初中幾何中三角形等面積法的應(yīng)用探究

廣東省珠海市第五中學(xué)(519000)韓 彬

三角形的面積公式為: 底與高乘積的一半.看似非常簡單,小學(xué)便已掌握.在我們深入研究了公式本質(zhì)后,發(fā)現(xiàn)“等底同高”,“等底等高”,“同底等高”的三角形面積都相等.對(duì)于不同的兩個(gè)三角形來說,無論底和高的位置如何變化,只要長度數(shù)值不變,乘積就不變,面積也不變.對(duì)于某一個(gè)確定的三角形來說,即便是改變底和高,由于研究的對(duì)象沒變,面積也不會(huì)改變.因此三角形的面積相等將會(huì)有很多種可能.當(dāng)我們把它靈活的運(yùn)用起來以后便可以巧妙的解決求線段長,求圖形的面積,求最值,證明存在性等問題.

1 構(gòu)造三角形中線,尋找面積相等的三角形

人教版八年級(jí)上數(shù)學(xué)課本,對(duì)于三角形的中線的定義是這樣的.如圖,連接ΔABC 的頂點(diǎn)A 和它的對(duì)邊BC 的中點(diǎn)D,所得的線段AD 叫做ΔABC 的邊BC 上的中線.

圖1

例1長方形ABCD 的長為a,寬為b,E,F 分別是BC和CD 的中點(diǎn), DE,BF 交于點(diǎn)G, 求四邊形ABGD 的面積.

小結(jié)該題是一道相對(duì)比較復(fù)雜的幾何題,題目沒有給具體的數(shù)據(jù),只表示出了長方形的長和寬,而四邊形又是一個(gè)不規(guī)則的四邊形,沒有面積公式可以利用.解決這題的唯一抓手就是充分利用好邊的中點(diǎn).中點(diǎn)產(chǎn)生中線,中線分兩個(gè)等底同高的三角形,因此就將這道題串聯(lián)起來了.利用中線將四邊形的圖形進(jìn)行分割,產(chǎn)生三角形,再利用三角形的等面積的性質(zhì),將三角形的面積進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換,從而表示出每一個(gè)小三角形的面積,才能得解.

2 巧作一組平行線,發(fā)掘面積相等的三角形

例2如圖,在4×4 方格紙中,小正方形的邊長為1,點(diǎn)A,B,C 在格點(diǎn)上,若ΔABC 的面積為2,則滿足條件的點(diǎn)C 的個(gè)數(shù)是____.

圖3

分析本題是一道難度適中的填空題,其實(shí)網(wǎng)格中除去A,B,C 三點(diǎn)之外的格點(diǎn)并不多,采用枚舉法也可以找出答案,但是比較繁瑣.我們可以過C 點(diǎn)作直線AB 的平行線,平行線上的所有的點(diǎn)都可以滿足與AB 構(gòu)成的三角形面積等于2.同時(shí)關(guān)于直線AB 對(duì)稱的位置也還會(huì)有相等數(shù)量的點(diǎn).

解答過C 點(diǎn)作直線AB 的平行線, 與方格線交于C1,C2兩點(diǎn),連接C1A,C1B 得出ΔABC1,因?yàn)镾ΔABC1=SΔABC,同理可得: SΔABC2= SΔABC,根據(jù)圖形的對(duì)稱性,在直線AB 的另一側(cè)對(duì)稱的位置也會(huì)有一條平行線,與方格紙會(huì)產(chǎn)生C3,C4,C5三個(gè)點(diǎn).所以滿足條件的點(diǎn)有5 個(gè).

小結(jié)解決本題,不需要通過計(jì)算,而是借助平行線巧妙的去構(gòu)造多個(gè)同底等高的三角形.利用同底等高的三角形面積相等的特性來解決問題.在尋找同底等高的三角形時(shí),最關(guān)鍵的步驟是利用平行線,平行線與網(wǎng)格線的交點(diǎn)便是符合題意的點(diǎn).本題充分的體現(xiàn)了等面積法所帶來的快捷性和準(zhǔn)確性.結(jié)合平行線利用等面積法解題對(duì)于函數(shù)圖形問題還有更加重要的作用.

例3如圖,拋物線y =mx2-2mx-3m(m ＞0)與x軸交于A,B 兩點(diǎn),與y 軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)M 為拋物線的頂點(diǎn),且OC =OB.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若拋物線上有一點(diǎn)P,連接PC 交線段BM 于Q 點(diǎn),且SΔBPQ=SΔCMQ,求點(diǎn)P 的坐標(biāo).

圖4

分析本題第一問比較常規(guī), 只需要根據(jù)圖像與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)這一信息, 令y = 0 得出等式, 解出A,B 點(diǎn)坐標(biāo), 求出解析式中的參數(shù)即可.關(guān)鍵的第二問, 給出的條件SΔBPQ=SΔCMQ.利用等量加等量,由SΔBPQ+SΔBCQ=SΔCMQ+SΔBCQ得出SΔBCP= SΔCBM, 兩個(gè)三角形同底,必然等高,則可推斷出M,P 點(diǎn)所在的直線與直線BC 平行,從而求解.

解答(1)令y =0,得:mx2-2mx-3m=0,因?yàn)閙 ＞0同時(shí)除以m 得: x2-2x-3=0,解得: x1=-1,x2=3,因?yàn)锳(-1,0),B(3,0),OB = 3.所以O(shè)C = OB = 3,點(diǎn)C在y 軸的負(fù)半軸上,所以C(0,-3),所以-3m=-3,m=1,所以拋物線的解析式為: y =x2-2x-3.

(2)根據(jù)B 點(diǎn),C 點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出直線BC 解析式為:y =x-3,因?yàn)镾ΔBPQ=SΔCMQ,所以SΔBPQ+SΔBCQ=SΔCMQ+SΔBCQ,所以SΔPBC=SΔMBC,所以MP//BC,因此直線MP 的解析式可以設(shè)為: y = x + n, 根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)M(1,-4), 可得直線解析式為: y = x - 5.聯(lián)立解得:(舍 去), 或

總結(jié)平行線間的距離處處相等,將這個(gè)相等的距離看作三角形的高,只要在平行線的一條中確定一段線段作為公共的底,那么在另一條平行線中任意確定一點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積就是一個(gè)固定的值.因此便可以產(chǎn)生無數(shù)個(gè)面積相等的三角形,我們便可以根據(jù)這一特性,找到其中符合要求的那一對(duì)三角形.

3 借助面積相等的三角形,解決多種常見的幾何問題

3.1 解決求定值的問題

例4如圖, 點(diǎn)E 在正方形ABCD 的對(duì)角線AC 上,且AE = AD, 點(diǎn)P 是BE 上任一點(diǎn), PN⊥AB 于點(diǎn)N,PM⊥AC 于點(diǎn)M, 若正方形ABCD 的面積是12, 證明PM +PN 是一個(gè)定值,并且計(jì)算出這個(gè)定值．

圖5

分析連接AP,過E 作EF⊥AB 于F.將ΔABE 分成ΔAEP 與ΔABP 兩個(gè)三角形.可根據(jù)三角形的面積不變的特性,即SΔABE=SΔAEP+SABP,而這三個(gè)三角形的底,AE =AD =AB 底相等,那么面積關(guān)系就轉(zhuǎn)化為高的關(guān)系了.便有PM +PN =EF,求出EF 的長,即可求解.

小結(jié)本小題關(guān)鍵在于拆分三角形,將一個(gè)三角形分成兩個(gè)三角形.利用面積不變性,拆分后的兩個(gè)三角形的面積之和等于未拆分前的一個(gè)三角形的面積.再結(jié)合三個(gè)三角形的底長度相等,得出面積的關(guān)系即就是高的關(guān)系,從而將兩段看似沒有聯(lián)系的線段, 從長度上轉(zhuǎn)化為一條可求的線段,從而得解.等面積法的使用讓本題的解答過程變得簡單和巧妙.

3.2 分割不規(guī)則圖形面積的問題

例5如圖, 在一塊梯形田地上, 分別要種植花生(ΔBEC 部分)和大豆(ΔABE,ΔDEC 部分).若想把種植大豆的兩塊地改為一塊,且使分別種植大豆和花生的面積不變.請(qǐng)問你怎么改種呢?

圖6

分析本題是一個(gè)考查圖形變換的題,沒有實(shí)質(zhì)性的計(jì)算過程.把三個(gè)三角形變成兩個(gè)三角形,并且變化前后的面積不改變.我們只要保證ΔBEC 形狀改變而面積不變,那么剩下的ΔABE 與ΔDCE 的面積之和就不會(huì)改變.在改變?chǔ)EC 形狀的同時(shí),當(dāng)剩余的兩部能合為一部分時(shí),就解決了問題.

解答因?yàn)镾梯形ABCD=SΔBEC+(SΔABE+SΔDCE),又因?yàn)镾ΔBEC=EF,當(dāng)E 在AD 上移動(dòng)時(shí),EF 的長度始終不變.那么SΔBDC為定值,梯形剩余的面積也不變.所以當(dāng)E 與A 或D 重合時(shí),連接BE 或CE,所以答案如圖所示.

小結(jié)解決本題需要弄懂題意,探究圖形面積的本質(zhì).考慮到三角形的面積跟圖形的底和高密切相關(guān),所以我們劃分的依據(jù)就是保證變化前后的三角形底和高的長度不變化.而梯形提供的一組天然的平行線,就為高的不變性提供有力保障.利用等面積的思想,限定ΔBEC 面積的同時(shí),也可控制剩余部分的面積不變,從而就可以得解.

3.3 解決最值問題

例6拋物線y = -x2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn)A、B、C,已知A(-1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式

(2)P 為線段BC 上一點(diǎn),過點(diǎn)P 作y 軸平行線交拋物線于點(diǎn)D,當(dāng)ΔDBC 的面積最大時(shí),求點(diǎn)P 的坐標(biāo).

圖7

分析本題第一問很常規(guī),利用待定系數(shù)法輕松解決.第二問的探究過程需要考慮到面積的最大值.三角形的面積只與底和高相關(guān),當(dāng)把BC 當(dāng)?shù)讜r(shí),變量就只有高了.高的值最大,那么面積就最大.拋物線上的點(diǎn)D 離BC 最遠(yuǎn)高便最大.因此過D 點(diǎn)平行于BC 的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),這個(gè)交點(diǎn)便是離BC 最遠(yuǎn)的點(diǎn).求出D 點(diǎn)坐標(biāo)后,便可得出點(diǎn)P 的橫坐標(biāo),從而求解.

小結(jié)本題是采用將BC 看作三角形的底來求三角形的面積.相比于作鉛錘高來求面積規(guī)避了大量的化簡計(jì)算.充分把握住三角形的面積公式的本質(zhì),控制一個(gè)變量三角形的底BC 不變,去探究另一個(gè)變量三角形的高.利用數(shù)形結(jié)合的思想,讓直線與拋物線相切來找到拋物線上與距離最遠(yuǎn)的點(diǎn),最遠(yuǎn)的點(diǎn)就是切點(diǎn).本題將三角形等面積的特性運(yùn)用的淋漓盡致.

4 結(jié)語

三角形的等面積問題在中學(xué)數(shù)學(xué)階段往往是滲透化歸的思想進(jìn)行考查的.將求交點(diǎn)個(gè)數(shù),求最值,求線段長度等問題轉(zhuǎn)化到三角形求面積的問題中來.這是一個(gè)非常實(shí)用的解題技巧.它巧妙的避開了大量的運(yùn)算,提供了簡便的方法助我們快速的解答題目.而三角形等面積這一特性的產(chǎn)生就是緊緊圍繞三角形的面積公式,在底和高上面進(jìn)行靈活的變換.等底同高,同底等高,等底等高,實(shí)質(zhì)上是追求底和高在數(shù)值上的相等.我們往往需要把握的是通過不同線段之間的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化,保證三角形的底與高變線不變量,就可以保證面積不變.若把三角形面積,三角形的高,三角形的底看作三個(gè)變量的話,我們可以知其二求其一.在應(yīng)用三角形等面積法時(shí),需要明確已知變量和所求變量.掌握三角形等面積法對(duì)學(xué)生建立等面積思想有極大的推動(dòng)作用.同時(shí)也能夠用更加完善學(xué)生解幾何題的方法和手段.