在探究挖掘過程中促進(jìn)深度學(xué)習(xí)
——以一道中考定點(diǎn)定角問題為例

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500)溫展平

2021年廣東中考第10 題是一個(gè)定點(diǎn)定直角問題，此題以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,注重考查思維和能力,內(nèi)涵豐富,潛力深,能用率高,有著不尋常的功能和應(yīng)用價(jià)值.在教學(xué)或復(fù)習(xí)中,如能這類試題,從不同角度、渠道、層次,引導(dǎo)學(xué)生探究延伸拓展,挖掘其潛在功能,既有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,也有助于發(fā)揮一題多用的功能,促進(jìn)深度學(xué)習(xí),提高學(xué)科素養(yǎng).

原題設(shè)O 為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、B 為拋物線y =x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB.連接點(diǎn)A、B,過O 作OC⊥AB 于點(diǎn)C,則點(diǎn)C 到y(tǒng) 軸距離的最大值( )

1 思路探究,挖掘基本方法

1.1 取特例,再猜想

評析本題無圖,且常規(guī)解法運(yùn)算量極大,思路1 先通過幾個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行試探,在觀察、對比的基礎(chǔ)上猜想直線AB過定點(diǎn)D(0,1),再根據(jù)定弦定角性質(zhì),得出點(diǎn)C 在以O(shè)D 為直徑的圓上.由此可以引導(dǎo)學(xué)生挖掘并理解探索法中的特殊化這種解題基本方法,即: 在解答比較困難的、目標(biāo)大的、一般化的原題時(shí),我們利用不太困難的、目標(biāo)較小的、特殊化的輔助題目作為一塊墊腳石[1].

圖1

圖2

1.2 設(shè)坐標(biāo),解方程

評析思路2 是把點(diǎn)用坐標(biāo)表示,把直線用方程表示,把距離用點(diǎn)坐標(biāo)的差表示,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,再通過代數(shù)的運(yùn)算的解決問題.由此可以引導(dǎo)學(xué)生挖掘并理解方程思想、數(shù)形結(jié)合的解題基本方法.

2 拓廣探究,挖掘一般結(jié)論

拋物線y =x2的二次項(xiàng)系數(shù)由1 推廣為a(a0),探討直線AB 是否過定點(diǎn).

問題1設(shè)O 為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、B 為拋物線y =ax2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB.連接點(diǎn)A、B,

求證直線AB 過定點(diǎn).

圖3

圖4

將拋物線y =x2的二次項(xiàng)系數(shù)1 變?yōu)閍(a0),頂點(diǎn)由原點(diǎn)推廣為拋物線上的任一點(diǎn)P(x0,y0),探討直線AB 是否過定點(diǎn).

問題2P(x0,y0)是拋物線y = ax2上的一點(diǎn), 點(diǎn)A、B 為拋物線上不同于點(diǎn)P 的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且PA⊥PB.連接點(diǎn)A、B,求證: 直線AB 過定點(diǎn).

將拋物線y =ax2的頂點(diǎn)由原點(diǎn),拓廣到平面上任一點(diǎn),探討直線AB 是否過定點(diǎn).

問題3P(x0,y0)是拋物線y =a(x-h)2+k 上的一點(diǎn),點(diǎn)A、B 為拋物線上不同于點(diǎn)P 的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), 且PA⊥PB.連接點(diǎn)A、B,試說明: 直線AB 過定點(diǎn).

說明拋物線y = a(x-h)2+k 可由拋物線y = ax2向左(或右)平移h 個(gè)單位長度,再向上(或下)平移k 個(gè)單位長度得到,所以直線AB 過的定點(diǎn),也可由平移和對稱的性質(zhì)得到:

(1)當(dāng)P(x0,y0)為頂點(diǎn)時(shí),直線過定點(diǎn)

(2)當(dāng)P(x0,y0)為一般點(diǎn)時(shí),直線過定點(diǎn)(-x0+2h,y0+

3 反面探究,挖掘逆向結(jié)論

將結(jié)論直線AB 是過定點(diǎn)變?yōu)闂l件,探討PA⊥PB 是否成立.

4 新題探究,挖掘應(yīng)用功能

改變條件的敘述方式或賦予條件適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù),可設(shè)計(jì)出一系列新的問題;而利用以上結(jié)論,結(jié)合這類問題的解題思路,可以簡化解題過程.

問題5直線y =x+2 與拋物線y =相交于A、B兩點(diǎn),則∠AOB =____.(課本例題改編)

略解因?yàn)橹本€過定點(diǎn)(0,2), 由問題5 的結(jié)論, 可得OA⊥OB, 所以∠AOB =90°.

問題6如圖5, 已知直線與拋物線y = ax2相交于A、B 兩點(diǎn), 且OA⊥OB, OD⊥AB 于點(diǎn)D, 點(diǎn)D 的坐標(biāo)為(-1,2),則a=____.(課本例題改編)

圖5

圖5

問題7如圖6, 直線y = mx+2m 與拋物線y =ax2+4ax+4a+3(a ＜0)相交于A、B 兩點(diǎn),點(diǎn)D 為拋物線的頂點(diǎn), 連接AD, BD, 若AD⊥BD, 則a =____.(中考真題改編)

略解因?yàn)閥 =mx+2m=m(x+2),所以直線過定點(diǎn)(-2,0),y =ax2+4ax+4a+3=a(x+2)2+3,所以頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)為(-2,3).因?yàn)锳D⊥BD,D 頂點(diǎn),由問題3 的結(jié)論(1)得=0,即a=-

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程[2].在平時(shí)的教學(xué)中,我們可以圍繞中考試題,通過試題的解法探究、問題推廣和延伸拓展,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題的提出、問題的分析和問題的解決這種數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程,體驗(yàn)成功的喜悅,從而提高學(xué)生的探究能力,培育學(xué)生的科學(xué)精神.