一類具有奇異項(xiàng)的p(x)-Kirchhoff方程解的存在性

謝嫣玲，肖宇霞，儲(chǔ)昌木

(貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

1 引言和主要結(jié)果

考慮如下含奇異項(xiàng)的p(x)-Kirchhoff型方程：

(1)

其中：Ω?N(N≥3)是具有C2邊界的光滑有界域；且滿足?u)是p(x)-Laplace算子；M和f(x，u)為滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)；λ是實(shí)參數(shù)；是連續(xù)函數(shù)且滿足在Ω上幾乎處處成立，這里

問題(1)源于如下Kirchhoff模型：

(2)

近年來，由于Kirchhoff模型在電流變流體、圖像恢復(fù)等方面有重要的應(yīng)用[1-2]，形如問題(1)的非局部橢圓問題受到了人們的廣泛關(guān)注[3-8].特別地，文獻(xiàn)[3]研究了如下問題非平凡弱解的存在性：

(3)

其中：Ω?N(N≥3)是有界正則域；a，b≥0，a+b>0；p≥2；0<γ<1；λ≥0；g(x)≥0在Ω上幾乎處處成立，且，)滿足

(f1) 對(duì)任意u∈，有f(x，tu)=f(x，u)，

(f2) 存在Ω1??Ω，|Ω1|>0，使得f(x，t)≥0，x∈Ω1.

文獻(xiàn)[4]運(yùn)用極小極大方法獲得了問題(3)非平凡弱解的存在性.此外，文獻(xiàn)[4]假設(shè)M滿足如下條件：

(M1)M(t)是(0，∞)上的連續(xù)函數(shù)，M(t)>0，且對(duì)任意的T>0，有M(t)∈L1(0，T)；

該文研究了問題(1)在λ<0的情形.在f滿足一定條件時(shí)，利用極小極大方法獲得了該類方程非平凡弱解的存在性.

然而，作為問題(3)的更一般情形，對(duì)滿足上述條件的M(t)，當(dāng)λ>0時(shí)，問題(1)的可解性研究尚未發(fā)現(xiàn).本文給出比(f1)更弱的條件：

本文的主要結(jié)果如下：

2 預(yù)備知識(shí)

對(duì)應(yīng)的范數(shù)分別為

命題1[4]設(shè)1

(ⅰ) 若對(duì)任意x∈Ω，r(x)≤q(x)，則Lq(x)(Ω)→Lr(x)(Ω)是連續(xù)的；

(ⅱ) 若q(x)

(ⅰ) |u|p(x)<1(=1或>1)?ρ(u)<1(=1或>1)；

命題4[4]設(shè)p(x)，q(x)是可測函數(shù)，對(duì)任意的x∈Ω，p(x)∈L∞(Ω)，1≤p(x)q(x)≤∞.若u∈Lq(x)(Ω)，u≠0，則

3 主要結(jié)果的證明

(4)

定義1 若對(duì)任意x∈Ω，v∈X都有

(5)

則稱u∈X為方程(1)的一個(gè)弱解.

由于max{1-γ-，r+}<βp-，所以當(dāng)‖u‖→+∞時(shí)，I(u)→+∞.故泛函I在X上是強(qiáng)制的.

由δp->1-γ-和g(x)>0在Ω上幾乎處處成立知，存在t*∈(0，1)，使得對(duì)當(dāng)t∈(0，t*)時(shí)，I(tφ)<0.

(6)

由H?lder不等式和命題4可推出

(7)

由H?lder不等式可得

通過Lebesgue控制收斂定理和命題4得

(8)

因此，結(jié)合(6)，(7)，(8)式可知泛函I是弱下半連續(xù)的，且滿足

即I(u*)=mλ<0.

定理1的證明由引理3可知，u*是泛函I的局部極小點(diǎn)，I(u*)=mλ<0，這意味著u*≠0.下證u*是問題(1)的一個(gè)弱解.

設(shè)φ∈X，0<ε<1，定義Ψ=(u*+εφ)+∈X，其中Ψ=(u*+εφ)+=max{u*+εφ，0}，記Ω3={x|u*+εφ≤0}，Ω4={x|u*+εφ>0}.因?yàn)閡*是泛函I的局部極小點(diǎn)，則有

當(dāng)ε→0+時(shí)，Ω3={x|u*+εφ≤0}積分區(qū)域是可測的，對(duì)任意的φ∈X，故有

由ε→0+，得到

用-φ替換φ，可得到相反的不等式.因此，

故u*是問題(1)的一個(gè)弱解.從而u*是問題(1)的一個(gè)非平凡弱解.