合理拆分思路通 變式推廣規(guī)律明
——對2022年一道奧林匹克不等式題的探究

朱 斌

(南京師范大學第二附屬高級中學 320900)

1 賽題與證明

2022年第48屆俄羅斯數(shù)學奧林匹克聯(lián)邦區(qū)域競賽中有一道不等式試題：

不等式①是一個分式不等式，每個分式項的分子都是一個三次單項式，分母含有三項，前面一項是一個二次單項式，后面兩項都是一次單項式.分子、分母中都含有相同的變量.由此入手進行拆項處理，則可打開解題思路．

點評如果按照不等式①的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到柯西不等式，將不等式①轉(zhuǎn)化為

2 變式與推廣

在變式1和變式2的基礎上，可以將上述競賽題作如下推廣：

推廣1設a,b,c,d為非負實數(shù)，有a+b+c+d=8，n∈N*，證明：

證法類似，留給讀者完成．

如果改變已知條件中的等式，那么用同樣的方法可以證明：

推廣2設a,b,c,d為非負實數(shù)，有a+b+c+d=4k，k>0，n∈N*，證明：