合縱連橫，深究數(shù)學(xué)本體價(jià)值
——北師大版三下『圖形與幾何』兩節(jié)課的深度學(xué)習(xí)

文|黨 潔

數(shù)學(xué)本體價(jià)值的呼喚，是近年來(lái)的關(guān)注熱點(diǎn)，隨著學(xué)術(shù)界的百家爭(zhēng)鳴，“數(shù)學(xué)課的主要任務(wù)是教數(shù)學(xué)”成為共識(shí)。對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的聚焦，是小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂構(gòu)建的核心，也只有立足于學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)才能真正意義上培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。北師大版三年級(jí)下冊(cè)“圖形與幾何”部分涉及《圖形的運(yùn)動(dòng)》和《面積》兩個(gè)單元，擇其中《軸對(duì)稱(chēng)（一）》《面積單位》兩節(jié)課為例，從縱橫兩個(gè)維度深究數(shù)學(xué)本體價(jià)值，聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)。

一、縱向拉伸，數(shù)學(xué)思維的增長(zhǎng)

數(shù)學(xué)教材是教數(shù)學(xué)的藍(lán)本，并非全部。當(dāng)認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)時(shí)，在教學(xué)實(shí)踐中基于教材又不拘泥于教材的理念得到彰顯，比如單元整體學(xué)習(xí)、長(zhǎng)程學(xué)習(xí)等。相較語(yǔ)文、英語(yǔ)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)思維層次和計(jì)算能力有一定的要求，教材因此將“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“數(shù)學(xué)好玩”四部分精心分層搭配，落地到各個(gè)年級(jí)，符合學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律。這樣一來(lái)，原本連續(xù)的、一體的知識(shí)串變成了知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生點(diǎn)對(duì)點(diǎn)學(xué)習(xí)時(shí)回憶舊知、學(xué)習(xí)新知、鋪墊未知的內(nèi)在邏輯和思維方式培養(yǎng)需要教師的引導(dǎo)。跳脫單元層面，從小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)全局來(lái)看，北師大版教材將“圖形的運(yùn)動(dòng)”分為兩段四次，三年級(jí)下冊(cè)第二單元是學(xué)生第二次感知軸對(duì)稱(chēng)圖形，是在二年級(jí)上冊(cè)“圖形的變化”初步體驗(yàn)基礎(chǔ)上的一次進(jìn)階。同時(shí)，這一單元對(duì)軸對(duì)稱(chēng)圖形的準(zhǔn)確理解，將為五、六年級(jí)旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱(chēng)幾何作圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教師需要長(zhǎng)程理解教材，更重要的是將理解融進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂操作，助力學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

以往的教學(xué)基本上是沿用教材中“愛(ài)心、小魚(yú)、喜字”等開(kāi)篇引入，二年級(jí)上學(xué)期時(shí)通過(guò)剪一剪得到的“T 恤、王字、海星、楓葉、中字、十字”這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)則成了記憶。實(shí)際上，教材編寫(xiě)是全局的、總體的，先前的學(xué)習(xí)資料就是“先行組織者”，可成為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。本課可以直接以“T 恤、王字……”開(kāi)篇，二年級(jí)上學(xué)期時(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)痕跡保留在《學(xué)習(xí)單》上，此時(shí)翻看《學(xué)習(xí)單》，引導(dǎo)開(kāi)啟記憶鏈條，回憶“我當(dāng)時(shí)是怎么剪的？”“剪一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形有哪些步驟？”“要注意什么？”等等。這樣的新知引入比較自然，貼合學(xué)情。緊接著，即可沿用“T恤、王字……”，也可使用教材提供的附頁(yè)1 中圖1（即愛(ài)心、小魚(yú)圖形）來(lái)完成折一折動(dòng)手操作，學(xué)生充分體驗(yàn)圖形的運(yùn)動(dòng)，直觀感受“完全重合”“重疊”的含義，再進(jìn)行“下定義”“判斷”等精加工，將具體經(jīng)驗(yàn)上升到數(shù)學(xué)概念。

同時(shí)，在最大限度發(fā)揮原有學(xué)習(xí)資料的“復(fù)習(xí)舊知”“對(duì)折素材”的作用時(shí)，也要注意辨析——二年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)時(shí)剪了的“王、十、中”三個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，學(xué)生進(jìn)行對(duì)折找對(duì)稱(chēng)軸時(shí)發(fā)現(xiàn)上下對(duì)折、左右對(duì)折都可以，即對(duì)稱(chēng)軸不止一條。這與三年級(jí)下冊(cè)本單元原先的設(shè)計(jì)沖突了嗎？本課教材擇取愛(ài)心、小魚(yú)、喜字、房子、字母A 這五個(gè)圖形，隱性目的是這幾個(gè)圖形的“對(duì)稱(chēng)軸只有一條”，規(guī)避了其他可能性。實(shí)際教學(xué)中，習(xí)題的千變?nèi)f化常常對(duì)這一點(diǎn)發(fā)起沖擊，教師需要反復(fù)講解。因此，此處的處理順應(yīng)學(xué)情即可，在不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下，適當(dāng)?shù)难由焓强尚械摹⒂行У?。最后，運(yùn)用《學(xué)習(xí)單》還可鼓勵(lì)學(xué)生在對(duì)折之后，嘗試畫(huà)出圖形的對(duì)稱(chēng)軸，這一開(kāi)放性留白不僅為學(xué)生提供了思維發(fā)散的空間，也使得這一《學(xué)習(xí)單》成為五年級(jí)上冊(cè)《軸對(duì)稱(chēng)再認(rèn)識(shí)(一)》的學(xué)習(xí)素材，實(shí)現(xiàn)《學(xué)習(xí)單》的相互補(bǔ)充、循環(huán)利用。學(xué)生的深度學(xué)習(xí)離不開(kāi)教師的引導(dǎo)，以《學(xué)習(xí)單》為抓手，因“生”制宜搭建思維臺(tái)階，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)；同時(shí)，充分挖掘?qū)W習(xí)資料的價(jià)值，實(shí)現(xiàn)一題多思、多解、多用，巧妙變身《訂正單》《學(xué)習(xí)單》等，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

二、橫向延展，數(shù)學(xué)思想的拓寬

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本體價(jià)值的挖掘除了縱向維度的上下連接，還可以進(jìn)行橫向方面的充分拓展，以《面積單位》一課為例。這是一節(jié)傳統(tǒng)而典型的概念課，教授范式大多是“講授法”：教師開(kāi)宗明義、學(xué)生機(jī)械記憶。類(lèi)似“為什么需要面積單位？”“面積單位從哪兒來(lái)的”等問(wèn)題的誘發(fā)少之又少，干癟的下定義不僅不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，而且掩蓋了數(shù)學(xué)史的文化價(jià)值及其教育功能。本課教學(xué)時(shí)可使用《學(xué)習(xí)單》呈現(xiàn)“面積單位由來(lái)”的文字資料，學(xué)生通過(guò)閱讀了解到尼羅河流域是古埃及文明發(fā)源地，洪水沖走土地界限，為了準(zhǔn)確納稅，專(zhuān)門(mén)測(cè)量土地面積的司繩責(zé)任重大。司繩們分頭前往各地測(cè)量卻引發(fā)了爭(zhēng)吵，究竟是什么原因呢？——恰當(dāng)創(chuàng)編兩種大小各異的丈量面積的“方格”，激化思考、得出“大小不同，測(cè)量結(jié)果不同”的感悟，實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)史實(shí)到一線(xiàn)課堂的“搭橋”，自然走進(jìn)課程，讓學(xué)生體會(huì)統(tǒng)一面積單位的必要性。

從學(xué)習(xí)長(zhǎng)度到學(xué)習(xí)面積單位，是學(xué)生抽象思維的跨越式發(fā)展，是一維空間向二維空間的轉(zhuǎn)化，是空間形式“由線(xiàn)到面”認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。看似簡(jiǎn)單直接的概念課，其實(shí)飽含深度，需要幫助學(xué)生在頭腦中建構(gòu)清晰、深刻的面積單位表象。這個(gè)建構(gòu)過(guò)程不是一蹴而就的，而是“建構(gòu)——調(diào)整——再建構(gòu)”螺旋式遞進(jìn)的過(guò)程。為能讓學(xué)生經(jīng)歷面積單位表象由具體至抽象過(guò)程，對(duì)于“平方分米、平方厘米、平方米”的認(rèn)識(shí)需要層層遞進(jìn)、逐個(gè)突破。教材由小到大順序呈現(xiàn)三個(gè)面積單位，在多次教學(xué)實(shí)踐中體會(huì)到教學(xué)成效不夠理想。于是，嘗試從平方分米入手。平方分米是常用的面積單位，易于操作、展示，以手掌作為參照物，貼合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。通過(guò)猜、記、畫(huà)、找、量等活動(dòng)體驗(yàn)，幫助學(xué)生建構(gòu)正確的面積單位表象。表象的經(jīng)歷從膚淺的猜一猜、記一記到深刻的畫(huà)一畫(huà)、量一量等過(guò)程，這一系列的活動(dòng)讓學(xué)生頭腦中1 平方分米的表象得到不斷的調(diào)整和明晰，從無(wú)到有、從粗糙到精致。對(duì)平方分米充分有效的深度學(xué)習(xí)，利于建構(gòu)學(xué)習(xí)模式，接下來(lái)學(xué)習(xí)平方厘米和平方米才能真正實(shí)現(xiàn)由扶到放的教學(xué)策略，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

課末再次點(diǎn)撥，回歸面積單位的源頭?！巴瑢W(xué)們，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。尼羅河的洪水泛濫帶給人們?yōu)碾y，勤勞智慧的古人卻由此發(fā)現(xiàn)了面積的秘密。究竟司繩們是如何測(cè)量土地的呢？用的是什么面積單位？期待你認(rèn)真翻閱書(shū)籍、借助互聯(lián)網(wǎng)，找到答案。明天的數(shù)學(xué)課，由你們來(lái)分享?！苯?gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生的建構(gòu)不是教師傳授的結(jié)果，而是通過(guò)親身經(jīng)歷，通過(guò)與學(xué)習(xí)環(huán)境的交互作用來(lái)實(shí)現(xiàn)的。古埃及人使用繩子丈量土地，使用的基本面積單位是斯塔特，1 斯塔特=2735 平方米。1 斯塔特到底有多大呢？在如此追問(wèn)中，學(xué)生帶著對(duì)數(shù)學(xué)史的思考走出課堂。

小學(xué)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)，需要縱向梳理，從數(shù)學(xué)知識(shí)整體性、全局性出發(fā)，將分學(xué)段、分單元的知識(shí)點(diǎn)前后銜接、串連成線(xiàn)，逐漸鋪面，形成知識(shí)體系；需要橫向延伸，發(fā)揮數(shù)學(xué)史的育人功能，體現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的本質(zhì)關(guān)系。當(dāng)數(shù)學(xué)本體價(jià)值在課堂得以展現(xiàn)時(shí)，學(xué)習(xí)才能真正具有深度、厚度和溫度。