操作·概括·應(yīng)用：圖形概念教學(xué)三部曲
——以《平行四邊形的認(rèn)識》教學(xué)為

文|蘭衍局（特級教師）

根據(jù)心理學(xué)的研究和學(xué)校教學(xué)的經(jīng)驗，學(xué)生主要通過兩種形式學(xué)習(xí)概念，這兩種形式是概念形成和概念同化。概念形成是指學(xué)習(xí)者對同類事物的大量例子進(jìn)行分析，對比其與其他事物的區(qū)別，從而發(fā)現(xiàn)這類事物的共同關(guān)鍵特征的學(xué)習(xí)方式。例如，要學(xué)習(xí)“平行四邊形”這個概念，先給學(xué)生提供平行四邊形的樣態(tài)，再讓學(xué)生總結(jié)平行四邊形的關(guān)鍵特征，這個過程就是概念形成。概念同化是由奧蘇伯爾提出的一種學(xué)習(xí)方式，它是指先把概念以定義的方式直接呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者，學(xué)習(xí)者利用自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中現(xiàn)有的概念和知識經(jīng)驗進(jìn)行理解，從而明確一類事物的共同關(guān)鍵特征的學(xué)習(xí)方式。例如，要學(xué)習(xí)平行四邊形的概念，直接以定義的形式給出它的關(guān)鍵屬性，“平行四邊形是對邊平行且相等的四邊形”，學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的四邊形、平行等概念來理解和掌握“平行四邊形”這個定義的過程，就是概念同化。

筆者認(rèn)為，在對圖形概念的教學(xué)中，不管是采用“概念形成”還是“概念同化”的教學(xué)方式，都適宜讓學(xué)生經(jīng)歷“操作、概括、應(yīng)用”三個步驟，深入建構(gòu)圖形的概念。下面以兩節(jié)《平行四邊形的認(rèn)識》一課為例，談?wù)剬D形概念教學(xué)的一些思考。

一、操作

1.操作，創(chuàng)造出各種樣態(tài)的平行四邊形。

研究平行四邊形，肯定需要各種形態(tài)的平行四邊形作為素材。這些圖形是教師提供呢？還是學(xué)生自己創(chuàng)造呢？毋庸置疑，后者更受學(xué)生歡迎。實踐表明，學(xué)生更容易從自己創(chuàng)造出的“圖形”發(fā)現(xiàn)圖形的特征，有利于圖形概念的建構(gòu)。這兩則教學(xué)設(shè)計都能“通過學(xué)生操作”來獲取“各種樣態(tài)”的平行四邊形作為研究素材。

第一堂課，教師從學(xué)生熟悉的長方形引入新課，借助長方形研究的視角，有效地實現(xiàn)了知識的遷移作用。接著，讓學(xué)生動手變魔術(shù)，將長方形拉成平行四邊形，學(xué)生在“拉動”的操作過程中創(chuàng)造出了豐富的平行四邊形。

第二堂課，教師利用學(xué)生身邊的學(xué)習(xí)工具——直尺，開展操作活動。借助直尺對邊平行的特性，讓學(xué)生將兩把直尺重疊，得到多種樣態(tài)的平行四邊形。

2.操作，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的多種特征。

平行四邊形有很多特征：兩組對邊分別相等，兩組對角分別相等，兩條對角線互相平分，相鄰兩角互補(bǔ)，被一條對角線平分成兩個全等三角形，中心對稱圖形……教材的編寫中，主要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)對邊相等和對邊平行的特征，這兩個特征又都可以用來定義平行四邊形，屬于“定義性特征”。

第一堂課，教師讓學(xué)生對平行四邊形的特征進(jìn)行了大膽的猜測后，再給學(xué)生一定的空間與時間，放手讓學(xué)生選擇一種或兩種猜想進(jìn)行自主探究、有序驗證。就驗證的內(nèi)容而言，有的小組選擇驗證平行四邊形的對角是否相等，有的小組選擇驗證平行四邊形的對邊是否相等。就驗證的方法來看，有的利用“在平行線之間畫垂線”來驗證對邊是否平行，有的利用“延長平行四邊形的對邊，看是否相交”來驗證對邊是否平行，有的利用三角板推一推來驗證對邊是否平行。這樣的操作活動不僅是學(xué)生親歷驗證猜想的過程，更是學(xué)生感悟、認(rèn)識平行四邊形本質(zhì)屬性的過程。

第二堂課，教師讓學(xué)生在“拼直尺”的活動中，發(fā)現(xiàn)了“對邊平行”的特征；然后，教師讓學(xué)生借助直尺判斷哪些圖形是“平行四邊形”，學(xué)生在平移、畫垂線、測量等過程中，發(fā)現(xiàn)了“對邊相等”的性質(zhì)。由于知識是學(xué)生自己探索出來的，能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓知識的形成生動而深刻。

3.操作，溝通平行四邊形特征之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

特征的教學(xué)不僅僅是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，更重要的是讓學(xué)生感受到平行和相等這兩個特征的相互關(guān)聯(lián)……兩堂課，都關(guān)注到了這點。

第一堂課中，教師先引導(dǎo)學(xué)生對一個平行四邊形進(jìn)行猜想驗證，再提出：“是不是所有的平行四邊形都具有這樣的特征呢？”緊接著利用幾何畫板動態(tài)演示，通過拉動標(biāo)有數(shù)據(jù)的平行四邊形，使學(xué)生直觀地感受到不管平行四邊形形狀如何變化，對邊平行、對邊相等、對角相等這些特征是不會改變的；相反，只要改變其中任何一個特征，其他的特征也不存在，圖形也就不再是“平行四邊形”。通過這樣的演示，以數(shù)釋形，使學(xué)生對概念的理解更精準(zhǔn)、更深刻。在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了大膽猜想、縝密驗證、歸納推理、推廣應(yīng)用，不僅有知識層面的收獲，更有數(shù)學(xué)思想方法層面的提升，可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷發(fā)展。

第二堂課中，教師根據(jù)學(xué)生提出的“如果上下、左右邊平行，那么，上下、左右邊肯定相等”；反之，“如果上下、左右邊相等，那么，上下、左右邊肯定平行”。讓每個學(xué)生都拿出學(xué)具，邊操作、邊思考，在操作中理解了“為什么只要兩組對邊平行，就會有兩組對邊相等”的道理，理清了平行和相等的關(guān)系，讓學(xué)生深入理解“性質(zhì)”之間的關(guān)聯(lián)。

二、概括

數(shù)學(xué)概念能簡明扼要地用文字表達(dá)出圖形的性質(zhì)，需要高度的歸納能力，而這種能力更需要在教學(xué)活動中訓(xùn)練和培養(yǎng)。兩堂課，都為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了條件。

1.兩種不同方式概括。

第一堂課，讓學(xué)生觀察各種形態(tài)的平行四邊形，然后通過比較、抽象、歸納，得出平行四邊形的概念。這樣的教學(xué)方法，在心理學(xué)中稱為“概念形成”（由具體實例概括出概念）。這種教學(xué)的優(yōu)勢是便于學(xué)生比較、討論，從而發(fā)現(xiàn)共性，進(jìn)而歸納概括。

第二堂課，采用的教學(xué)方法是，由兩組平行線交疊生成平行四邊形，這樣通過增添已知概念的屬性來定義新概念是典型的“概念同化”。這樣的教學(xué)方式，能幫助學(xué)生積累歸納數(shù)學(xué)概念的能力，讓學(xué)生更好地理解平行四邊形的本質(zhì)屬性。

2.在觀察和辨析中概括。

人教版教材的編排順序是先學(xué)習(xí)長方形，再學(xué)習(xí)平行四邊形。這種“先入為主”的編排，對學(xué)生理解“長方形也是平行四邊形”有一定的負(fù)遷移作用，這也成了本課教學(xué)的難點之一。如何突破呢？

第一堂課，教師讓學(xué)生在拼小棒的過程中，發(fā)現(xiàn)長方形和一般平行四邊形的關(guān)系，體會到長方形的特殊性，進(jìn)而讓學(xué)生判斷“長方形是否是平行四邊形”，最后用集合圖來聯(lián)系。

第二堂課，教師在教學(xué)中，先借助平行四邊形的概念，讓學(xué)生在辨析中逐漸明白“特殊”的含義；然后，通過“概念同化”的教學(xué)方式，讓學(xué)生歸納“長方形”的概念（需要說明的是，對長方形概念的歸納，既是對“概念同化”的詮釋，又能讓學(xué)生從本質(zhì)上理解長方形的概念）；最后，通過教具演示，變換平行四邊形的各種形態(tài)，溝通平行四邊形和長方形的“從屬”關(guān)系，以此達(dá)到教學(xué)目的。

3.借助空間想象概括。

學(xué)生對空間圖形的認(rèn)識和感受及表象的形成不是一蹴而就的，需要通過一系列的體驗才能達(dá)成。提高幾何形體從“靜態(tài)”轉(zhuǎn)化為“動態(tài)”的速度和效率，更需要教師在學(xué)法指導(dǎo)時，有效地實施“動態(tài)想象”。

第一堂課，在形成概念后，教師沒有問“平行四邊形有什么特點？”而是問“現(xiàn)在請你再來說說怎樣的圖形是平行四邊形？你的腦海里有一個平行四邊形嗎？如果去掉一條邊，你還能想象出它原來的樣子嗎？再去掉一條邊，還可以嗎？現(xiàn)在呢？至要保留幾條邊才能想象出這個平行四邊形原來的樣子？根據(jù)這一條邊可以想象出多少個平行四邊形？”這時學(xué)生頭腦中可以想象出不同方位、不同形狀的平行四邊形?？此苾蓚€差不多的問題，但前者重知識技能，后者重思維的空間想象。因為回答“平行四邊形有什么特點”這個問題，學(xué)生無需想象，答案是可以背下來的。而“平行四邊形是怎么樣的”，此時學(xué)生需要展開想象，回憶平行四邊形的表象，通過想象和回憶，才能描繪出來。這樣，在學(xué)生頭腦中就會形成平行四邊形的表象，學(xué)生在描繪的同時，會自然、本能、下意識地展開想象。課堂上多經(jīng)歷動態(tài)想象，可以很好地促進(jìn)學(xué)生空間觀念和想象能力的發(fā)展。

第二堂課，在學(xué)生理解可以用兩組對邊相等或兩組對邊平行概括之后，教師并沒有就此停止對“平行四邊形”的概括，而是讓學(xué)生通過想象，借助兩條相等的對邊想象平行四邊形的性質(zhì)，溝通了“對邊相等和平行”之間的關(guān)系，并得出“只要有兩條邊相等，就能畫出一個平行四邊形”的錯誤觀點，通過旋轉(zhuǎn)其中一條對邊，讓學(xué)生想象形狀，進(jìn)而破解“錯誤觀點”，得出“一組對邊平行且相等”的概括方式。

三、應(yīng)用

應(yīng)用是數(shù)學(xué)概念形成的“最后一步”，使得數(shù)學(xué)概念重新回到生活中去，在學(xué)生腦海中“生根”。

1.應(yīng)用概念畫平行四邊形。

兩堂課都設(shè)計了同樣的教學(xué)環(huán)節(jié)：讓學(xué)生在格子圖（或點子圖）中畫出一個平行四邊形。為了讓學(xué)生體會到概念與形狀之間的聯(lián)系，兩位教師都讓學(xué)生在操作時思考：依據(jù)什么來畫平行四邊形？將平行四邊形概念與畫圖步驟相結(jié)合。最后，在辨析和操作中，完成了對“文字與圖形”的溝通。

2.應(yīng)用概念歸納推理出新特征。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有時根據(jù)個別對象具有的特征推出一類事物都具有這一特征，或通過對對象的直覺判斷發(fā)現(xiàn)一類事物的共同特征等推理形式，都屬于歸納推理。

第二堂課中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“一組對邊相等，就可以畫出一個平行四邊形”的錯誤觀點之后，再通過旋轉(zhuǎn)其中一條邊，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“一組對邊平行且相等”這一新特征。然后，應(yīng)用這一新特征畫平行四邊形（這種畫法，在操作層面上是非常簡單的），學(xué)生在操作中進(jìn)一步感受到了這些性質(zhì)的價值，對于平行四邊形有了更加深刻的理解。

3.應(yīng)用概念完善知識體系。

第一堂課，教師首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：4 根小棒居然可以擺出那么多個平行四邊形，而且每個平行四邊形的形狀都不一樣，從而揭示平行四邊形易變形的特性。接著，引發(fā)學(xué)生辨析長方形、正方形是不是平行四邊形，將目光又一次聚焦到圖形的特征上，使學(xué)生再次明白，在平行四邊形變形的過程中，“對邊平行”這一本質(zhì)屬性不變。最后，讓學(xué)生借助圖形動態(tài)變化揭示出它們之間的關(guān)系后逐步完善韋恩圖，溝通了知識間的聯(lián)系。集合圈的出現(xiàn)將三個圖形的概念統(tǒng)整在一起，達(dá)到“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的境界。如此，讓學(xué)生在研究“易變性”的過程中，將平行四邊形、長方形、正方形等各種概念進(jìn)行比較和溝通，進(jìn)而完善知識體系。這樣的活動也讓學(xué)生真正體驗思考的力量，獲得經(jīng)驗和智慧的生長。

《平行四邊形的認(rèn)識》是人教版小學(xué)四年級上冊的內(nèi)容，是屬于“圖形認(rèn)識”領(lǐng)域的一節(jié)概念種子課，對學(xué)生豐富平面圖形的認(rèn)識，發(fā)展空間觀念有重要的影響。

兩節(jié)課一直都有兩條主線貫穿始終，一條是明線，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、探究平行四邊形特征的過程，幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗；另一條是暗線，從始至終注重對學(xué)生抽象概括、空間想象能力的培養(yǎng)，處處體現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。