一種與長期項無關(guān)的用于求解系統(tǒng)近似解析解的自由迭代法(SFIA)

張 琬，施三支，吳東旭

(長春理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130022)

0 引言

眾所周知，實際問題的動力學模型通常可以用微分方程組來描述.然而，由于這些方程往往過于復雜，一般很難得到解析解.即使一個精確的解是可以獲得的，但經(jīng)常由于其計算過于復雜而難以實現(xiàn)，因此，尋找這些方程的近似解析解成為許多研究者的研究課題.

攝動方法是最廣泛地應用于得到小參數(shù)非線性系統(tǒng)近似解的方法，從而將解展開為這個小參數(shù)的冪級數(shù).因為存在長期項，傳統(tǒng)的攝動方法在實際復雜的系統(tǒng)中不起作用.因此，為了得到顯式解，已經(jīng)開發(fā)出各種奇異攝動方法，例如LP法、KBM法、重整化群法[1]、多時間擴張法、變分迭代法[2-4]和同調(diào)攝動法[5-8].在這些方法中，由于代數(shù)的復雜性，一個更低的近似解通常由攝動方法決定.然而，所有這些方法的一個共同問題是，在近似解中，長期項是不可避免的，因此，為了消除這些導致計算效率低下的長期項，必須付出一些額外的代價.

本文針對非線性常微分系統(tǒng)的近似解問題，提出了一種沒有長期項的自由迭代算法(SFIA).通過構(gòu)造一個簡單的迭代過程，可以很容易地以高精度和較少的計算得到近似解，而不需要付出消除長期項的額外成本.

1 SFIA方法

考慮2n維的非線性微分方程

u″(t)+a(t)u′(t)+b(t)u(t)=f(t，u，u′).

(1)

其中：a(t)和b(t)為連續(xù)函數(shù)；f(t，u，u′)為區(qū)域D內(nèi)一次偏導數(shù)有界的非線性函數(shù).簡便起見，通過引入兩個新的變量

u′=v，v′=-a(t)u′-b(t)u+f(t，u，u′)，

(2)

令

則方程(1)可以簡寫為

U′=AU+F(t，U).

(3)

假設Φ(t)是線性方程

U′=AU

(4)

的基本解矩陣.對任意t∈D和任意的2n維的常向量u0，方程(3)滿足初值條件u0(t)=u0的解等價于下面的積分方程：

(5)

換而言之，如果u=u(t)是方程(3)的解，那么同樣是方程(5)的解.

注意到在式子(5)的右邊U中具有未知變量u(t)，因此方程(5)并不能通過簡單的計算求得.為了得到方程(5)的解，將上述方程寫成如下的等價形式：

(6)

注意到

(7)

可以得到

(8)

根據(jù)常數(shù)變易公式

(9)

構(gòu)造如下簡單的迭代公式：

(10)

這一迭代公式非常類似于Picard級數(shù)中的迭代公式，可以寫成如下的簡單形式：

(11)

其中λ稱為Lagrange乘子，λ=Φ(t)Φ-1(s).

從形式上看，這個公式與變分迭代法中的公式是十分類似的，但獲得Lagrange乘子的途徑是完全不同的.在變分迭代法中，需要對上述校正泛函做變分，根據(jù)穩(wěn)定性條件才能得到相應的Lagrange乘子，其中要經(jīng)過比較復雜的推導過程.本文則由常數(shù)變異公式出發(fā)確定了迭代公式，并直接給出了Lagrange 乘子的具體形式，并且不需要進行變分處理及穩(wěn)定性條件等復雜的推導過程，從而在實際計算中增強了實用性且減少了不必要的變分過程帶來的復雜運算.問題的關(guān)鍵是根據(jù)具體方程能否給出基本解矩陣.

(12)

它的部分和為

(13)

由迭代公式

(14)

|L(um+1(t)，t)-L(um(t)，t)|≤q|um+1(t)-um(t)|

(15)

成立，且M為L(um(t)，t)在區(qū)域D上的一致上界.

由um+1(t)≈um(t)，將(14)式建立為逐步逼近序列

(16)

進行如下估計：

利用數(shù)學歸納法，假設對任意正整數(shù)n，如下不等式成立：

(17)

那么

從而對所有的正整數(shù)m，有如下估計：

2 關(guān)于SFIA方法的應用

例1 考慮下面的非線性系統(tǒng)

(18)

注意到方程(18)的系數(shù)均為常數(shù)，因此可得基本解矩陣

(19)

通過取初始逼近值y=cost，利用數(shù)學工具Maple，可以得到一次穩(wěn)態(tài)近似解

y1(t)=-1.012 5e-0.5tcos(1.322t)-0.487 5sin(2t)-0.512 5cos(2t)+
1.5sint+1.5cost-0.023 6e-0.5tsin(1.32t)+0.25.

圖1比較了利用RK方法得到的數(shù)值參照解與文中提出的SFIA方法得到的近似解之間關(guān)系，顯然可見利用SFIA方法得到的近似解與數(shù)值參照解之間是非常接近的.

圖1 例1 SFIA解與數(shù)值參照解比較

從這個例子中很容易看出，SFIA解非常接近參照解，不需要額外的努力就可以消除長期項，這表明了該方法的有效性.

例2 考慮有阻尼的Duffing 系統(tǒng)

(20)

這里ε=0.5.類似于例1，容易得到上述系統(tǒng)的基本解矩陣

(21)

利用初始近似值y=exp(-t)和常用數(shù)學軟件Maple，可以得到一次穩(wěn)態(tài)近似解析解

(22)

容易看出，這里并沒有長期項.

圖2顯示了相應的y(t)和dy(t)/dt長時間的動力學運動.可以清楚地看出利用SFIA方法得到的一階近似解非常接近參照解.

圖2 例2 SFIA一階迭代近似解與數(shù)值參照解的比較

再利用自由迭代公式(10)和數(shù)學工具Maple，可以很容易得到二階迭代近似值：

y(t)=-0.136exp(-2t)sin(3t)-0.7cos(t)+0.472sin(t)-0.99e-
exp(-3t)cos(3t)-0.35sin(t)exp(-t)t-0.246exp(-3t)cos(t)-
0.419exp(-3t)sin(t)-0.162sin(t)exp(-2t)t+0.251e-exp(-5t)-
0.535e-2exp(-3t)cos(2t)-0.372e-3sin(t)exp(-6t)+0.36e-
2exp(-4t)+0.489e-2cos(3t)+0.592e-exp(-t)cos(3t)+
1.69exp(-t)sin(t)-0.188e-exp(-4t)cos(2t)+0.9cos(t)exp(-t)-
0.516e-2exp(-3t)sin(2t)+0.837e-2sin(3t)-0.295e-
exp(-t)sin(3t)+0.164e-exp(-5t)sin(2t)+0.10e-
exp(-5t)cos(2t)+0.35cos(t)exp(-2t)-0.243 9cos(t)exp(-4t)-
0.324cos(t)exp(-2t)t-0.609e-sin(t)exp(-4t)-0.487e-
exp(-2t)cos(3t)-0.243sin(t)texp(-3t)+0.19e-exp(-3t)sin(3t)-
0.108cos(t)exp(-t)t-0.585 7e-3cos(t)exp(-7t)+0.769e-5exp(-9t)-
0.508e-3sin(t)exp(-7t)+0.156e-exp(-4t)sin(2t)+0.12e-exp(-3t)+
0.331e-3cos(t)exp(-6t)-0.2sin(t)exp(-2t).

從上面的公式可以看出，第二步迭代中出現(xiàn)類似于te-tsin(t)，te-tcos(t)的項，而并沒有類似tsint，tcost的長期項存在.注意到te-tsin(t)，te-tcos(t)等項是隨著時間的增加逐漸趨于零的，因此，沒有經(jīng)過任何的額外計算，已經(jīng)在第二步迭代中消除了長期項，也可以理解為SFIA方法不會產(chǎn)生長期項.

圖3展示了利用SFIA方法得到的二階近似解和參照解之間的比較，可以看出二次近似解十分逼近參照解.

圖3 例2 SFIA二階近似解與數(shù)值參照解的比較

圖3展示了用SFIA方法得到的二階近似解與用RK方法得到的參照解之間的比較.它清楚地表明，用SFIA方法所求出的解與參照解非常接近.

例3 考慮Reyleigh方程

(23)

其中ε>0，ε?1.方程(23)可以改寫為

(24)

(25)

顯然上述方程與方程(23)是等價的.選擇初始近似y(t)=cos(t)，并且再次利用自由迭代公式(10)和數(shù)學工具Maple，可以得到二次迭代解：

y(t)=-0.501-2exp(-0.05t)sin3t+0.82exp(-0.05t)cost+
0.008 61exp(-0.1t)sint+0.16exp(-0.05t)sint-0.038sint+
0.004 3exp(-0.1t)sint-0.03exp(-0.015t)cost-
1.02exp(-0.035t)cost-0.25exp(-0.035t)sint+2.16cost+
0.040sint+0.006 1exp(-0.05t)sint+0.005exp(-0.1t)sint+
0.27exp(-0.1t)cost+0.003 9sin(3t)-0.001 8exp(-0.15t)sint-
0.002 5exp(-0.1t)sint+0.004 3exp(-0.1t)sin(3t)t-1.32exp(-0.05t)cost+
0.13exp(-0.1t)cost-0.002 1exp(-0.1t)sin(3t)+0.038exp(-0.05t)sint.

圖4顯示了二階迭代解與參照解的逼近程度，從中可以看出，用SFIA方法得到的二階迭代近似解與數(shù)值參照解非常接近.

圖4 例3 SFAI二階近似解與數(shù)值參照解的比較

在上面得到的近似解中，沒有形如tsint和tcost之類的長期項，但有exp(-βt)tsin(t)和exp(-βt)tcos(t)等項.注意到當時間t→∞時，項exp(-βt)tsin(t)和exp(-βt)tcos(t)趨于0.從而可以看出利用SFIA方法得到的二階近似解沒有長期項.

在上面的討論中引入了正的阻尼項來避免長期項的出現(xiàn)，因為正的阻尼通常是消耗能量的，所以在相應的基本解矩陣中要包含類似于exp(-t)等項，從而可以有效地避免高階近似中長期項的出現(xiàn).

例4 考慮具有阻尼項的數(shù)學擺運動：

(26)

其中ε>0，ε?1.

為了得到基本解矩陣，將系統(tǒng)(26)改寫為

(27)

選擇初始近似y(t)=exp(-t)，同樣利用自由迭代公式(10)和數(shù)學工具Maple，可以得到一階近似解

y(t)=0.903 8exp(-t)cos(1.41t)+0.96exp(-3t)+0.269exp(-t)sin(1.41t).

(28)

圖5顯示了SFIA方法得到的近似解和參照解之間具有很好的近似程度.

圖5 例4 SFIA近似解與數(shù)值參照解的比較

注1 從上面的分析與模擬過程可以看出，系統(tǒng)中正的阻尼項將會有助于消去長期項，如果系統(tǒng)中沒有正的阻尼項，可以構(gòu)造合適的含有正的阻尼項的等價系統(tǒng)用來消除高階近似中的長期項.

注2 初始近似值的選取是非常關(guān)鍵的，目前還沒有一般的方法給出一個好的初始近似值.然而，線性系統(tǒng)的解通常可以作為初始近似解.

注3 如果系統(tǒng)中的參數(shù)不是常數(shù)，某些參數(shù)與時間相關(guān)，則不太容易得到基本解矩陣.在這種情況下，可以考慮構(gòu)造一個所有系數(shù)均為常數(shù)的輔助系統(tǒng)來幫助得到合適的基本解矩陣.這一情況可以參照系統(tǒng)(24) .

3 結(jié)論

針對非線性系統(tǒng)的近似解問題，提出了一種離散SFIA.構(gòu)造了不需要消去長期項的迭代過程，給出了SFIA收斂性的證明過程.重點研究了如何獲得一些實用的機械和物理系統(tǒng)的近似解析解的技術(shù).詳細分析了二次非線性、三次非線性、Rayleith和數(shù)學擺系統(tǒng)的逼近過程，表明了系統(tǒng)的有效性.