高空橫梁彎折實(shí)驗(yàn)的材料力學(xué)原理分析

李 波 李曉飛

（濱州學(xué)院建筑工程學(xué)院，山東 濱州 256600）

0 引言

在人們運(yùn)用材料進(jìn)行建筑、工業(yè)生產(chǎn)的過程中，需要對(duì)材料的實(shí)際承受能力和內(nèi)部變化進(jìn)行研究，這就催生了材料力學(xué)。運(yùn)用材料力學(xué)知識(shí)可以分析材料的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性。材料力學(xué)還用于構(gòu)件設(shè)計(jì)，使材料在相同的強(qiáng)度下可以減少材料用量，優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，以達(dá)到降低成本、減輕重量等目的。由此可知，材料力學(xué)在生活中的應(yīng)用十分廣泛。進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，各種構(gòu)件都需要滿足它的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求才能夠安全、正常的工作，所以從力學(xué)尤其是材料力學(xué)的角度對(duì)常見構(gòu)件以及生活中的結(jié)構(gòu)受力現(xiàn)象進(jìn)行分析尤為重要。在央視一熱門知識(shí)類競(jìng)賽節(jié)目中，高空橫梁彎折實(shí)驗(yàn)展示出相同截面積不同截面形式的懸臂橫梁具有不同抗彎性能。本文從該實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的材料力學(xué)原理出發(fā)對(duì)其進(jìn)行定量的解釋和分析，以期為讀者從力學(xué)角度理解該實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象提供參考。

1 研究問題的提出與基本概念介紹

1.1 研究問題的提出

2018年9月29日中央電視臺(tái)《加油向未來》第三季播放的一期節(jié)目中，其中一個(gè)題目以演示實(shí)驗(yàn)的形式出題：在高為4m 處有三根材料相同但截面形式不同的懸臂橫梁，截面形式分別為等邊三角形、工字形和正方形，依次編號(hào)為A桿、B桿和C桿，如圖1（a）所示；3根橫梁可伸出最大長(zhǎng)度都是4m，且3 根橫梁截面積相等均為114cm2，每根橫梁自由端均坐一位實(shí)驗(yàn)人員并附加配重使其剛好達(dá)到120kg，橫梁以適當(dāng)?shù)乃俣葎蛩偕扉L(zhǎng)，讓參賽者選擇哪根桿可被推得最遠(yuǎn)。部分參賽者從三角形穩(wěn)定性原理角度考慮選擇A 桿，少數(shù)參賽者從正方形最規(guī)則這一直觀認(rèn)識(shí)出發(fā)選擇C 桿，大部分參賽者選擇了B 桿工字形截面，但是更多的是從生活經(jīng)驗(yàn)的角度觀察到工字形截面在梁中較常見。最終驗(yàn)證結(jié)果如圖1（b）～（d）所示，當(dāng)桿件伸長(zhǎng)到120cm 處時(shí)，等邊三角形的A桿斷裂；當(dāng)桿件繼續(xù)伸長(zhǎng)到大約160cm處時(shí)，正方形的C 桿斷裂；工字形的B 桿伸長(zhǎng)到350cm處才斷裂。

圖1 高空橫梁彎折實(shí)驗(yàn)圖（節(jié)目視頻截圖）

1.2 基本概念介紹

懸臂梁是指梁的一端為不產(chǎn)生軸向、垂直位移和轉(zhuǎn)動(dòng)的固定支座，另一端為自由端，在工程力學(xué)受力分析中，這是一種比較典型的簡(jiǎn)化模型，常見懸臂梁簡(jiǎn)化模型如圖2 所示。在實(shí)際工程分析中，大部分工程受力部件都可以簡(jiǎn)化為懸臂梁[1-2]。懸臂橫梁斷裂的力學(xué)本質(zhì)是其在端部所受最大應(yīng)力超過橫截面的彎曲許用應(yīng)力σmax≤[σ]，最大應(yīng)力計(jì)算公式如式（1）所示。

圖2 懸臂梁簡(jiǎn)化圖

式中：M——端部截面處彎矩，對(duì)于懸臂梁來說，即為端部集中力乘以伸出長(zhǎng)度（力臂）；

Iz——橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩；

ymax——橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)處點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

慣性矩又叫截面二次軸距，慣性矩是一個(gè)物理量，通常被用作描述一個(gè)物體抵抗彎曲的能力（慣性矩示意圖如圖3）。慣性矩的國(guó)際單位為m4，截面對(duì)任意一對(duì)互相垂直軸的慣性矩之和，等于截面對(duì)該二軸交點(diǎn)的極慣性矩。以圖3 為例，面積元素dA與其至y軸或x軸距離平方的乘積x2dA或y2dA，分別稱為該面積元素對(duì)y軸或x軸的慣性矩。而以下兩積分：

圖3 慣性矩示意圖

則分別定義整個(gè)截面對(duì)y軸或x軸的慣性矩，該積分應(yīng)遍及整個(gè)截面的面積A。

2 數(shù)值計(jì)算過程與結(jié)果分析

2.1 數(shù)值計(jì)算過程

計(jì)算的等邊三角形、工字形和正方形截面尺寸如圖4 所示。等邊三角形對(duì)于中性軸z0的慣性矩計(jì)算如下：取任意單位面積為b(y)dy。b(y)計(jì)算如式（3）所示：

圖4 不同截面形式與截面尺寸（單位：mm）

單位面積b(y)dy關(guān)于z軸的慣性矩計(jì)算如式（4）所示：

利用平行移軸公式得到該等邊三角形關(guān)于中性軸z0的慣性矩計(jì)算如式（5）和式（6）所示：

通過查閱資料可知實(shí)驗(yàn)所用橫梁膠合材料極限抗拉強(qiáng)度為9MPa，且為脆性材料，可近似等于彎曲許用應(yīng)力。假設(shè)斷裂時(shí)，A 桿、B 桿和C 桿伸出長(zhǎng)度分別是l1、l2和l3，端部實(shí)驗(yàn)人員通過配重控制恒為120kg，則可認(rèn)為作用一集中力F=mg=1176N。橫梁斷裂時(shí)危險(xiǎn)截面處最大拉應(yīng)力達(dá)到彎曲許用應(yīng)力，即σmax=[σ]，結(jié)合式（1）得到：

則斷裂時(shí)伸出長(zhǎng)度l1為：

帶入數(shù)據(jù)得：

2.2 計(jì)算結(jié)果分析

由上述分析結(jié)果可知：工字形截面由于慣性矩最大，抗彎性能最好，可伸出長(zhǎng)度l2達(dá)到349.6cm，與實(shí)際情況完全一樣；等邊三角形橫梁最大伸出長(zhǎng)度l1等于102.6cm，與實(shí)際斷裂長(zhǎng)度誤差為14.5%；正方形截面橫梁最大伸出長(zhǎng)度l1等于155.9cm，與實(shí)際斷裂長(zhǎng)度誤差為2.6%，由于桿件制作誤差和人為因素等原因，計(jì)算值和實(shí)際值最大偏差不超過15%可認(rèn)為在合理范圍內(nèi)。結(jié)果表明：慣性矩是影響構(gòu)件抗彎剛度的重要因素，慣性矩越大，抗彎性能越好。同時(shí)，構(gòu)件抗彎剛度還與截面形狀有關(guān)，本實(shí)驗(yàn)對(duì)象中，等邊三角形截面慣性矩雖然大于正方形，但是由于其繞中性軸為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，受拉邊緣到中性軸的距離是受壓邊緣的2 倍，所以求得的端部受到的最大應(yīng)力要大于正方形截面，所以最終伸出長(zhǎng)度要小于正方形截面橫梁。

3 結(jié)束語

材料力學(xué)通過對(duì)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題的研究和分析，幫助研究人員建立起工程構(gòu)件的安全性和有效性的概念，促進(jìn)研究人員掌握工程構(gòu)件設(shè)計(jì)的力學(xué)原理。本文以央視一熱門的知識(shí)競(jìng)賽類節(jié)目為背景，基于材料力學(xué)中的彎曲理論相關(guān)知識(shí)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了力學(xué)原理分析與解釋，并將計(jì)算值和實(shí)際結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明理論值和實(shí)際值相符。本文為讀者從力學(xué)本質(zhì)出發(fā)理解不同截面尺寸抗彎性能的差異提供參考。