對一道橢圓試題的解法探究*

貴州師范大學(xué)(550025)，凱里學(xué)院(556011)張亞勇

貴州師范大學(xué)(550025)劉曉勇

探究性學(xué)習(xí),即Hands-on Inquiry Based Learning(HIBL),是新課程倡導(dǎo)的一種學(xué)習(xí)的理念、方法、模式[1].在探究學(xué)習(xí)方式下,學(xué)生積極主動(dòng)地對某個(gè)問題進(jìn)行深入探究,綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)從不同的側(cè)面去探究同一個(gè)問題的答案.高三復(fù)習(xí)重在教師引導(dǎo)下學(xué)生對科學(xué)的學(xué)習(xí)方法的學(xué)習(xí).高中解析幾何的內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的重要專題,同時(shí)也是高考試題中的難點(diǎn)之一.這個(gè)知識(shí)模塊集中考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).下面對一道高三入學(xué)考試中的橢圓試題的解法進(jìn)行探究,通過經(jīng)歷各個(gè)不同解法的探究環(huán)節(jié),最終實(shí)現(xiàn)對各種方法的融會(huì)貫通,促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的發(fā)展.

1 試題呈現(xiàn)

題目過橢圓的左焦點(diǎn)作相互垂直的兩條直線,分別交橢圓于A,B,C,D 四點(diǎn),則四邊形ACBD 面積的最小值是多少? (2020年貴陽市高三入學(xué)模擬考試題改編)

2 問題分析與解決

常見的做法是設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程得到一個(gè)二次方程,然后根據(jù)弦長公式求出四邊形的兩條對角線AB,CD 的長.已知AB⊥CD,從而四邊形ACBD 的面積可依據(jù)計(jì)算,最后根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)求出面積的最小值.以下是其中一種方法.

當(dāng)AB⊥x 軸時(shí),CD⊥y 軸,如圖2.由于與上面的情況比較, 僅僅是AB,CD 位置的交換, 所以四邊形ACBD 面積仍然為2.

圖1

圖2

這里|CD|的兩種形式對面積的最小值的計(jì)算有著不同的影響,在教學(xué)過程中往往被忽略掉,如下所述.

形式一故

形式二故

因?yàn)?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)m2+2 = 2m2+1, 即m2= 1 時(shí)取等號(hào), 從而

點(diǎn)評以上解答的整體思路是分類討論的思想方法,按照直線AB 與x 軸是否重合及垂直(或者直線CD 的斜率是否存在及為0)為分類標(biāo)準(zhǔn),將特殊情況單獨(dú)考慮.在一般情況下,面積S 的兩種形式在學(xué)生的解答中都會(huì)存在,教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)充分考慮到學(xué)生的個(gè)體差異,選擇形式一的學(xué)生需要熟練掌握整體換元方法和運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的技巧;選擇形式二的學(xué)生需要敏銳的觀察能力和基本不等式的使用技巧.

3 優(yōu)化探究與平移法

上面的常規(guī)解法的缺點(diǎn)在于直線方程的表達(dá)式不夠簡潔,從而導(dǎo)致弦長的表達(dá)式過于復(fù)雜,這樣就造成四邊形面積的表達(dá)式也過于復(fù)雜.這種做法對學(xué)生的運(yùn)算能力要求過高,以至于只有極少數(shù)的優(yōu)等生能夠做出正確答案,并且花費(fèi)了過多的時(shí)間,效率很低.為了重新激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,筆者研究出如下幾種解法.

同樣地, 這里|CD| 的兩種形式對應(yīng)著四邊形ACBD面積的兩種不同的表達(dá)式.最小值的計(jì)算方式與前面提到的一樣,只是具體細(xì)節(jié)稍有不同,留給讀者自行驗(yàn)證.

點(diǎn)評上面的解答通過圖形的平移變換,在不改變圖形大小的情況下,使直線解析式中的常數(shù)項(xiàng)為0,大大簡化了聯(lián)立方程時(shí)的運(yùn)算量,能夠較快地得到弦長|AB|和|CD|的表達(dá)式,節(jié)省了時(shí)間,從而有利于引導(dǎo)學(xué)生將思考的重點(diǎn)放在四邊形ACBD 面積S 的最小值上.

4 優(yōu)化探究與公式法

以上解法的重點(diǎn)均放在了直線的方程的形式上,如果從橢圓上尋找突破中,那么又將會(huì)出現(xiàn)下面不同的解法.

由于直線AB,CD 均過橢圓的焦點(diǎn),那么|AB|和|CD|也被稱作橢圓的焦點(diǎn)弦.根據(jù)焦點(diǎn)在x 軸上的圓錐曲線的焦點(diǎn)弦長公式(其中2ep 為通徑長)[2],不用分類討論,直接求解,實(shí)現(xiàn)了解題效率質(zhì)地飛躍.

形式二因?yàn)?/p>

5 優(yōu)化探究與參數(shù)法

上面解法中出現(xiàn)的焦點(diǎn)弦或焦半徑,相應(yīng)公式直接給出了長度,通過代入題目中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算即可.這讓筆者聯(lián)想到直線的參數(shù)方程,運(yùn)用這種方程來求解,也能達(dá)到異曲同工之妙.

同樣地, 這里分母(1+sin2θ)(1+cos2θ)既可以直接利用基本不等式求S 的最小值,也可以去括號(hào)后依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求的最小值.由于此時(shí)最小值的計(jì)算方式與前一種方法一樣,故留給讀者自行完成.

點(diǎn)評上面的解答過程利用了直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,其中參數(shù)t 的幾何意義直接代表了線段的長度,從而簡化了弦長|AB|和|CD|以及面積S 的表達(dá)式.難能可貴之處在于僅僅改變直線方程的表達(dá)形式,保持橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不變,否則也不利于問題的解決.

6 結(jié)束語

以上探究聚焦于試題解答過程中的優(yōu)化探究, 分別從常規(guī)的分類討論、平移法改變方程的形式、焦點(diǎn)弦長公式的直接應(yīng)用和參數(shù)法改變直線方程形式的角度得到各種不同的解法.通過對問題探究的層層深入, 把握住了求四邊形ACBD 面積S 的關(guān)鍵就在于對弦長|AB|和|CD|的表達(dá)式的求解,不同形式的表達(dá)式?jīng)Q定了面積及最小值求解的難易程度.學(xué)生需要根據(jù)個(gè)人的特點(diǎn),在綜合比較的基礎(chǔ)上選擇適合自己的方法.

另外,在探究解題方法的過程中,要敢于打破常規(guī),破除思維定勢的負(fù)面影響.學(xué)生在解題時(shí)要注意發(fā)展自己的發(fā)散思維和求異思維,從不同的方面去尋找可能的途徑,并注重各個(gè)方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,才能更好地去尋找新的突破口.