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    與調(diào)和級(jí)數(shù)有關(guān)的幾個(gè)數(shù)理問(wèn)題賞析*

    2022-11-25 01:49:27韋燕平
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期
    關(guān)鍵詞:散性塊磚級(jí)數(shù)

    韋燕平

    (江蘇省無(wú)錫市第一中學(xué) 214000)

    謝廣喜

    (江南大學(xué)理學(xué)院 214122)

    一般地,我們將表達(dá)式a1+a2+a3+…+an+…稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)(簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)),當(dāng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的極限存在時(shí),稱級(jí)數(shù)收斂(無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和就是一個(gè)特殊的收斂級(jí)數(shù)),否則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.有關(guān)級(jí)數(shù)問(wèn)題的深入研究主要在數(shù)學(xué)分析或復(fù)變函數(shù)論相關(guān)內(nèi)容中有探討,前者主要探討實(shí)數(shù)背景下的數(shù)列斂散性問(wèn)題,而后者主要探討復(fù)數(shù)背景下的數(shù)列斂散性問(wèn)題.

    我們將證明,對(duì)于任意大于SN0的正整數(shù)m,必存在n>N0,使得Sn-m∈(a,b),也即m+aN0,使得m+a

    為了與待證目標(biāo)建立聯(lián)系,我們令mi=[SN0]+i(i=1,2,3,…),利用(** )式,則mi>SN0,再利用(*)式,知存在ni,當(dāng)ni>N0時(shí),有mi+a

    盡管調(diào)和級(jí)數(shù)本身是無(wú)法求和化簡(jiǎn)的,但我們還是可以找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),動(dòng)態(tài)描述其“下界”特性:

    (1)用a表示b,c;

    (2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

    簡(jiǎn)解 (1)易得到b=a-1,c=-2a+1.

    解析 為理解方便,我們下面具體針對(duì)不含數(shù)字9的情形予以證明(讀者可以發(fā)現(xiàn),我們的證明實(shí)際上與該數(shù)字具體是幾是無(wú)關(guān)的).記r1=調(diào)和級(jí)數(shù)中不含數(shù)字9的1位(十進(jìn)制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8項(xiàng)),r2=調(diào)和級(jí)數(shù)中不含數(shù)字9的2位(十進(jìn)制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8×9項(xiàng)),r3=調(diào)和級(jí)數(shù)中不含數(shù)字9的3位(十進(jìn)制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8×92項(xiàng)),…,rn=調(diào)和級(jí)數(shù)中不含數(shù)字9的n位(十進(jìn)制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8×9n-1項(xiàng);一般地,我們利用乘法原理可得到這個(gè)結(jié)果,首位由于不能為0,又不能為9,故有8種選法,其他各位有9種選法,故滿足要求的n位(十進(jìn)制)數(shù)共有8×9n-1個(gè)).

    評(píng)注為了記憶簡(jiǎn)單方便,我們不妨稱此為特殊前提下調(diào)和級(jí)數(shù)的反常收斂,當(dāng)然,如果我們將個(gè)位數(shù)的部分放縮得精致一些(現(xiàn)在的放縮顯然是比較粗糙的),則可得到更小一點(diǎn)的上界.

    簡(jiǎn)解 與上題完全類似地,在k(k∈N*)位十進(jìn)制正整數(shù)中,各位上的數(shù)碼不含2,0,1,6者共有(10-4)k=6k個(gè),其中首位分別為3,4,5,7,8,9的各有6k-1個(gè),于是

    圖1

    例5如圖1所示,將若干塊完全相同的均勻長(zhǎng)方體磚塊疊放起來(lái),第一塊磚相對(duì)于第二塊磚最右端能伸出去的最大長(zhǎng)度為x1;此時(shí)將1,2塊磚看成一個(gè)整體,第二塊磚相對(duì)于第三塊磚最右端能伸出去的最大長(zhǎng)度為x2;此時(shí)再將1,2,3塊磚看成一個(gè)整體,記第三塊磚相對(duì)于第四塊磚最右端能伸出去的最大長(zhǎng)度為x3……第n塊磚相對(duì)于第(n+1)塊磚最右端能伸出去的最大長(zhǎng)度為xn,試求Sn=x1+x2+…+xn(設(shè)每塊磚的長(zhǎng)度為l).

    圖2

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