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    深度理解促思維靈活
    ——一道高考試題的多維探究及教學建議

    2022-11-23 01:07:14甘肅省武威第八中學張雪基
    中學數(shù)學雜志 2022年21期
    關(guān)鍵詞:證法余弦定理正弦

    甘肅省武威第八中學 張雪基

    解三角形是高中數(shù)學的重要知識點,是高考考查的常見問題類型.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中,解三角形位于必修課程主題三,幾何與代數(shù),第一單元,平面向量及應(yīng)用.要求借助向量的運算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理;能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.角和邊是三角形中的兩類基本量,它們之間的關(guān)聯(lián)由內(nèi)角和定理、兩邊之和大于第三邊、大邊對大角、正余弦定理等構(gòu)建.問題求解過程中還會涉及和差角、倍半角、和差化積、積化和差公式等三角變換工具.這些定理、公式的本質(zhì)是什么?知識的背后又蘊含著怎樣的策略、方法和思想?

    筆者以一道高考試題為例,帶著上述問題思考與探究,建議教師在教學中要讓學生養(yǎng)成從基本概念和原理出發(fā)思考問題、解決問題的習慣,深度理解概念和原理的實質(zhì)性聯(lián)系,才能有效增強學生思維的靈活性、深刻性和反思性.

    1 試題呈現(xiàn)

    (2022年全國高考乙卷理科第17題)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC·sin(A-B)=sinBsin(C-A).

    (1)證明:2a2=b2+c2;

    2 解法探究及教學建議

    2.1 第(1)問解法探究及教學建議

    證法一:由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)及和差角公式,得

    sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinC·cosA-sinBcosCsinA.

    由正弦定理,得

    accosB-bccosA=bccosA-accosC.

    由余弦定理,得

    整理得a2=b2+c2-a2,故2a2=b2+c2成立.

    教學建議:已知角的關(guān)系,證明邊的關(guān)系,是這個問題的本質(zhì).正弦定理、余弦定理、大邊對大角是三角形中最基本的邊角關(guān)系,這些關(guān)系背后蘊含的基本策略,是把三角形中邊與角的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.正余弦定理教學時,應(yīng)通過實例呈現(xiàn)兩個定理的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程,讓學生感受到兩個定理在“邊角互化”中的強大功能.

    證法二:由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),結(jié)合內(nèi)角和定理、誘導公式,得

    sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A).

    由和差角公式,得sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2Ccos2A-cos2Csin2A.

    由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,得

    sin2A(1-sin2B)-cos2Asin2B=sin2C(1-sin2A)-cos2Csin2A.

    整理,得2sin2A=sin2B+sin2C.

    由正弦定理得2a2=b2+c2成立.

    教學建議:三角形內(nèi)角和定理是小學內(nèi)容,學生特別熟悉,但在解三角形問題中最容易被忽視,它是特別重要的角與角之間的關(guān)系,是角之間建立聯(lián)系的有效途徑.而和差角公式、誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式則是解三角形的必備工具.由2sin2A=sin2B+sin2C獲得2a2=b2+c2的過程,背后蘊含著正弦定理“邊角”互化的轉(zhuǎn)化思想及形式“統(tǒng)一”的思維.

    證法三:由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),結(jié)合內(nèi)角和定理、誘導公式,得

    sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A).

    由積化和差公式,得

    即cos 2B+cos 2C=2cos 2A.

    由余弦的二倍角公式,得

    1-2sin2B+1-2sin2C=2(1-2sin2A).

    即2sin2A=sin2B+sin2C.

    由正弦定理得2a2=b2+c2成立.

    教學建議:“和差化積”與“積化和差”公式常被教師們認為“無需掌握”,筆者認為它們本質(zhì)上是“和差角”公式的外延,有必要讓學生在實際問題的解決過程中體會其功能.實際上,《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》明確要求學生能夠推導出兩組公式,但不要求記憶,2019年版北師大教材中,單獨列出一節(jié)講述這部分內(nèi)容.

    證法四:由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)及差角公式,得sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsinA.

    整理,得

    sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinB·sinCcosA.

    逆用正弦的和角公式,得

    sinAsin(B+C)=2sinBsinCcosA.

    由內(nèi)角和定理及誘導公式,得

    sin2A=2sinBsinCcosA.

    由正弦定理,得a2=2bccosA.

    所以2a2=b2+c2成立.

    教學建議:相較于證法一,證法四用差角公式展開后并沒有直接利用正弦定理把獲得的式子轉(zhuǎn)化為邊角混合式,而是冷靜觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu),將其轉(zhuǎn)化為sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinCcosA,體現(xiàn)出對結(jié)構(gòu)式的整體把握,以及對正弦和角公式的深度理解.三角變換涉及到和差角公式、誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍半角公式等.公式教學不能“一個公式、三點注意”就草草了事,應(yīng)在公式為什么會有?怎樣來?結(jié)構(gòu)是怎樣的?與其他公式有何關(guān)系?有什么核心功能?等這些核心問題上下功夫.能夠準確回答上述問題,應(yīng)用時才能得心應(yīng)手.

    證法五:在△ABC中,sinCsin(A-B)=sinB·sin(C-A),sinC≠0且sinB≠0.

    若sin(A-B)=0,則sin(C-A)=0,有A=B且C=A成立,即A=B=C,所以a=b=c.

    此時2a2=b2+c2成立.

    若sin(A-B)≠0,則sin(C-A)≠0,由sinC·sin(A-B)=sinBsin(C-A),得

    整理,得

    2bccosA=a(ccosB+bcosC).

    由余弦定理,得

    所以2a2=b2+c2成立.

    教學建議:三角形中內(nèi)角對應(yīng)的三角函數(shù)值除具有一般三角函數(shù)的性質(zhì),還具有其特殊性,如sinC≠0且sinB≠0正是基于三角形的特征獲得,要適時讓學生認清“特殊”和“一般”的關(guān)系.這種證法看似冗雜,且最后又回到正余弦定理的應(yīng)用上去,但學生在實際探究中,常會出現(xiàn)這種想法,教師應(yīng)鼓勵學生多角度思考問題.方法的多樣性能夠增強學生對問題認識的深刻性,更能有效增強學生思維的靈活性.

    2.2 第(2)問解法探究及教學建義

    解法一:由⑴知2a2=b2+c2,又a=5,所以

    b2+c2=50.

    所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,故b+c=9.

    所以△ABC的周長為a+b+c=14.

    教學建議:“整體”觀是此法和下述兩種方法中的一種最基本的觀念,這種觀念源于對余弦定理結(jié)構(gòu)式的整體把握和深度理解,有了這種觀念才能把思維聚焦在b+c的求解上.學生對運算表達式整體結(jié)構(gòu)的認識,是明晰運算對象、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果的前提.實際教學中教師應(yīng)教會學生如何有效把握運算表達式的整體結(jié)構(gòu).

    解法二:由a2=b2+c2-2bccosA及2a2=b2+c2,得a2=2a2-2bccosA,即a2=2bccosA.

    又2a2=b2+c2=(b+c)2-2bc,所以(b+c)2=81,即b+c=9.

    故△ABC的周長為a+b+c=14.

    故△ABC的周長為14.

    3 反思

    “新”高考特別強調(diào)考查基礎(chǔ).要求學生深刻理解高中數(shù)學基本概念、基本思想方法以及數(shù)學問題的本質(zhì),重視數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系.教師應(yīng)在高中數(shù)學教學中多設(shè)置一些富有探究性的數(shù)學教學活動,引導學生深化數(shù)學概念,內(nèi)化數(shù)學方法;在拓展學生的數(shù)學知識視野上下功夫,著力提升學生應(yīng)用數(shù)學知識的靈活性和創(chuàng)造性及關(guān)鍵能力.

    “新”高考強化對思維方法的考查.體現(xiàn)在以引導學生深度理解數(shù)學概念和深刻認識數(shù)學思想方法為載體提升學生思維的靈活性,指向思維的靈活性以深化基礎(chǔ)性的考查.要求學生具有較強的空間想象能力和分析問題的能力,能在抽象的情境中發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵.同時要求學生具備直觀想象、靈活運算、猜想與證明等方面的能力.

    “新”高考對中學數(shù)學教學的引領(lǐng)性告訴我們,數(shù)學教學的核心任務(wù)之一是要培養(yǎng)學生的思維能力,使學生在掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識的過程中,學會感知、觀察、歸納、類比、想象、抽象、概括、推理、證明和反思等邏輯思考的基本方法.教師在教學中要引導學生重視數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程,多設(shè)置一些可以對學生進行思維訓練的教學活動,通過多舉措給學生提供思維訓練的機會給學生,鍛煉學生的思維能力,引導學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界、數(shù)學的思維思考世界、數(shù)學的語言表達世界.

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