借助轉(zhuǎn)化思想 巧解幾何最值

陳 炎

(安徽省六安市皋城中學,237000)

由于幾何最值問題,題型豐富、方法靈活,可以全方位考查學生的數(shù)學綜合能力,因而在每年的全國中考試題和各地的模擬試題中,?？汲Ｐ?此類問題直接求解比較困難,但如果能夠找到相關聯(lián)的要素,進行問題轉(zhuǎn)化,?？梢赃_到化繁為簡、化隱為顯、化難為易的目的.

一、通過勾股定理將目標線段進行轉(zhuǎn)化

在勾股定理x2+y2=a2中,若a是定值,則x取最大值時,y必取得最小值;x取最小值時,y必取得最大值.

分析EF是一條弦,所在圓半徑雖固定,但是位置不定,難以直接確定其在何處取得最大值.但經(jīng)過分析不難發(fā)現(xiàn),弦心距、一半弦長與半徑構(gòu)成直角三角形,故問題可轉(zhuǎn)化為求弦心距的最小值.

解如圖2,取CD中點G,過點G作GH⊥EF,垂足為H,連結(jié)FG,OG,過點O作OI⊥AB,垂足為I.

易得OA=6，OB=8，AB=10.

在Rt?ABO中,

在Rt?CDO中,G是CD的中點,

由“垂線段最短”原理,可知

OG+GH≥OI,

在Rt?FGH中，

二、通過三角函數(shù)將目標線段進行轉(zhuǎn)化

分析線段CQ是Rt?PCQ的直角邊,∠P=∠A,∠A為定角,因此求CQ的最大值就轉(zhuǎn)化為求CP的最大值.

解∵AB是直徑,∴∠ACB=90°.

在Rt?PCQ中,∠P=∠A,

顯然,當CP為直徑時,CQ取得最大值,

三、通過三角形全等將目標線段進行轉(zhuǎn)化

由全等三角形的性質(zhì)可得:全等三角形對應邊相等.因此在圖形中,如果能找到全等關系,則可以對目標線段進行轉(zhuǎn)化.

例3如圖4,邊長為4的等邊?ABC中,點E是對稱軸AD上的一個動點,連結(jié)EC,將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC,連結(jié)DF,則在點E的運動過程中,DF的最小值是______.

分析在頂點C處,存在一組等角和等線段,因此僅需再取一組等線段,即可構(gòu)造出“手拉手”全等模型,然后利用全等三角形的性質(zhì)將目標線段DF進行轉(zhuǎn)化.

解如圖5,取AC中點G,連結(jié)EG.

∵∠GCD=∠ECF,

∴∠GCD-∠ECD=∠ECF-∠ECD,

即∠GCE=∠DCF.

在?GCE和?DCF中，

∵CG=CD,∠GCE=∠DCF,CE=CF,

∴?GCE≌?DCF,∴DF=GE.

由“垂線段最短”,得當GE⊥AD時,GE取得最小值1,∴DF的最小值是1.

四、通過平行特征將目標三角形進行轉(zhuǎn)化

如圖6,若a∥b,則(1)S?ABD=S?ABC;

(2)S?ADO=S?BCO.

例4(2021年宿遷中考題)如圖7,在?ABC中,AB=4,BC=5,點D,E分別在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于點F,則?AFE面積的最大值是______.

分析由條件可以判定DE∥AC,在平行條件下,?AFE與?BDF面積相等,所以問題轉(zhuǎn)化為求?BDF面積的最大值.而?BDF與?ABD底邊共線、高相同,兩者面積之比等于底之比,最終將問題轉(zhuǎn)化為求?ABD面積的最大值.

解如圖8,連結(jié)DE.

∵CD=2BD,CE=2AE,∠DCE=∠BCA,

∴?DCE∽?BCA,∴∠ABC=∠EDC,

∴AB∥DE.

由AB∥DE,可得

轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想方法,而解題的過程就是“轉(zhuǎn)化”的過程,通過轉(zhuǎn)化可使問題實現(xiàn)從“山窮水復”到“柳暗花明”.