反思題目通法 突出變換引領(lǐng)
——2021年南通市中考試題第25題賞析*

張 俊 (山東省淄博市周村區(qū)城北中學(xué) 255300)

時翠萍 (山東省淄博市周村區(qū)第二中學(xué) 255300)

筆者近來研究2021年南通市中考試題第25題時，發(fā)現(xiàn)該題以最基本的圖形變換“軸對稱”為背景，漸次生長，思路開闊，是一道值得回味的題目，特撰文與大家交流．

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上(不與端點(diǎn)A，D重合)，點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連結(jié)CF，設(shè)∠ABE=α．

圖1

(1)求∠BCF的大小(用含α的式子表示)；

(2)過點(diǎn)C作CG⊥AF，垂足為G，連結(jié)DG．判斷DG與CF的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)將△ABE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連結(jié)BF，HF．當(dāng)△BFH為等腰三角形時，求sinα的值．

2 思路突破

2.1 基于對稱變換，構(gòu)造對稱圖形

圖2

2.2 導(dǎo)角突破難點(diǎn)，多維角度探尋

如圖2，對于第(2)問，學(xué)生可以直觀判斷出DG與CF的位置關(guān)系，但如果要說明理由，對大多數(shù)學(xué)生來說有一定的難度，此時題目已經(jīng)進(jìn)入寬進(jìn)難出的環(huán)節(jié)．那么突破的方向在哪里呢？在此問中，有一個“知識坎”很多學(xué)生未能逾越，導(dǎo)致問題探究無法進(jìn)行到下一步.在這里我們有必要細(xì)細(xì)品味一下：在圖2中，很多學(xué)生憑直觀猜測出了△CGF是等腰直角三角形，但一直無法說明∠AFC=135°(這里考查了學(xué)生利用帶有字母的角的導(dǎo)角能力)．如圖3，基于前面的分析我們可以得到∠AFB=90°-α，∠BFC=∠BCF=45°+α，所以可得∠AFC=∠AFB+∠BFC=90°-α+45°+α=135°．從而可以看到，盡管點(diǎn)F的位置是變化的，但∠AFC始終是一個定角．那該問題的本質(zhì)在哪里？因?yàn)锽A=BF=BC，所以點(diǎn)F在以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑的圓上運(yùn)動，根據(jù)定弦對定角，可知∠AFC始終為135°．解決了這一問題，就為后面的探究做好了鋪墊．

圖3

圖4 圖5

思路3 如圖6，從點(diǎn)共圓的角度，連結(jié)對角線AC.因?yàn)椤螦DC=∠AGC=90°，所以點(diǎn)A，D，G，C在以AC中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓上．在同圓中，可得∠DGA=∠ACD=45°，即∠CFG=∠DGA=45°，故DG∥CF．

圖6 圖7

思路4 如圖7，從構(gòu)造全等三角形角度來思考，在AG上截取AH=CG.因?yàn)椤螦MD=∠CMG，∠ADM=∠CGM=90°，所以∠DAH=∠DCG．又有AD=CD，所以△DAH≌△DCG，可得∠ADH=∠CDG，HD=GD．因?yàn)椤螦DH+∠HDM=90°，所以∠HDG=90°，此時△HDG是等腰直角三角形，故∠DGH=45°，即∠CFG=∠DGH=45°，從而DG∥CF．

2.3 始于分類討論，終于轉(zhuǎn)化分析

第(3)問以旋轉(zhuǎn)為背景，重點(diǎn)考查了分類討論的思想．本題的難度還是在分類后的驗(yàn)證上，對學(xué)生的說理能力要求較高．如圖8，對于△BFH為等腰三角形，我們考慮：①當(dāng)BF=BH時，由于△BAE≌△BCH，所以BH=BE，又因?yàn)锽A=BF，這時出現(xiàn)了BE=BA，在Rt△BAE中是不可能的，顯然這種情況不存在．②當(dāng)BF=HF時，∠FBH=∠FHB=90°-α，可得∠BFH=2α，由于∠ABF=2α，所以此時AB∥FH，即點(diǎn)F與點(diǎn)C要重合，則需要點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)D，與題意不相符，因此這種情況也不存在．相比第①種情況的驗(yàn)證，第②種情況的驗(yàn)證要求學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评碚f明，綜合性較強(qiáng)．結(jié)合上述分析，只有一種可能是BH=FH，此時解決問題的方向又在哪里？

圖8

3 深入思考

圖9

第(2)問的思路2是基于“8”字相似的成對存在性，如圖5，若△ADM∽△CGM，則必有△DMG∽△AMC，本身構(gòu)成這樣相似的點(diǎn)D，G，A，C與思路3的四點(diǎn)共圓是一致的．

第(3)問的第二種思路如同神來之筆，連結(jié)EC，構(gòu)造的其實(shí)是一對具有對稱性的全等三角形，△BFH≌△BCE，并且關(guān)于直線BN成軸對稱(圖10)．基于圖形的對稱，聯(lián)想到全等，這其實(shí)就是一種發(fā)現(xiàn)對稱美的過程．

圖10 圖11

基于本題圖形的變化，我們考慮再進(jìn)行一下變式的生長：原題點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動，我們讓點(diǎn)E在射線AD上運(yùn)動，其他條件保持不變，此時仍然可以得到DG∥CF(圖11)．

圖12

當(dāng)然本題還有其他方法，這里不再贅述．現(xiàn)在我們改變對稱點(diǎn)，繼續(xù)思考一下．如圖12，作點(diǎn)C關(guān)于BE的對稱點(diǎn)F，連結(jié)BF，作AG⊥FC，垂足為G，連結(jié)DG，求證：DG∥AF．

這里通過推導(dǎo)角度仍然可得△AGF為等腰直角三角形，連結(jié)AC，此時△AGF與△ADC是相似的等腰三角形，由旋轉(zhuǎn)相似的成對性，還可以得出△DAG∽△CAF，進(jìn)而問題可以突破．

我們讓該問題在此基礎(chǔ)上繼續(xù)生長．如圖13，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上(不與端點(diǎn)A，D重合)，點(diǎn)C關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連結(jié)CF，BF，同時連結(jié)FA，BE并分別延長交于點(diǎn)G，連結(jié)DG，設(shè)∠ABE=α．

(1)求∠BGF的大??；

(2)猜想DG與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

圖13 圖14

4 教學(xué)反思

4.1 重視基本圖形滲透，強(qiáng)化識圖能力

基本圖形是復(fù)雜圖形組成的基本元素，主要包括教材上的基本事實(shí)和定理及其推論，以及在平時教學(xué)中獲得的一些典型圖形．學(xué)生之所以解題時沒有思路，關(guān)鍵就是沒有從復(fù)雜的圖形里把基本圖形抽取出來．正如2021南通市中考第25題，其中蘊(yùn)含的基本圖形非常多，例如旋轉(zhuǎn)相似的成對存在性，以及“8”字型相似的成對性、四點(diǎn)共圓等，如果學(xué)生沒有較強(qiáng)的識圖能力，是很難突破問題的．因此，教師在平時的教學(xué)中要為學(xué)生及時總結(jié)和提煉一些基本圖形，對其應(yīng)用條件和基本結(jié)論要熟悉．這里要特別注意一點(diǎn)，千萬不能讓學(xué)生死記，而要引導(dǎo)學(xué)生從已知條件中挖掘關(guān)鍵條件，找到問題的核心，回歸到書本上最基本的定義和定理，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)基本圖形與數(shù)學(xué)概念的有效結(jié)合．只有這樣潛移默化地不斷滲透，學(xué)生才能逐步形成基本圖形分析觀念，在面對幾何問題時，主動尋找或構(gòu)造頭腦中的基本圖形，運(yùn)用其來解決問題．

4.2 突出幾何變換引領(lǐng)，積累構(gòu)圖經(jīng)驗(yàn)

初中的圖形變換分為兩種，一種是全等變換，主要包含平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱，另一種是相似變換，指的是相似與位似，新課標(biāo)也特別提倡讓圖形運(yùn)動起來，讓學(xué)生在運(yùn)動中發(fā)現(xiàn)不變．然而實(shí)際情況是，學(xué)生仍然習(xí)慣于靜態(tài)地去思考問題，這導(dǎo)致他們不能深入問題的本質(zhì)．比如南通這道中考題，以正方形作為背景，正方形本身就是軸對稱和中心對稱圖形，從點(diǎn)A與點(diǎn)F關(guān)于直線BE對稱入手，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造對稱圖形，然后通過構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似這一變換作為解決問題的主線，繼續(xù)生長，第(3)問基于圖形的旋轉(zhuǎn)分類思考，最終呈現(xiàn)了一對對稱性的全等三角形．可以說本題始于軸對稱，發(fā)展于旋轉(zhuǎn)，最終止于軸對稱，整個解答的過程都突出了幾何變換的統(tǒng)領(lǐng)．因此，在平時的教學(xué)中，教師要多引導(dǎo)學(xué)生從幾何變換的視角來分析幾何圖形，通過這種運(yùn)動的觀點(diǎn)構(gòu)造出準(zhǔn)確的圖形，這樣學(xué)生就會站在更高的高度來認(rèn)識幾何圖形．長此以往，可以讓學(xué)生養(yǎng)成從幾何變換的視角來審視幾何問題的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力的提升．