一題一課一世界
——一道旋轉(zhuǎn)題的多思、多解、多變

張 希 林 玲

(四川省成都市教科院附屬學(xué)校,610000)

旋轉(zhuǎn)是初等幾何中的三大基本變換之一，也是初中數(shù)學(xué)中的一個難點(diǎn).在每年的各類試題中,旋轉(zhuǎn)問題常常作為壓軸題出現(xiàn).2020年成都市錦江區(qū)期末數(shù)學(xué)試卷第20題就是一道旋轉(zhuǎn)題,它融合全等三角形、平面直角坐標(biāo)系、三角形中位線、直角三角形等元素.本文對該題從不同視角展開解法探究并進(jìn)行變式拓展,以期讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的多彩性,以及對題型研究提供方向和指導(dǎo).

一、試題呈現(xiàn)

(1)求證:AG=GF;

(2)略.

二、多彩解法

思路1以E為頂點(diǎn)構(gòu)造手拉手模型

解法1如圖2,過點(diǎn)E作EM⊥CB交CD與點(diǎn)M,連結(jié)MF,則得等腰Rt?CEM，∴CE=ME.

由ED=EF,∠DEF=90°,易證?CED≌?MEF,∴MF=CD=AD,∠EMF=∠DCE=∠CME=45°,

∴∠CMF=90°=∠GDA,

∴?MGF≌?DGA,∴AG=GF.

思路2建系法+“一線三直角”模型

解法2如圖3,以C為原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.過點(diǎn)E作ME⊥BC,過點(diǎn)D作DM⊥ME于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FN⊥ME于點(diǎn)N,則由“一線三直角”模型,可得?DME≌?ENF,

∴DM=EN,EM=NF.

設(shè)AC=BC=2a,CE=b,則A(0,2a),B(2a,0),D(a,a),E(b,0).

∴M(b,a),F(a+b,-a+b).

思路3構(gòu)造“一線三直角”模型

解法3如圖4,過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)BF.

由“一線三直角”模型,可得?DEM≌?EFN,∴DM=EN,EM=FN.

易知?DMB是等腰直角三角形,

∴BM=DM=EN，∴BN=EM=FN，

∴?BNF是等腰直角三角形,

∴∠DBF=45°+45°=90°.

∵CD⊥AB,∴DG∥BF.

易知D是AB的中點(diǎn),

∴G是AF的中點(diǎn),即AG=GF.

思路4中位線法

如圖5,過點(diǎn)E作EM⊥EB交AB于點(diǎn)M,連結(jié)BF,則得等腰Rt?BEM.

∵DE⊥EF且DE=EF,

∴?MDE≌?BFE,

∴∠EMD=∠EBF=45°,

∴∠DBF=90°.

∵D是AB的中點(diǎn),DG∥BF，

∴G是AF的中點(diǎn),即AG=GF.

三、變式探究

愛因斯坦曾經(jīng)說:“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.因?yàn)榻鉀Q問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已,而提出新的問題,卻需要有創(chuàng)造性的想象力,而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.” “變式探究”是在“變式教學(xué)”的基礎(chǔ)上,根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn),通過創(chuàng)設(shè)合理的、有挑戰(zhàn)性的問題變式,激發(fā)學(xué)生的探究興趣,點(diǎn)燃學(xué)生探究的種子.“變式探究”為學(xué)生的思維發(fā)展提供支架,同時有目的、有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律,真正做到融會貫通.

分析如圖6,過點(diǎn)E作EM⊥EB交CG延長線于點(diǎn)M,連結(jié)MF.易證?CDE≌?MFE,

∴∠DCE=∠EMF=45°,CD=MF,

∴∠GMF=90°.

又∵CD是等腰Rt?ACB斜邊中線，

∴MF=CD=AD，

∴?AGD≌?FGM,∴AG=GF.

變式2點(diǎn)E是線段CB延長線上一點(diǎn),G是AF與CD延長線的交點(diǎn),問AG與GF是否相等?

分析如圖7,過點(diǎn)E作EM⊥EB交CG延長線于點(diǎn)M,連結(jié)MF.易證?CDE≌?MFE,

∴∠DCE=∠EMF=45°,CD=MF,

∴∠CMF=90°.

同理，可證?AGD≌?FGM,∴AG=GF.

變式3點(diǎn)E是線段BC延長線上一點(diǎn),問AG與GF是否相等?

分析如圖8,過點(diǎn)F作FM⊥DG的延長線于點(diǎn)M,過點(diǎn)D作DN⊥BE于點(diǎn)N,過點(diǎn)F作FL⊥EN于點(diǎn)L，連結(jié)BF.

由“一線三垂直”模型,可得?DEN≌?EFL,∴EN=FL,EL=DN.

∵?DNB是等腰直角三角形,

∴DN=NB,∴BL=FL,

∴?BLF是等腰直角三角形,

∴∠DBF=90°.

易得長方形BDEF，∴MF=BD=AD，

∴?AGD≌?FGM,∴AG=GF.

變式4當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上運(yùn)動時,求點(diǎn)C到直線BF的最小值.

分析點(diǎn)E是主動點(diǎn),點(diǎn)F是從動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上運(yùn)動時,點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡也是一條直線.這也是我們常說的“瓜豆原理”.

如圖8,當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)N時,點(diǎn)F與點(diǎn)B重合.

由解法2,可知kBF=1,所以點(diǎn)F的軌跡是過點(diǎn)B且平行于CD的直線.

∵CD⊥AB,

變式5如圖9,在Rt?ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)E在AC上運(yùn)動,連結(jié)BE,把BE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)F,連結(jié)AF.取AF的中點(diǎn)M,連結(jié)ME,MC,求證:ME=MC.

證明如圖10,過點(diǎn)F作FH⊥EC的延長線于點(diǎn)H,連結(jié)MH.

易證?ECB≌?FHE,

∴FH=CE,CH=AE.

在Rt?AHF中，MH為斜邊中線,

∴AM=MH，∠MAE=∠MHC，

∴?AEM≌?HCM,∴ME=MC.

四、結(jié)束語

本著以觀察為起點(diǎn),以問題為主線,以培養(yǎng)能力為核心的宗旨,筆者著意培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的能力,引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動、變化的角度看問題,這不僅叩開學(xué)生思維之門,也打開了他們的心靈之窗.

本題是旋轉(zhuǎn)類幾何綜合題,學(xué)生經(jīng)歷了探索圖形旋轉(zhuǎn)過程,已經(jīng)積累了相當(dāng)?shù)膱D形變換的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),他們的邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型逐步向理論型發(fā)展,觀察能力、記憶能力和想象能力也得到了迅速的提升.

本文從一題多解,到一題多變,整節(jié)課環(huán)環(huán)相扣,節(jié)奏緊湊,有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,提升學(xué)生的思維品質(zhì).