帶時(shí)滯與Monod-Haldane功能性函數(shù)的分?jǐn)?shù)階階段結(jié)構(gòu)食餌-捕食模型的Hopf分岔

馬 溧，李周紅

（1.楚雄師范學(xué)院 附屬中學(xué)，云南 楚雄 675000；2.云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650048；3.玉溪師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，云南 玉溪 653100）

0 引言

種群動(dòng)力系統(tǒng)近年來(lái)受到許多研究者的關(guān)注，大多數(shù)將其建立微分方程來(lái)研究其穩(wěn)定性[1].食餌-捕食者相互作用的動(dòng)力學(xué)關(guān)系是數(shù)學(xué)生物學(xué)最重要的研究模型之一.在20 世紀(jì)，Volterra 和Lotka 建立了生態(tài)系統(tǒng)模型，在恒定和統(tǒng)一的環(huán)境下，一個(gè)捕食者種群和一個(gè)獵物種群.該模型被稱為標(biāo)準(zhǔn)Lotka-Volterra食餌-捕食模型，可以用微分方程或差分方程來(lái)描述，它引起了應(yīng)用數(shù)學(xué)和理論生態(tài)學(xué)的廣泛關(guān)注.另一方面，在食餌-捕食系統(tǒng)的種群動(dòng)態(tài)研究中，已經(jīng)有許多學(xué)者做了大量的研究工作[2～6].然而，捕食者和食餌的增長(zhǎng)速度是不受限制的，這與現(xiàn)實(shí)世界的情況相矛盾.文獻(xiàn)[7]討論了分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分岔和穩(wěn)定性問題.生態(tài)系統(tǒng)中主要的功能性反應(yīng)函數(shù)有Holling-Ⅰ-Ⅳ型、Beddingtondeangelis 型、hassel-verley 型，其中還有一種Monod-Haldane 功能性函數(shù).事實(shí)上，建立更具實(shí)際的食餌-捕食模型，特別是不同物種對(duì)捕食現(xiàn)象所帶有的功能性反應(yīng)函數(shù)，是有研究意義的.文獻(xiàn)[8]研究了一類非自治階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)的持續(xù)生存模型，模型將食餌種群分為幼年和成年階段，且幼年被捕食的可能性很大，相反成年具備較強(qiáng)的抗捕食能力，模型表述如式（1）.

式（1）中，x1(t)表示食餌在t時(shí)刻的種群密度，x2(t)和x3(t)表示幼年期和成年期t時(shí)刻捕食者的種群密度.p是被捕食物種在沒有捕食物種的情況下正常生長(zhǎng)的生物潛力.K為環(huán)境承載力.δ是成熟捕食者對(duì)獵物的最大攝取量.?為抑制系數(shù)，φ為半飽和常數(shù).c定義了轉(zhuǎn)換系數(shù)（幼年期到成年期的轉(zhuǎn)換），κ表示幼年捕食者和成年捕食者進(jìn)化的轉(zhuǎn)換率.μi(t=1，2)為幼年捕食者和成年捕食者種群的自然死亡率，τ表示時(shí)滯，即從幼年轉(zhuǎn)變到成年所需要的時(shí)間.

眾所周知，有兩種類型的微分系統(tǒng)：整數(shù)階系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階系統(tǒng).傳統(tǒng)上，整數(shù)階系統(tǒng)比分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)更受青睞.因?yàn)檎麛?shù)階系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上易于處理.事實(shí)上，分?jǐn)?shù)微積分是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)概念，有300 多年的發(fā)展歷史，可以將分?jǐn)?shù)階推廣到任意的整數(shù)階，在物理學(xué)中、生物學(xué)和工程學(xué)等中扮演著重要角色[9].文獻(xiàn)[10～14]研究了分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和種群系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究.石敏等研究了一個(gè)分?jǐn)?shù)階小世界網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性與Hopf 分岔延遲控制等問題[15]，徐昌進(jìn)等人研究了分?jǐn)?shù)階混沌金融模型的時(shí)滯反饋控制策略問題[16].

它的重要性體現(xiàn)在3 個(gè)要點(diǎn)：第一，分?jǐn)?shù)階微積分中，導(dǎo)數(shù)和積分的階數(shù)都是實(shí)數(shù)；第二，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有記憶和遺傳特性；第三，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建立的模型比整數(shù)階模型更精確.基于這些優(yōu)點(diǎn)，分?jǐn)?shù)階微積分近年來(lái)被提出用于生態(tài)系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模、設(shè)計(jì)和控制.例如，如文獻(xiàn)[17]，作者討論了具有不同階數(shù)的兩個(gè)捕食者和一個(gè)食餌的時(shí)滯生態(tài)系統(tǒng)模型.進(jìn)一步引入線性時(shí)滯反饋控制策略，對(duì)時(shí)滯分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔進(jìn)有效地控制.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文將利用分?jǐn)?shù)階微積分的理論，基于時(shí)滯和分?jǐn)?shù)階作為參數(shù)，討論如下帶有時(shí)滯和Monod-Haldane 功能性反應(yīng)函數(shù)的食餌-捕食模型：

其中，φ∈(0,1]是分?jǐn)?shù)階，其他參數(shù)背景意義與系統(tǒng)（1）一致.事實(shí)上，當(dāng)φ=1 時(shí)，系統(tǒng)（2）化簡(jiǎn)為系統(tǒng)（1）.

本文的工作主要是利用分?jǐn)?shù)階理論，基于時(shí)滯分岔參數(shù)，討論系統(tǒng)（2）的Hopf 分岔問題，進(jìn)一步分析了帶時(shí)滯控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)理論

為給出本文的主要結(jié)果，先給出一些必要定義和引理.

分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)有幾種定義，其中Riemann-Liouville 的定義和Caputo 的定義是常用的兩種定義.因?yàn)镃aputo 導(dǎo)數(shù)的定義使得它更適用于現(xiàn)實(shí)世界的問題.文中采用了Caputo 導(dǎo)數(shù)的定義.

定義1[9]函數(shù)x(t)的階數(shù)為q∈R+的分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中，t≥t0，q＞0，Г(·)是Gamma 函數(shù)，

定義2[9]函數(shù)x(t)∈Cn([t0,∞),R)的階數(shù)為q的導(dǎo)數(shù)定義為

其中，t≥t0，且n是一個(gè)正整數(shù)使得n-1≤q＜n.

進(jìn)一步，當(dāng)0 ＜q＜ 1 時(shí)，

引理1[9]由于考慮到分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)Dqx=Ax，其中x∈Rm，A∈Rm×m，φ∈(0,1]，則有：

（1）系統(tǒng)Dqx=Ax是漸近穩(wěn)定的，如果矩陣A的任意特征值λ有|arg(λ)|＞成立.

（2）系統(tǒng)Dqx=Ax是穩(wěn)定的，如果矩陣A的任意特征值λ有|arg(λ)|成立.

2 主要結(jié)果

2.1 無(wú)控系統(tǒng)Hopf分岔

由分?jǐn)?shù)階微分方程穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)（2）有一個(gè)唯一的正平衡點(diǎn)經(jīng)計(jì)算E*為

在本文中，我們的基本假設(shè)如下：

我們將以時(shí)滯為分岔參數(shù)，研究系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定性和分岔.

當(dāng)條件（H1～H2）成立，原點(diǎn)是系統(tǒng)（2）的一個(gè)平衡點(diǎn).系統(tǒng)（2）在原點(diǎn)處的線性方程為

則系統(tǒng)（4）的特征方程為

通過（5）我們可以得到

令P1(s)=A1+iB1,P2(s)=A2+iB2，由式（6）可知，

設(shè)s=iω=是方程（7）的一個(gè)根.將s代入式（7），分離它的實(shí)部和虛部，可以得到

應(yīng)用式（8）直接計(jì)算得到

因?yàn)?/p>

由于cosωτ=F(ω)，我們得到

定義分岔點(diǎn)

式（12）中，τ(κ)由式（11）給出.

進(jìn)一步，我們將給出以下假設(shè)：

（H3）：方程（10）至少有一個(gè)正實(shí)根.

其中，θ1=a11+a22+a33，θ2=a11a33+a11a22+a22a33-a23a32，θ3=a11a22a33+a11a23a32+a13a21a32.

接著，考慮當(dāng)τ=0 時(shí)系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定性，易得如下引理.

引理2如果τ=0 且θ1＞0,θ2＞0,θ3＞0,則系統(tǒng)（2）是漸近穩(wěn)定.

證明當(dāng)τ=0 時(shí)，由系統(tǒng)（5），可得

當(dāng)θ1＞0,θ2＞0,θ3＞0 條件成立時(shí)，則方程（13）的特征根λi(i=1,2,3)滿足根據(jù)引理2，如果τ=0，易得系統(tǒng)（2）是漸近穩(wěn)定的.

為了給出我們的主要結(jié)果，進(jìn)一步假設(shè)：

其中，Υ1=ω0(A2sinω0τ0-B2cosω0τ0),Υ2=ω0(A2cosω0τ0+B2sinω0τ0),Ω1=A′1+(A′2-τ0A2)cosω0τ0+(B′2-τ0B2)sinω0τ0,Ω2=B′1+(B′2-τ0B2)cosω0τ0(A′2-τ0A2)sinω0τ0.

引理3設(shè)s(τ)=ν(τ)+iω(τ)是方程（6）在τ=τj附近滿足ν(τj)=0,ω(τj)=ω0的根，則下列條件滿足

證明由隱函數(shù)定理，在系統(tǒng)（9）中對(duì)τ微分，可得

因此，我們有

其中，Υ(s)=sP2(s)e-sτ,Ω(s)=P′1(s)+P′2(s)e-sτ-τP2(s)e-sτ.

因此，可得

由（H3）可得，引理證畢.

基于上述分析，由引理3，可得如下定理：

定理1假如系統(tǒng)（2）滿足：

（i）在假設(shè)（H1）～（H3）下，則平衡點(diǎn)對(duì)于τ∈[0,+∞)是全局漸近穩(wěn)定的.

（ii）在假設(shè)（H1）～（H3）下，則：a）零點(diǎn)平衡點(diǎn)對(duì)于τ∈[0,τ0)局部漸近穩(wěn)定；b）當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)（2）在平衡點(diǎn)處產(chǎn)生Hopf 分岔，即系統(tǒng)具有從τ=τ0附近的平衡點(diǎn)分岔的周期解.

2.2 帶有反饋控制的Hopf分岔

通過上節(jié)討論無(wú)控系統(tǒng)Hopf 分岔的存在性問題，因控制對(duì)系統(tǒng)起著重要作用，因此，下面在系統(tǒng)（2）的基礎(chǔ)上增加狀態(tài)反饋控制，系統(tǒng)描述如下：

其中φ1,φ2,φ3∈(0,1]是分?jǐn)?shù)階，F(xiàn)i(i=1,2,3)是反饋控制算子.

為了討論控制系統(tǒng)（17）存在Hopf 分岔的充分條件，類似上述的分析方法，先做平移變換，則控制系統(tǒng)變換為

應(yīng)用Taylor 展開進(jìn)行線性化，可得

通過（20）我們可以得到

設(shè)s=iω=ω是方程（22）的一個(gè)根.將s代入式（22），分離其實(shí)部和虛部，可以得：

應(yīng)用式（8）直接計(jì)算得到

由于cosωτ=Π1(ω)，我們得到

定義分岔點(diǎn)

式（27）中，τ(κ)由式（26）給出.

為進(jìn)一步得到主要結(jié)果，進(jìn)一步假設(shè)如下條件成立：

引理4設(shè)s(τ)=ν(τ)+iω(τ)是方程（6）在τ=τj附近的滿足ν(τj)=0,ω(τj)=ω0的根，則下列條件成立

證明利用隱函數(shù)定理，在系統(tǒng)（21）中對(duì)τ微分，可得

因此，我們有

由（H5）可得，引理證畢.

基于上述分析，由引理3，可得如下定理：

定理2假如系統(tǒng)（17）滿足：

（i）在假設(shè)（H1）～（H3）下，則平衡點(diǎn)對(duì)于τ∈[0,+∞)是全局漸近穩(wěn)定的.

（ii）在假設(shè)（H1）～（H3）下，則：a）平衡點(diǎn)對(duì)于τ∈[0,τ0)局部漸近穩(wěn)定；b）當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)（2）在原點(diǎn)處發(fā)生Hopf 分岔，即系統(tǒng)具有從τ=τ0附近的零平衡點(diǎn)分叉的周期解分岔.

3 數(shù)值模擬

在本節(jié)中，我們給出兩個(gè)例子來(lái)證明所提方法的有效性.數(shù)值模擬基于Adama-Bashforth-Moulton 預(yù)估校正算法[18]，取步長(zhǎng)Δt=0.01.

例1考慮下面的系統(tǒng)沒有控制：

取分?jǐn)?shù)階φ1=φ2=φ3=0.9，初值為(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.02,0.01,0.02).經(jīng)計(jì)算得到ω0=1.167 5，則τ0=21.834 9.則定理1 中的（ii）成立.事實(shí)上，圖1 顯示，當(dāng)τ=21 ＜τ0時(shí)系統(tǒng)（31）的零平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，而圖2 則顯示了系統(tǒng)（31）的平衡點(diǎn)呈周期震蕩現(xiàn)象，也即，當(dāng)τ=25＞τ0時(shí)發(fā)生Hopf 分岔.

圖1 當(dāng)τ=21＞τ0 時(shí)，系統(tǒng)（31）是局部漸近穩(wěn)定的

圖2 當(dāng)τ=25＞τ0 時(shí)，系統(tǒng)（31）是周期震蕩的

例2考慮如下時(shí)滯和控制的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

圖3 當(dāng)τ=40 ＜ τ0 時(shí)系統(tǒng)（32）是局部漸近穩(wěn)定的

圖4 當(dāng)τ=50＞τ0 時(shí)，系統(tǒng)（32）是周期震蕩的

4 結(jié)論

本文研究了一類具有時(shí)滯分?jǐn)?shù)階Lotka-Volterra 捕食-食餌模型的分岔問題.首先，通過對(duì)特征方程的綜合分析，以時(shí)滯和分?jǐn)?shù)階為分岔參數(shù)，建立了時(shí)滯分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)Hopf 分岔的穩(wěn)定性判據(jù).接著討論了具有反饋控制的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階Lotka-Volterra 模型的穩(wěn)定性和分岔問題，并得到相應(yīng)的分岔和反饋控制的存在嚴(yán)重地削弱了所提時(shí)滯分?jǐn)?shù)階Lotka-Volterra 捕食者模型的穩(wěn)定性，最后通過兩個(gè)數(shù)值算例說明所得理論結(jié)果的有效性.