對一道源自課本的高考試題的再探究

周長春

(北京市第二中學(xué) 100010)

文[1]對該題進(jìn)行了深入的探究，不僅給出了5種不同的解法，而且得到了3個(gè)一般化的結(jié)論，讀后讓人深受啟發(fā).筆者對該題“再”探究，思考如下問題：

①該題還有沒有別的解法？

③將②推廣到一般情形后的結(jié)論又是怎樣的？

筆者通過挖掘|a·e|+|b·e|的幾何意義，借助幾何直觀，得到如下解決過程．

1 利用幾何意義求解

(1)構(gòu)造|a·e|+|b·e|的幾何意義

圖1

這就是|a·e|+|b·e|的幾何意義.

(2)求|a·e|+|b·e|的最大值

下面利用|a·e|+|b·e|的幾何意義求 |a·e|+|b·e|的最大值.

圖2

當(dāng)θ=0或θ=π時(shí)，上述結(jié)論也成立.

因此，將問題一般化，利用|a·e|+|b·e|的幾何意義可得出如下結(jié)論：

設(shè)a，b為非零向量，則對任意單位向量e，有(|a·e|+|b·e|)max=max{|a+b|,|a-b|}.

設(shè)a，b為非零向量，|a|=m，|b|=n，利用上面的方法很容易得到文[1]的3個(gè)結(jié)論，這里就不贅述了.

2 幾何意義的應(yīng)用

(1)變式探究

故當(dāng)e⊥b時(shí)，(|a·e|+|b·e|)min=sinθ.

若θ=0或π，則當(dāng)e⊥b時(shí)，(|a·e|+|b·e|)min=0=sinθ.

綜上，(|a·e|+|b·e|)min=sinθ.

此題如果不采取上述方法，解決起來往往非常麻煩，有興趣的讀者不妨一試.

(2)推廣探究

將上述變式推廣到一般情形，筆者經(jīng)過探索得到了如下一系列結(jié)論：

結(jié)論1已知非零向量a,b，|a|=m，|b|=n(m≤n)，a與b的夾角為θ，e為任意單位向量，則當(dāng)且僅當(dāng)e⊥b時(shí)，(|a·e|+|b·e|)min=msinθ.

結(jié)論2已知非零向量a，b，|a|=m，|b|=n(m≤n)，若對任意單位向量e，均有|a·e|+ |b·e|≥r，其中r為正常數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)r≤m時(shí)，a，b存在.

結(jié)論3已知非零向量a，b，|a|=m，|b|=n(m≤n)，若對任意單位向量e，均有|a·e|+ |b·e|≥m，則a⊥b.

這些結(jié)論的證明方法與上述變式求解過程完全相同，這里略去.

本文是對一道源自課本的高考試題的“再”探究.在探究過程中，一方面強(qiáng)調(diào)換個(gè)角度思考，深入挖掘|a·e|+|b·e|的幾何意義，借助幾何直觀、數(shù)形結(jié)合來解決問題；另一方面強(qiáng)調(diào)變式，并試著做一般化處理.在平時(shí)教學(xué)中，教師如果能在引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題(一題多解)以及對題目進(jìn)行變式求解(一題多變)方面多花功夫，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，是大有裨益的.