方程與不等式思想在“數(shù)與代數(shù)”問題中的應(yīng)用
——以2021年中考題為例

周澤軍

(湖北省武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué),430223)

本文從概念、性質(zhì)、圖形或圖象、實(shí)際應(yīng)用四個(gè)方面探究方程與不等式思想在中考中的應(yīng)用.

一、由概念產(chǎn)生方程與不等式

例1(2021年聊城中考題)關(guān)于x的方程x2+4kx+2k2=4的一個(gè)解是-2,則k的值為( )

(A)2或4 (B)0或4

(C)-2或0 (D)-2或2

解析此題考查了方程的解的概念.

把x=-2代入方程x2+4kx+2k2=4,得4-8k+2k2=4,解得k1=0,k2=4.故選B.

解析此題考查了二元一次方程(組)解的概念.

解析此題考查了解分式方程和解一元一次不等式.

將原分式方程去分母,得3x=-m+2(x-1),去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得x=-m-2.由方程的解為正數(shù),可得-m-2>0且-m-2≠1，解得m<-2且m≠-3.

評(píng)析本題的解題思路分為三步:一是求解關(guān)于x的分式方程,二是由題意得到關(guān)于m的不等式并解之,三是注意隱含條件(分式的分母不為零)對(duì)參數(shù)取值的限制.

解析此題考查了解一元一次不等式組.

由題意，可得3<2a+3≤4,

評(píng)析對(duì)于含字母系數(shù)的不等式(組),先把其中的字母看作已知數(shù),求出其解集(即用含字母的代數(shù)式表示解集),再依題對(duì)解集的具體限制,得到新的方程(組)或不等式(組),最后由新的方程(組)或不等式(組)解決問題.

二、由“性質(zhì)”產(chǎn)生方程與不等式

(A)8 (B)6或8

(C)7 (D)7或8

解析此題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn),以及分類討論思想.

由非負(fù)性,得到方程組

∴等腰三角形的周長(zhǎng)為7或8,故選D.

例6(2021年廣元中考題改編)將二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后,所得新函數(shù)的圖象如圖1所示.

(1)過點(diǎn)(4,0)的直線與新函數(shù)的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí),則直線的解析式是______.

(3)當(dāng)直線y=x+b與新函數(shù)的圖象恰有4個(gè)公共點(diǎn)時(shí),則b的取值范圍是______.

解析易得拋物線y=-x2+2x+3與x軸的交點(diǎn)為A(-1,0),B(3,0),翻折部分的拋物線解析式為y=(x-1)2-4(-1≤x≤3).

(1)分兩種情況討論:

當(dāng)直線平行于y軸時(shí),x=4.

(2)分三種情況討論:

當(dāng)直線與x軸平行且過(1,-4)時(shí)滿足條件,此時(shí)y=-4.

根據(jù)題意,可設(shè)滿足條件的直線解析式為y=x+b.

當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)B(3,0)時(shí),直線與新函數(shù)圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn).

此時(shí),3+b=0,解得b=-3.

評(píng)析例6是利用一元二次方程根的判別式的性質(zhì)解決問題.

三、由圖形或圖象產(chǎn)生方程與不等式

例7(2021年日照中考題)如圖3,在矩形ABCD中,AB=8cm,AD=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)C停止.同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以vcm/s的速度沿CD邊向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)D停止,規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)v為______時(shí),?ABP與?PCQ全等.

例8(2021年遂寧中考題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖4所示,有下列5個(gè)結(jié)論:①abc>0;②b2<4ac;③ 2c<3b;④a+2b>m(am+b)(m≠1);⑤ 若方程|ax2+bx+c|=1有四個(gè)根,則這四個(gè)根的和為2.其中正確的結(jié)論有( )

(A)2個(gè) (B)3個(gè) (C)4個(gè) (D)5個(gè)

評(píng)析從知識(shí)的融合處設(shè)置問題,既可以考查學(xué)生思維的深度與廣度,還可以有效地考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決問題的素養(yǎng)與能力.如,例7是方程思想在幾何中的應(yīng)用,例8是方程思想在函數(shù)中的應(yīng)用.其中二次函數(shù)的圖象與系數(shù)關(guān)系類問題主要考查圖象的形狀、大小、位置,函數(shù)解析式中系數(shù)變化與圖象大小、圖象位置的關(guān)系,函數(shù)的增減性、最值、圖象對(duì)稱性、函數(shù)值的大小比較等.

四、實(shí)際應(yīng)用中產(chǎn)生的方程與不等式

例9“十一”期間,小明一家乘坐高鐵前往某市旅游,計(jì)劃第二天租用新能源汽車自駕出游.

根據(jù)圖6提供的信息,解答下列問題:

(1)設(shè)租車時(shí)間為x小時(shí),租用甲公司的車每日所需費(fèi)用為y1元,租用乙公司的車每日所需費(fèi)用為y2元,分別求出y1,y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

(2)當(dāng)租車時(shí)間為多少小時(shí)時(shí),兩種方案所需費(fèi)用相同;

(3)根據(jù)(2)的計(jì)算結(jié)果,結(jié)合圖象,請(qǐng)你幫助小明分析選擇怎樣的出游方案更合算.

例10(2021年臺(tái)灣中考題)碳足跡標(biāo)簽是一種碳排放量的標(biāo)示方式,讓大眾了解某一產(chǎn)品或服務(wù)所產(chǎn)生的碳排放量多寡,如圖7所示.碳足跡標(biāo)簽的數(shù)據(jù)標(biāo)示有其規(guī)定,以碳排放量大于20公克且不超過40公克為例,此范圍內(nèi)的碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示只有20,22,24,…,38,40公克等11個(gè)偶數(shù);碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示決定于碳排放量與這11個(gè)偶數(shù)之中的哪一個(gè)差距最小,兩者對(duì)應(yīng)標(biāo)示的范例見表1.

表1

請(qǐng)根據(jù)上述資訊,回答下列問題,并詳細(xì)解釋或完整寫出你的解題過程.

(1)若有一個(gè)產(chǎn)品的碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示為38公克,則它可能的碳排放量之最小值與最大值分別為多少公克?

(2)承(1),當(dāng)此產(chǎn)品的碳排放量減少為原本的90%時(shí),請(qǐng)求出此產(chǎn)品碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示的所有可能情形.

解析此題是一道開放性題,考查了不等式的相關(guān)知識(shí).將現(xiàn)實(shí)生活中的情境與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來,需要理解題目所給的信息,并分析出各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系.第(1)問根據(jù)題干中關(guān)鍵語(yǔ)句“碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示決定于碳排放量與這11個(gè)偶數(shù)之中的哪一個(gè)差距最小”,可得碳排放量之最小值與最大值分別為37.0公克和39.0公克.第(2)問由第(1)問的最大值和最小值乘以90%,分別得到33.3公克和35.1公克,進(jìn)而求出此產(chǎn)品碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示的所有可能情形為:34,36.

評(píng)析上述試題均是以實(shí)際問題為情境,注重培養(yǎng)與滲透學(xué)生的生活情境數(shù)學(xué)化能力.解答此類問題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析題目的文字信息,從問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,并建立數(shù)學(xué)模型.