主思考與探究。我發(fā)現(xiàn)，這種以問(wèn)題為中心的探究方式十分符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，適當(dāng)提高探究的難度，還能促進(jìn)新知識(shí)的建構(gòu)。

同樣，人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第三章中的“數(shù)學(xué)活動(dòng)1”中“對(duì)山水市居民人均收入的研究”，就是一種應(yīng)用性問(wèn)題，我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候，可以采用數(shù)學(xué)建模的方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析探究。這樣，可以充分體現(xiàn)學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中的主動(dòng)性、自主性和創(chuàng)造性，實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主體，提高他們的理解能力及創(chuàng)造性思維能力，進(jìn)而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、推理論證，完善模型

合情推理是一種“比較自然的、合乎情理的，似乎為真”的推理，它是根據(jù)已有的數(shù)學(xué)事實(shí)和正確的數(shù)學(xué)結(jié)論，或以個(gè)人數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`）和數(shù)學(xué)直觀進(jìn)行推測(cè)而得到某些結(jié)果的一種推理，常表現(xiàn)為憑借直觀、聯(lián)想、直覺等非邏輯思維形式，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、特殊和一般等方法直接獲得某種數(shù)學(xué)結(jié)論。合情推理適用于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在初中數(shù)學(xué)課堂中具有重要價(jià)值。事實(shí)上，對(duì)問(wèn)題的質(zhì)疑和探索也是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的一種培養(yǎng)，這種思維方式可以拓展到數(shù)學(xué)的其它知識(shí)、拓展到其他學(xué)科、拓展到學(xué)生進(jìn)入社會(huì)后對(duì)新鮮事物的思考。演繹推理是從一般性的前提出發(fā)，通過(guò)推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過(guò)程。演繹推理主要用于驗(yàn)證結(jié)論。數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)發(fā)展必不可少的一部分。我們往往對(duì)演繹推理的認(rèn)識(shí)要高于合情推理，因?yàn)槲覀円恢痹趯?duì)很多問(wèn)題，尤其是數(shù)學(xué)問(wèn)題，甚至是數(shù)學(xué)試題進(jìn)行驗(yàn)證。而“數(shù)學(xué)活動(dòng)板塊”的教學(xué)則主要讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)于自己構(gòu)建的模型進(jìn)行推理論證，并在推理論證過(guò)程中對(duì)模型進(jìn)一步完善，得出模型的實(shí)際含義，是一種不完全歸納法，是由數(shù)到式的過(guò)程，是從合情推理到演繹推理的過(guò)程。

對(duì)于之前提到的問(wèn)題，學(xué)生在時(shí)間足夠和獨(dú)立思考之下，是可以想到利用完全平方公式對(duì)等式（10n+5）2=n（n+1）×100+25進(jìn)行驗(yàn)證的。但是，這里面對(duì)變量[n]的取值情況是學(xué)生容易忽略的。在教學(xué)時(shí)，我們可以這樣問(wèn)學(xué)生：在這個(gè)等式中，出現(xiàn)了一個(gè)變量n，但是我不知道它代表了什么，誰(shuí)可以解答一下呢？這樣，在學(xué)生建立初步模型的基礎(chǔ)上，給學(xué)生一個(gè)提示，一個(gè)補(bǔ)充和完善的機(jī)會(huì)，讓他們體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。為了培養(yǎng)學(xué)生之間溝通合作的能力，教師在課堂教學(xué)中也可適當(dāng)增加小組合作環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)已經(jīng)構(gòu)建的模型進(jìn)行完善，得出結(jié)果的實(shí)際含義，為下一步模型的應(yīng)用打好基礎(chǔ)。但是，無(wú)論采取哪種方式，教師在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，都應(yīng)該是引導(dǎo)者角色，主導(dǎo)權(quán)應(yīng)該在學(xué)生手里。只有這樣，“活動(dòng)”才能有意義與價(jià)值，才能提高學(xué)生的建模能力和培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、應(yīng)用模型，解決問(wèn)題

數(shù)學(xué)模型的形成一般是為了解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，數(shù)學(xué)學(xué)科是在不斷形成數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上發(fā)展和進(jìn)步的。模型來(lái)源于生活，又反過(guò)來(lái)影響生活。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用也是重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。以上案例中，在經(jīng)過(guò)了之前對(duì)于問(wèn)題的分析和模型的構(gòu)建過(guò)程之后，學(xué)生已經(jīng)掌握了此類計(jì)算問(wèn)題的解決方法。在教學(xué)時(shí)我們可以先讓學(xué)生用直接計(jì)算的方法計(jì)算95×95，再用構(gòu)造的模型去解決，充分體會(huì)用數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的簡(jiǎn)單與方便，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性。再如，計(jì)算53×57，38×32，84×86，71×79的積，找出規(guī)律并證明，然后利用規(guī)律計(jì)算58×52，63×67，752，952。可先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)53×57，38×32，84×86，71×79這四組數(shù)中，“兩個(gè)數(shù)的十位上的數(shù)相同，個(gè)位上的數(shù)的和等于10”這一規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，建立起解決這一類題目的數(shù)學(xué)模型。最后，通過(guò)建立起的模型，拓展應(yīng)用，再去計(jì)算58×52，63×67，752，952。

這樣的教學(xué)方式就是對(duì)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊內(nèi)容的升華。在我們進(jìn)行完一系列的數(shù)學(xué)建模引導(dǎo)之后，學(xué)生已經(jīng)對(duì)這一模型有了較為深刻的體會(huì)。此時(shí)，我們只需要將問(wèn)題拋出，學(xué)生就可以運(yùn)用類比的方法在原有模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)修改，通過(guò)適當(dāng)?shù)男〗M合作交流，解決這一問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程中就培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題、構(gòu)建模型、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)還培養(yǎng)了自主思考、獨(dú)立完成、合作溝通的能力，也提升了核心素養(yǎng)。

總之，教師要準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)本質(zhì)與學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際特點(diǎn)，利用具有針對(duì)性的模式組織數(shù)學(xué)教學(xué)。“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊的教學(xué)模式不能固化，隨著教學(xué)過(guò)程的深入推進(jìn)，教師應(yīng)該及時(shí)對(duì)相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行調(diào)整，更好地發(fā)揮出“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊的積極作用。在日常教學(xué)中，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊的教學(xué)要重視“活動(dòng)”，重視培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用創(chuàng)新能力。通過(guò)各個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生真正“活動(dòng)”起來(lái)，體驗(yàn)“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。此外，在“數(shù)學(xué)活動(dòng)”板塊的教學(xué)中，教師還應(yīng)重視學(xué)生提出、分析和解決問(wèn)題的能力，要不斷增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。