運用一題多變探究與(-1)n有關(guān)的數(shù)列求和問題*

遲麗杰 姜尚鵬

(山東省平度市第九中學,266700)

數(shù)列求和問題是高考試題中的?？碱}型,對于一些常用的數(shù)列求和方法,如公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法、并項求和法等,學生已經(jīng)熟練掌握.但在平時教學中,筆者發(fā)現(xiàn)對與(-1)n有關(guān)的數(shù)列求和,學生常感到無從下手.根據(jù)平時教學中的一些積累,本文對與(-1)n有關(guān)的數(shù)列求和進行了梳理和總結(jié),以變式探究的形式整理成文,與讀者分享.

一、問題呈現(xiàn)

引例已知an=(-1)n(2n-1),求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解因為Sn=-1+3-5+7-9+11-…+(-1)n(2n-1),所以

評注數(shù)列求和的關(guān)鍵在于分清數(shù)列通項公式的特點,由此選擇相應的求和方法.此題是(-1)nf(n)型的求和問題(其中f(n)是等差數(shù)列的通項公式),因此根據(jù)等差數(shù)列相鄰兩項的差為定值的特點,采用分組求和法可簡化問題;對n進行分類討論求和時可用類比思想解題,也可以利用奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關(guān)系解題,如本題中當n是奇數(shù)時,n-1是偶數(shù),則Sn=Sn-1+an=(n-1)-(2n-1)=-n.

二、變式探究

變式1若an=(-1)n2n,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

評注此題將引例中的f(n)換成了等比數(shù)列的通項公式,觀察an=(-1)n2n,發(fā)現(xiàn)此題中的(-1)n與2n分別是兩個等比數(shù)列的通項公式,其乘積的結(jié)果(-2)n也是一個等比數(shù)列的通項公式,由此轉(zhuǎn)化,可以直接用等比數(shù)列的前n項和公式求和.

變式5已知an=(-1)n-1(2n-1)2,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解易見Sn=(12-32)+(52-72)+…+(-1)n-1(2n-1)2=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+…+(-1)n-1(2n-1)2.

當n是奇數(shù)時,Sn=Sn-1+an=-2(n-1)2+(2n-1)2=2n2-1.

評注此題把f(n)換成(2n-1)2,題設中的(-1)n-1起到的作用是兩個平方項作差,相鄰兩項可以用平方差公式運算,用并項求和法即可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.當然,在解題細節(jié)上需要注意對n進行分類討論.

評注此題對前面的與(-1)n有關(guān)的求和問題進行了推廣,通項公式是分段函數(shù)型,其中的奇數(shù)項和偶數(shù)項是均勻分布的,學生很容易分清它們的項數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題.

變式7在數(shù)列{an}中,已知

其中k∈N，求{an}的前4n項和S4n.

評注此題是分段函數(shù)中的不均勻分組,重新組合后分組求和,因為求的是S4n,所以比較容易求和.若改為求Sn,則難度偏大,需要仔細分析并進行分類討論,數(shù)清各組的項數(shù),有興趣的同學課后不妨進一步探究.