T 形截面懸臂柱自重下彎扭屈曲無窮級數解與FEM 驗證

張文福，吳 宇，黃 斌，杭昭明

（1.安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601；2.南京工程學院 建筑工程學院，江蘇 南京 211167；3.東北石油大學 土木建筑工程學院，黑龍江 大慶 163318）

T 形截面是鋼結構軸心受力構件中的一類重要的截面形式。T 形截面構件可通過焊接、軋制或H 型鋼剖分獲得，具有易加工的優(yōu)點，廣泛應用于鋼結構軸壓構件中，而其在軸壓作用下容易發(fā)生彎扭屈曲，需要對其穩(wěn)定承載力進行分析。

國內外學者對薄壁T 形截面構件軸壓穩(wěn)定性的研究主要集中在理論、有限元模擬以及規(guī)范對比方面。Mohri[1]研究了包括T 形截面在內的薄壁構件受壓的后屈曲平衡曲線。郭兵等[2]分別對T 形截面軸壓鋼構件的翼緣和腹板做了屈曲分析，提出了翼緣和腹板的寬厚比限值公式。申紅俠[3]研究了《鋼結構設計規(guī)范》（GB50017-2003）所提出的焊接T 形截面軸心壓桿彎扭屈曲的換算長細比法，使用有限元分析軟件ANSYS 驗證了規(guī)范的合理性。熊曉莉等[4-5]提出了一種T 形截面壓桿設計計算的新方法——折算長細比法，并研究了剖分 T型鋼壓桿軸向壓力分別作用于形心和剪心時的整體穩(wěn)定性。吳金池等[6]歸納總結了中、美鋼結構規(guī)范關于雙角鋼T 形截面構件受壓穩(wěn)定承載力設計方法的差異。近年來關于薄壁構件有限元分析方法和理論研究也有所進展。張磊等[7]提出了殼體單元模型精確模擬薄壁構件整體穩(wěn)定性的方法。張文福[8]以雙軸對稱的工字形軸壓鋼柱為例，在Kirchhoff 薄板理論和Euler 梁理論的基礎上建立了一種開口薄壁構件彎扭屈曲新理論。對于矩形懸臂柱因自身重量而屈曲的問題，即著名的“旗桿問題”，自重產生的軸向壓力沿著桿長方向連續(xù)分布，對應的屈曲平衡方程是變系數的微分方程，通常采用能量法、有限單元法等近似方法求解。張文福[9]采用能量變分法，運用Matlab 計算軟件得到了矩形懸臂柱自重荷載下位移函數取50 項的彎曲屈曲精確解。

本文基于板-梁理論[10]和能量變分原理[11]解決了T 形截面懸臂柱在自重下的彎扭屈曲問題，得出了T 形截面懸臂柱在自重作用下的彎扭屈曲荷載。運用ANSYS 有限元分析軟件驗證理論計算結果，結果表明了理論的正確性，可為工程設計提供參考。

1 理論計算

1.1 板-梁理論

以圖1 所示的T 形截面柱為研究對象，引入了兩套坐標系：整體坐標系xyz 和局部坐標系nsz。這兩套坐標系與Vlasov 坐標系類似，均符合右手螺旋法則，整體坐標系的原點選在截面形心C，各板件的局部坐標系原點選在板件形心。

圖1 T 形截面的坐標系與變形圖

已知：鋼柱的長度為L；翼緣的寬度為b；厚度為tf；翼緣的彈性模量為Ef，剪切模量為Gf，泊松比為μf；腹板的高度為hw，厚度為tw；腹板的彈性模量為Ew，剪切模量為Gw，泊松比為μw。

T 形截面柱的總應變能可表示為

1.2 彎扭屈曲無窮級數解

圖2 自重下T 形截面懸臂柱計算簡圖

將式（15）～（18）代入式（12），根據勢能駐值原理，即作用著外力的結構體系，其位移有微小變化而總的勢能不變，即總的勢能有駐值時，則該結構體系處于平衡狀態(tài)，可表示為

上述方程的解即為所求單軸對稱T 形截面懸臂柱受軸向壓力發(fā)生彎扭屈曲時的臨界屈曲荷載。

2 有限元驗證

2.1 建立有限元模型

2.1.1 選擇單元

借助有限元分析軟件ANSYS 對自重荷載作用下的T 形截面懸臂柱的屈曲行為進行數值模擬。為了精確模擬薄壁構件整體穩(wěn)定性，單元選用4 節(jié)點有限應變殼單元SHELL181。

2.1.2 定義幾何參數和材料本構關系

柱高為L，T 形截面腹板高為hw=0.3 m，厚度為tw=0.008 m，翼緣寬度為b=0.1 m，厚度為tf=0.006 m，鋼材取Q235 型號的鋼材，彈性模量Es=1.06×105MPa，泊松比為μs=0.3。

2.1.3 建立幾何模型并劃分網格

有中國學者嘗試對中國專利法的“平行進口”問題進行理論闡釋時，認為雖然中國專利法承認了平行進口的合法性，但應該以“默示許可理論”來作為這一條的理論基礎，而不應該適用權利用盡理論。例如嚴桂珍教授即主張“我國的實際情況表明，在允許平行進口的基礎上，我國應當選擇采用默示許可原則?！逼淅碛墒?，“采用默示許可，權利人又可以通過合同限制排除權利用盡原則的適用，使權利人擁有一定的權利，不至于過于被動。而且，是否存在默示許可，又是由法院個案認定，最終由法院掌握規(guī)制專利平行進口的主動權，從而達到原則性與靈活性相結合的效果?！?[10]

建立一個腹板高為hw，厚度為tw，翼緣寬度為b，厚度為tf的T 形截面柱，如圖3 所示。

圖3 模型概況

2.1.4 施加約束

有限元模型模擬懸臂柱，需模擬一端固定的邊界條件，即限制一端全部節(jié)點的3 個平動和3 個轉動自由度，如圖4 所示。

圖4 約束邊界條件圖

2.1.5 施加荷載

通過對模型上所有的節(jié)點施加單位荷載1 來模擬柱體所受的自重荷載，如圖5 所示。

圖5 荷載施加情況

2.1.6 求解

根據有限元屈曲分析的一般步驟，先進行靜力分析，再選擇ANTYPE，BUCKLE 命令進行特征值屈曲分析。

2.1.7 后處理

后處理器可導出彎扭屈曲模態(tài)圖和屈曲荷載系數表，最終的屈曲荷載為最小屈曲荷載系數與所施加的荷載的乘積。由圖6（c）斷面圖可以看出截面發(fā)生了側向彎曲屈曲以及扭轉，即為T 形截面懸臂柱軸壓作用下的彎扭屈曲模態(tài)。

圖6 屈曲形態(tài)圖

2.2 有限元驗證

本文較為細致地分析了長細比因素的影響，分別建立了長細比為50、100、150、200、250、300 的6組懸臂細長柱有限元模型，屈曲荷載有限元模擬結果與理論推導所得的結果如表1 所示。

表1 有限元結果與理論結果的對比

從表1 可看出，本例中公式推導所得到的結果與有限元結果的誤差均在1.5%以內，已經完全達到工程計算對精確度的要求。并且，兩者的誤差隨著長細比的增大而減小。

3 結論

（1）板-梁理論可以求解自重荷載作用下的軸壓構件屈曲荷載，并且對于長細比大于50 的細長T 形截面懸臂柱誤差在1.5%以內，精度較高。

（2）ANSYS 有限元軟件中SHELL 單元適合用于分析薄壁構件，T 形截面懸臂柱在自重荷載作用下發(fā)生彎扭屈曲，與理論假設相一致。

（3）板-梁理論根據經典理論將薄壁構件各板件的屈曲變形分解為平面內的彎曲變形和平面外的扭轉變形，并分別按Timoshenko 梁和Kirchhoff板力學模型確定，根據能量變分原理計算求解。相較于傳統Vlasov 理論，物理過程清晰明確、容易理解，適合薄壁構件的屈曲分析。