高中數(shù)學思維可視化課堂的建構
——以“拋物線”教學為例

郭夢婷，吳利敏

(1.海寧市第一中學，浙江 海寧 314400；2.湖州師范學院 理學院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

數(shù)學研究的對象是抽象概括的，學生在學習過程中需要將抽象的問題形象化、具體化.高中數(shù)學課堂的傳統(tǒng)教學方式是教師講授知識點，在完成單向傳遞后，讓學生進行大量的練習.這樣的課堂教學環(huán)境沉悶，學生的學習效果較差.以“拋物線”教學為例，若教師在教學時直接給出“拋物線”的概念，再讓學生通過課堂練習進行鞏固，看似完成了預定的教學目標，但在實際作業(yè)批改中會發(fā)現(xiàn)，有關“拋物線”概念的簡單應用題仍有很大一部分學生出錯，教學效率低下.

《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》指出：“深化課堂教學改革要積極探索基于情境、問題導向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學.”為提升學生的數(shù)學思維能力，提高教學效率，實現(xiàn)深度學習，教師需要改變傳統(tǒng)的教學方式，借助教具、信息技術、圖示等建構高中數(shù)學思維可視化課堂，將抽象的思維過程形象化地傳遞給學生[1]，讓學生在可視化情景中自主體驗、自主探究.

1 高中數(shù)學思維可視化課堂的建構范式

思維可視化(visualization)是指利用圖示、圖像等輔助工具和信息技術，將隱性的思維路徑顯性地表達出來.高中數(shù)學思維可視化課堂的建構是指通過實物教具、信息手段、圖示技術3種可視化策略，將思維路徑直觀地呈現(xiàn)出來，以實現(xiàn)教學過程、教學方式、教學內(nèi)容的全面可視化，從而構建完整的知識體系的過程.高中數(shù)學思維的輸出需要不同的表達方式，3種可視化策略不僅能使教學方式可視化，更重要的是可利用實物教具、信息手段進行動手操作和演示實踐.教師可以從操作過程中捕捉學生學習的思維狀態(tài)，學生可以從操作活動中探析概念生成的思維路徑，從而使教學過程可見.而利用圖示技術(包括概念圖、流程圖、思維導圖等)呈現(xiàn)思考過程，則可以建立知識框架，梳理內(nèi)在聯(lián)系，厘清解題邏輯，讓教學內(nèi)容直觀呈現(xiàn).

在高中數(shù)學課堂中，思維可視化是指將抽象的數(shù)學思維路徑直觀地呈現(xiàn)出來，從而揭露數(shù)學本質；在以學為中心的課改導向下，思維可視化課堂強調利用情景、教具等學習環(huán)境要素充分發(fā)揮學生的主動性，使學生以“研究者”的身份參與“發(fā)現(xiàn)數(shù)學”的過程；在國家培養(yǎng)拔尖人才的育人思路下，思維可視化課堂變被動的接受式學習為主動的探索式學習，使創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)得以變現(xiàn).高中數(shù)學思維可視化課堂的建構范式見圖1.

圖1 高中數(shù)學思維可視化課堂的建構范式

2 高中數(shù)學思維可視化課堂的實踐

在高中數(shù)學思維可視化課堂中，3種可視化策略可以并用，也可以交替使用.根據(jù)不同的教學情景，教師需要進行合理地選擇.下面以“拋物線”教學為例，建構高中數(shù)學思維可視化課堂.

2.1 實物教具：減少認知負荷

在物理、化學的教學中，教師常常會借助實物教具進行實驗，讓學生在觀察和分析中習得知識.一般來說，學生對數(shù)學學習的認識就是概念、公式、解題.但實際上，除抽象的邏輯推理外，很多概念定理的產(chǎn)生都是通過實驗得出的[2].實物教具的使用能夠讓思維路徑通過實物外顯出來，讓學生體驗概念形成的過程，減少學生的認知負荷.

教學環(huán)節(jié)1“折”紙游戲，體驗過程——推進知識發(fā)生的可視化.

2.1.1 動手實驗，初步感知

課前給學生發(fā)一張標有點A，B，C，…，J的長方形紙，其中點A，B，…，J(除點F外)不均勻地分布在長方形的一條邊上(A，B，C，D與J，I，H，G分別關于點E對稱)，點F靠近標有點A，B，…，J(除點F外)的邊，且左右居中，并讓學生在課前折出過點A且垂直點A所在邊的垂線.此處，限制點的數(shù)目是為控制折紙時間，避免折痕過多造成干擾，而設置點的位置排布是為了讓學生在課堂上能較快地看到一條明顯的拋物線，點A，B，…，J(除點F外)對稱分布能讓拋物線更加完整，點F靠近標有點A，B，…，J(除點F外)的一邊能讓拋物線更加陡峭清晰，課前折好垂線則有利于學生快速折紙標點，并能幫助學生較快地發(fā)現(xiàn)拋物線的定義.課堂上，在學生認識“拋物線”前，讓學生先玩一個“折紙”游戲(圖2)：①把A點對折到F點，使兩點重合，并用力按壓得到折痕；②標出折痕與過A點垂線的交點；③重復以上步驟，把所有的點對折到F點，標出交點，讓學生觀察這些點連成的光滑曲線是什么圖形.經(jīng)觀察，學生發(fā)現(xiàn)折紙的結果是拋物線，見圖3.

圖2 折紙游戲

圖3 折紙結果

折紙游戲不僅能激發(fā)學生的求知欲和學習主動性，還能通過實物教具的可視化策略，讓學生直觀地感知拋物線的概念.

2.1.2 類比分析，思考緣由

在學生觀察到實驗結果后，教師引導學生分析實驗過程，探折紙游戲，類比橢圓、雙曲線的定義并思考：拋物線是否與橢圓、雙曲線一樣是通過兩個定點來定義的？折紙過程涉及的關鍵元素是什么？有的學生認為關鍵元素是點A,B,C,…,J，有的學生認為是點F和直線AB.此時，教師追問：到底是直線AB，還是A,B,…,J(除點F外)這9個點？這些點有什么共同特點？學生通過觀察分析發(fā)現(xiàn)，這9個點(除點F外)都在直線AB上，如果在直線AB上再找一個點對折到點F，得到的交點還是在拋物線上[3].

學生通過類比分析、自主學習，發(fā)現(xiàn)拋物線是通過一個定點和一條定直線來定義的.而在傳統(tǒng)的“拋物線”授課中，教師直接給出“拋物線”的定義，或利用幾何畫板直接給出一個定點、一條定直線，演示到定點和定直線距離相等的點的軌跡是拋物線.在此過程中，學生事先不知道拋物線的幾何定義，教師直接給出的定點、定直線，并不是學生自主發(fā)現(xiàn)的.這個過程只是對拋物線定義的驗證，不符合數(shù)學認知發(fā)現(xiàn)的邏輯.折紙游戲通過實物教具將接受式的學習方式轉變?yōu)榘l(fā)現(xiàn)式，能充分體現(xiàn)學生的主體性.

2.2 信息手段：促進知識內(nèi)化

隨著信息技術的發(fā)展，教室已普遍實現(xiàn)多媒體化，高中數(shù)學思維可視化課堂的建構不僅有電腦、投影儀、電子白板、電腦黑板一體機等硬件方面的支持，還有幾何畫板、GeoGebra等軟件方面的支撐.在呈現(xiàn)復雜的計算過程、圖像的動態(tài)變化、幾何模型的結構時，教師常常會使用信息技術手段實現(xiàn)可視化教學，以提升課堂教學效率[4].利用信息手段進行教學，不僅能使學生認識數(shù)學的多元聯(lián)系、數(shù)形相融的特征，直觀感受數(shù)學的外在美，還能深刻地領悟數(shù)學的內(nèi)在真，從而促進知識的內(nèi)化.

教學環(huán)節(jié)2模擬“繪”圖，生成概念——促進知識形成的可視化.

2.2.1 模擬情景，生成定義

學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在直線AB上再找一個點對折到點F，得到的交點還是在拋物線上.此時，再取點折紙就比較耗時，且意義不大.教師可以利用幾何畫板來模擬折紙的過程，在這些點之間再取一些點對折到點F，標出交點.學生觀察發(fā)現(xiàn)，標出的點越多，曲線就越清晰(圖4)，當取無數(shù)多的點時，標出的無數(shù)多個交點就連成了一條拋物線(圖5).教師可通過幾何畫板的演示，進一步說明給出的9個點看似是定點，其實質是一條定直線.

圖4 幾何畫板模擬折紙

圖5 幾何畫板模擬折紙

聚焦其中一個交點，隱藏幾何畫板上的其余點線(圖6)，讓學生思考這個交點M有什么特點？學生觀察發(fā)現(xiàn)，折痕為線段AF的中垂線，由于中垂線上的點到A、F兩點的距離相等，所以MA=MF.此時，教師追問：拋物線上的點與定點F、定直線AB有什么關系？學生由此能夠自己歸納出拋物線的定義.

圖6 聚焦拋物線上某點

在上述定義生成的過程中，從實際折紙標出離散的點到畫板演示形成連續(xù)的曲線，體現(xiàn)了從有限到無限的過程，是教學的難點.教師利用幾何畫板模擬數(shù)學折紙的情景，動態(tài)地展示點動成線的過程，突破了教學的難點.信息可視化策略將難以實踐講清的過程變得形象直觀，使得定義的生成順理成章.

2.2.2 數(shù)形結合，揭示數(shù)理

在明確定義之后，學生要用解析幾何的手段找到標準方程.回憶標準方程的產(chǎn)生過程：建系、設點、列式、化簡.學生在建立直角坐標系時會采取不同的方案.設焦點到準線的距離為p(p>0)，選取常見的3種方案(圖7)，通過列式計算得到對應的3個方程：y2=2px-p2；y2=2px；y2=2px+p2.顯然，第2個方程體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美，被稱為拋物線的標準方程.此處，教師可以選取更一般的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)，借助幾何畫板的平移動態(tài)演示(圖8)說明二者之間的聯(lián)系，進而說明這3個方程在本質上并沒有什么區(qū)別，±p2僅體現(xiàn)了圖像的左右平移變換.

圖7 建系的3種方案

圖8 圖像平移動態(tài)演示

教師利用幾何畫板動態(tài)演示二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)的內(nèi)在聯(lián)系，揭示數(shù)學的本質，以及初高中知識的聯(lián)系，提升了學生的思維水平，使其從淺層學習轉向深層學習.

2.3 圖示技術：推動深度學習

在日常教學活動中，教師可利用概念圖、流程圖、思維導圖、樹狀圖、魚骨圖等圖示技術使思維可視化.不同的圖示技術具有不同的功能，例如概念圖可以構建知識框架，流程圖可以厘清操作脈絡，思維導圖可以體現(xiàn)各思維階段的隸屬層級關系等.合理選擇圖示技術進行可視化教學，可以大大提升教學質量[5].

教學環(huán)節(jié)3構“圖”梳理，歸納應用——呈現(xiàn)知識系統(tǒng)的可視化.

2.3.1 思維導圖，建構知識

隨著教學環(huán)節(jié)的推進，教師在黑板上逐漸呈現(xiàn)出“拋物線”的思維導圖(圖9)，并利用思維導圖將教材的知識、學生的認知、教師的導學結合在一起，從而將繁雜的知識條理化，將抽象的概念可視化.思維導圖有層次、有重點，有利于學生建構完整的知識體系.

圖9 拋物線思維導圖

2.3.2 流程圖示，解決問題

下面以一道“拋物線”練習題為例：

已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,P是拋物線y2=4x上的一個動點，則點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是________.

利用流程圖呈現(xiàn)兩種解題思維路徑，見圖10、圖11和圖12.教師可以通過幾何畫板動態(tài)演示對思路進行直觀驗證.

圖10 思路一

圖11 幾何畫板演示思路一

圖12 思路二

教學預設的是思路一，思路二是在課堂上生成的.由此可見，思維可視化是教材、教師、學生3方面共同促進的，可視化教學體現(xiàn)了學生的主體地位.利用流程圖將學生的解題思路可視化地呈現(xiàn)出來，建構題目與題目、題目與知識、題目與方法之間的聯(lián)系，能有效提升學生的解題能力.

3 高中數(shù)學思維可視化課堂的教學建議

3.1 把握可視化呈現(xiàn)的方式

在高中數(shù)學的教學過程中，運用實物教具、信息手段、圖示技術等可視化策略，能夠幫助學生直觀形象地理解抽象的概念.但在運用中，教師要注重可視化策略的使用，其最終目的是要從可視化的操作過程中歸納總結出抽象的概念.如果教師對高中數(shù)學思維可視化課堂的理解僅停留在實物教具、信息手段、圖示技術等表面上的可視化功能層面，不僅不能提高課堂效率，反而會產(chǎn)生一些負面作用.例如，在“拋物線”教學時，若教師在展示一些橋梁建筑圖片后直接給出拋物線的概念，部分學生在觀看圖片時不僅無法認識拋物線的本質，而且會沉浸在對圖片的欣賞中.因此，思維可視化課堂的建構需要教師把握可視化呈現(xiàn)的方式與時機，以使整個教學過程、教學方式、教學內(nèi)容全面可視化.

3.2 關注可視化教學的生成

在教學前，教師需要對思維可視化課堂進行精心設計.但在真正落實可視化教學時，教師必須關注學生學習的過程，關注可視化教學的生成.例如，在課堂上繪制思維導圖時，教師不能因過度關注思維導圖的預設呈現(xiàn)而忽視學生的反饋，在思維導圖上應生成一些學生的易錯點、注意點等[6]；在講解練習題時，教師不能簡單地把自己預設的流程圖講授給學生，而應從學生的思維方式進行切入講解題目.學生是思維可視化課堂的主體，教師只是引導者，只有關注可視化教學的生成，才能使思維可視化課堂煥發(fā)活力.

3.3 遵循可視化思維的規(guī)律

思維可視化課堂教學策略必須遵循思維發(fā)展規(guī)律，否則會抑制學生思維的訓練，適得其反.例如，在講解拋物線的概念時，教師利用幾何畫板展示拋物線動態(tài)生成的過程，此過程雖然步驟簡單，且容易提煉拋物線的概念，卻不符合學生的認知規(guī)律.對比以“折紙”引入的拋物線課例，從學生的課后作業(yè)情況可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過深度思考生成的概念，學生在解題時更容易抓住抽象概念的本質屬性，也更能提升自身的數(shù)學思維能力.

4 結 語

高中數(shù)學思維可視化課堂的建構打破了傳統(tǒng)的教學模式，實物教具、信息手段、圖示技術讓思維路徑得以直觀地呈現(xiàn)，減少了學生的認知負荷，促進了知識內(nèi)化，推動了深度學習.在具體的課堂教學實踐中，知識的加工需要選擇合適的思維可視化策略.因此，高中數(shù)學教師要靈活運用思維可視化策略，建構思維可視化課堂，發(fā)展學生的數(shù)學思維，讓學生真正體會探索性學習的樂趣.