中英高中數(shù)學(xué)教材二項(xiàng)式定理內(nèi)容的比較研究及啟示

劉曉宇，郭 蕊

(長春師范大學(xué)，吉林 長春 130032)

二項(xiàng)式定理作為計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式的應(yīng)用，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。從新課程的三維目標(biāo)來看，在知識(shí)與技能上，二項(xiàng)式定理與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合可以解決許多問題。人教版教材利用二項(xiàng)式定理計(jì)算集合子集的個(gè)數(shù)，Edexcel P2教材利用它估算高階數(shù)值，發(fā)揮二項(xiàng)式定理的價(jià)值迫在眉睫；在過程與方法上，二項(xiàng)式定理運(yùn)用“歸納—猜想—證明”的思維模式，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維創(chuàng)造了契機(jī)；在情感態(tài)度與價(jià)值觀方面，二項(xiàng)式定理出自我國《詳解九章算法》中的“楊輝三角”，二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展德育教育的有利途徑，實(shí)現(xiàn)二項(xiàng)式定理數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的德育價(jià)值刻不容緩[1]。

本文將著眼于中英兩國教育在教材內(nèi)容上的異同，選取二項(xiàng)式定理部分進(jìn)行比較分析，以期對兩國材有更深的認(rèn)識(shí)，并得出啟示。本文所選取的教材以中英兩國現(xiàn)試行版本為藍(lán)本，分別是《2019年新人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三》以及2018年由英國劍橋大學(xué)出版社出版的Edexcel P2。兩本教材在中英國家課程中占有重要地位，為本研究提供了有效的、可操作的材料[2]。

1 中英高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理的相關(guān)比較

1.1 教學(xué)要求比較

教育教學(xué)離不開課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)。選取我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和英國《2017年A-Level教學(xué)考試大綱》中的二項(xiàng)式定理部分教學(xué)要求進(jìn)行比較，見表1。

表1 中英高中數(shù)學(xué)教學(xué)中二項(xiàng)式定理教學(xué)要求的比較

從整體上看，我國課程標(biāo)準(zhǔn)對二項(xiàng)式定理部分的要求分為三個(gè)目標(biāo)維度，更加注重學(xué)生的全面發(fā)展，是深刻完整的；英國數(shù)學(xué)考試大綱只在二項(xiàng)式定理的知識(shí)與技能方面作出了相應(yīng)要求，偏向于對學(xué)生智育的培養(yǎng)，是具體詳細(xì)的[3]。例如，在知識(shí)與技能方面，我國課程標(biāo)準(zhǔn)要求運(yùn)用不同方法證明二項(xiàng)式定理，解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)的簡單問題；在過程與方法方面，我國課程標(biāo)準(zhǔn)鼓勵(lì)學(xué)生通過學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的證明過程感受從特殊到一般、從個(gè)別到整體的歸納思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)思維能力；在情感態(tài)度與價(jià)值觀方面，我國課程標(biāo)準(zhǔn)通過對“楊輝三角”的學(xué)習(xí)感受中華數(shù)學(xué)史的博大精深，體會(huì)中國古代的數(shù)學(xué)文化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷。而在英國數(shù)學(xué)考試大綱中，教學(xué)重點(diǎn)放在對二項(xiàng)展開式的運(yùn)用及二項(xiàng)式系數(shù)的計(jì)算上，要求通過帕斯卡三角形探索二項(xiàng)展開式，靈活運(yùn)用二項(xiàng)展開式的規(guī)律求單個(gè)系數(shù)，進(jìn)而探索二項(xiàng)式定理的用途，包括估算高階數(shù)值、求表達(dá)式的近似值等。相比中國的課程標(biāo)準(zhǔn)，英國數(shù)學(xué)考試大綱中沒有提到二項(xiàng)式定理的證明方法，也沒有提到數(shù)學(xué)教學(xué)的德育滲透，不夠全面和深刻。

1.2 內(nèi)容分布設(shè)置比較

從內(nèi)容選取來看，中英兩國對二項(xiàng)式定理的證明都運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法，先給出式子(a+b)3、(a+b)4及(a+b)5，由特殊到一般，歸納總結(jié)二項(xiàng)展開式指數(shù)和系數(shù)的規(guī)律，然后對其內(nèi)容拓展練習(xí)。但在探究(a+b)n展開式的證明過程中，兩本教材采用了不同的數(shù)學(xué)史知識(shí)。人教版教材選取了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中給出的數(shù)字三角形陣——“楊輝三角”；而英國教材中則引用了法國數(shù)學(xué)家帕斯卡的“帕斯卡三角形”。兩者在內(nèi)容上如出一轍，但究竟是誰首先發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)展開式系數(shù)的規(guī)律？對于這一爭論，中國學(xué)者作出考證，“楊輝三角”最早出現(xiàn)于《釋鎖》一書，可推斷我國數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)此表不晚于11世紀(jì)；而帕斯卡的算術(shù)書出版于1527年，“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)比歐洲要早500年左右。二項(xiàng)式定理的發(fā)展之路詳見表2?！皸钶x三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，中國教材將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)歷史相結(jié)合，使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)史強(qiáng)大的文化魅力[4]。

表2 二項(xiàng)式定理的發(fā)展歷程

在內(nèi)容編排順序上，兩國教材前后章節(jié)的連接有所不同。從整個(gè)章節(jié)來看，人教版教材將二項(xiàng)式定理作為第六章計(jì)數(shù)原理中的一節(jié)，前后貫穿排列組合與隨機(jī)分布，優(yōu)勢是便于運(yùn)用組合總結(jié)二項(xiàng)式定理的一般式，但缺點(diǎn)是本小節(jié)內(nèi)容缺乏存在感，學(xué)生容易忽視二項(xiàng)式定理的深入學(xué)習(xí)；而在Edexcel P2教材中，二項(xiàng)式定理作為獨(dú)立的章節(jié)供學(xué)生學(xué)習(xí)，這樣可以加深學(xué)生對二項(xiàng)式定理的重視程度，有利于深入探索和學(xué)習(xí)。從章節(jié)內(nèi)部來看，人教版分為二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和“楊輝三角”的性質(zhì)與應(yīng)用三個(gè)部分；Edexcel P2則分為五個(gè)小節(jié)，分別是帕斯卡三角形、階乘符號、二項(xiàng)式定理展開式、解二項(xiàng)式定理問題、利用二項(xiàng)式定理估值。可見，人教版對二項(xiàng)式定理的研究更廣泛，Edexcel P2教材對二項(xiàng)式定理的研究更深入。

1.3 教材編排方式比較

中英兩國教材在編排方式上有所不同。人教版教材主要采用螺旋式排列，以引導(dǎo)探究式教學(xué)為主，教材設(shè)立了探究模塊，先總結(jié)常見冪級數(shù)二項(xiàng)展開式的規(guī)律，隨后引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的計(jì)數(shù)原理寫出其展開式，由簡到繁層層深入。這種方法有益于學(xué)生具備邏輯思維，逐步獲取知識(shí)經(jīng)驗(yàn)；但缺點(diǎn)是重復(fù)過多，浪費(fèi)時(shí)間。英國Edexcel P2教材則大多采用直線式排列，以目標(biāo)接受式教學(xué)為主，開篇交代本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)，進(jìn)入課程后將帕斯卡三角形呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)加以內(nèi)化。結(jié)尾給出要點(diǎn)總結(jié)，包括帕斯卡三角形規(guī)律、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、排列、組合、二項(xiàng)展開式、第n項(xiàng)的一般式和估值七個(gè)部分。教科書的很多知識(shí)點(diǎn)都是通過學(xué)生自行探究、動(dòng)手交流實(shí)現(xiàn)的。優(yōu)點(diǎn)是它可以避免不必要的重復(fù)，易于鞏固所學(xué)的知識(shí)；但這種方式適合思維能力較強(qiáng)的學(xué)生，不利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

1.4 教材例題習(xí)題比較

對于二項(xiàng)式定理例題和習(xí)題，兩教材都是先舉出例題解析，每小節(jié)末尾搭配對應(yīng)的練習(xí)，章節(jié)最后給出習(xí)題，由淺到深，由易到難，層層遞進(jìn)，但題量和題型難度略有不同[5]。

從題量來看，兩本教材的習(xí)題數(shù)量差異較大。人教版教材的題量少，習(xí)題具有代表性；而英國教材題量大，詳細(xì)具體。如中國《選擇性必修三》中有28道習(xí)題；英國Edexcel P2中有94道習(xí)題。從細(xì)節(jié)來看，英國教科書多數(shù)習(xí)題設(shè)置在課時(shí)訓(xùn)練中，中國教科書的習(xí)題大多設(shè)置在章節(jié)復(fù)習(xí)中。中國教科書中習(xí)題的分布為3道例題、9道課時(shí)練習(xí)、16道章節(jié)復(fù)習(xí)；英國教科書的習(xí)題包括9道例題、66道課時(shí)練習(xí)、28道章節(jié)復(fù)習(xí)。

中英高中數(shù)學(xué)教學(xué)中二項(xiàng)式定理例題的比較見表3。從題型來看，中英兩國教材都提到求正整數(shù)冪的展開式，如中國教材要求求奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)的和，英國教材要求列出展開式的前幾項(xiàng)，都是二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用。不同點(diǎn)是中國教科書的習(xí)題在英國教科書中都能找到，但是英國教科書中的一些習(xí)題在中國教科書中沒有體現(xiàn)[6]。比如，英國教材利用近似函數(shù)估算高階數(shù)值、求取高階多項(xiàng)式乘積的展開式、計(jì)算概率的近似表達(dá)式等，中國教材的這些內(nèi)容被安排在大學(xué)階段的數(shù)學(xué)分析中進(jìn)行學(xué)習(xí)，在高中教材中沒有提及?？梢钥闯鲇炭茣容^注重二項(xiàng)式定理的深入學(xué)習(xí)，除了要求利用二項(xiàng)式定理解決生活中的實(shí)際問題外，還附帶高階數(shù)值等更高層級的知識(shí)點(diǎn)。

表3 中英高中數(shù)學(xué)教學(xué)中二項(xiàng)式定理典型例題的比較

2 中英兩國高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理內(nèi)容比較研究的啟示

2.1 在教材要求的設(shè)置上，教科書需要注意知識(shí)的整合性

中國課程標(biāo)準(zhǔn)對二項(xiàng)式定理部分的要求貫穿知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三個(gè)維度，比較全面；英國考試大綱雖然只在知識(shí)與技能上作出了相應(yīng)要求，卻比較注重知識(shí)的整合性，包括第一課時(shí)中二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘積的整合，第三課時(shí)中二項(xiàng)式定理與估值的整合，以及章節(jié)練習(xí)中二項(xiàng)展開式與概率的整合等。二項(xiàng)式定理是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，如何將新舊知識(shí)有效地結(jié)合起來值得我們思考，如何發(fā)揮教科書知識(shí)間的整合性值得深入研究。

2.2 在內(nèi)容分布的設(shè)置上，教科書要處理好數(shù)學(xué)史的培養(yǎng)教育問題

英國教科書不惜篇幅地講解帕斯卡三角形，強(qiáng)調(diào)帕斯卡三角形在歐洲數(shù)學(xué)史上的教學(xué)地位[7]，但事實(shí)上，“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)比歐洲要早500年左右，是中國數(shù)學(xué)史的文化瑰寶。我國教科書對“楊輝三角”的相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容并不是沒有考慮，只是全都設(shè)計(jì)在數(shù)學(xué)探究中，將“楊輝三角”的性質(zhì)與應(yīng)用以研究報(bào)告的形式進(jìn)行展示，與教科書正文內(nèi)容的聯(lián)系不夠密切。很多學(xué)校的教師沒有為學(xué)生開設(shè)相關(guān)專題講座，其原因主要是高考不涉及這些內(nèi)容，很多一線高中教師對數(shù)學(xué)史的重視程度不夠。中國數(shù)學(xué)史是我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的一部分，是需要我們學(xué)習(xí)并傳承的。在教學(xué)中，可以指導(dǎo)學(xué)生通過對“楊輝三角”的學(xué)習(xí)，感受中華文化的博大精深，將智育與德育相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷。

2.3 在編排方式的設(shè)置上，教科書應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的“四基”及核心素養(yǎng)

新課標(biāo)下的“四基”是指培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。英國教科書總體遵循直線順序編排幾何知識(shí)內(nèi)容，但也存在小螺旋編排結(jié)構(gòu)。比如，“引言”交代學(xué)習(xí)目標(biāo)，“結(jié)語”總結(jié)教學(xué)任務(wù)。我國高中數(shù)學(xué)課程采用以呈螺旋式上升方式編寫的教科書，比如采用設(shè)問的方法計(jì)算常見冪級數(shù)的二項(xiàng)展開式等。兩種編寫方式各有所長。教科書可以將探究式學(xué)習(xí)與目標(biāo)總結(jié)式教學(xué)聯(lián)系起來，這樣既可以引導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，又可以使學(xué)生明確自己的學(xué)習(xí)任務(wù)。在強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，潛移默化地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自我探究、歸納總結(jié)。

2.4 在例題習(xí)題的設(shè)置上，教科書要注意學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律

英國教科書將二項(xiàng)式定理與估值、概率相結(jié)合，設(shè)置了一些具有創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)性、綜合性的題目。中國教科書不涉及估值的學(xué)習(xí)，所以習(xí)題的難度相對簡單，題型的選擇相對統(tǒng)一。例題習(xí)題的設(shè)置要遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，由簡到繁，由易到難。中學(xué)生對客觀世界的認(rèn)識(shí)具有循序發(fā)展的規(guī)律，即由感知、理解、識(shí)理、會(huì)通到靈活運(yùn)用。例題習(xí)題的設(shè)置要根據(jù)難易程度合理安排，不同類型的題量設(shè)置也要不同，因材施教才能做到靈活貫通。另外，題型的選取不能過于單調(diào)，要注重熟能生巧，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

3 結(jié)語

本文對我國新人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三和英國的Edexcel P2兩本教材中的二項(xiàng)式定理進(jìn)行比較研究。中外教材各有所長，我們不能一味地肯定國外教材的優(yōu)點(diǎn)，空泛地學(xué)習(xí)他國文化[8]。應(yīng)在對本國教材認(rèn)同的基礎(chǔ)上對國外教材進(jìn)行研究，取其精華，棄其糟粕，逐步完善我國高中數(shù)學(xué)教科書的編寫。