數(shù)形結(jié)合探本質(zhì)，數(shù)學實驗提素養(yǎng)
——以“一元二次方程的解法——配方法”為例

◎郎偉偉 楊繼真(指導(dǎo)老師) 李彩云

(河南省洛陽市洛陽師范學院，河南 洛陽 471000)

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》中指出：“數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學”數(shù)學課程在數(shù)學課堂上的實施不僅包含學生學習數(shù)學的結(jié)果，還包括數(shù)學結(jié)果的形成過程和教學過程中蘊涵的數(shù)學思想方法因此，數(shù)學教師“如何教、教什么、怎樣教”，學生“如何學、學什么、怎樣學”，以及學生在數(shù)學課堂的學習中又收獲到了什么，就成了評價一節(jié)數(shù)學課的質(zhì)量的關(guān)鍵而授課過程中是否揭示了數(shù)學本質(zhì)，學生又意會到了怎樣的數(shù)學思想，成為當下數(shù)學教育的一個重要研究方向因此，數(shù)學思想方法的有效滲透是每一位教師都應(yīng)該關(guān)注的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”著名數(shù)學家華羅庚的這首小詩，精練地向我們展示了數(shù)與形之間的密切關(guān)系數(shù)學教學過程中，“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”是運用數(shù)形結(jié)合思想常用的兩種形式，它們之間相輔相成，搭建起一架通向數(shù)學核心素養(yǎng)的橋梁，促進學生的全面發(fā)展

一、多角度分析教材，把握數(shù)學課程標準的要點

該案例選自人教版九年級數(shù)學的第二十一章第二節(jié)第二課時新課標在“課程內(nèi)容”板塊中明確指出：“理解配方法，能用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程”因此，如何使學生更好地理解配方法成為教師教學設(shè)計中的重要環(huán)節(jié)教材是保證課堂教學有效實施的具體材料，數(shù)學教材包括顯性結(jié)構(gòu)和隱性結(jié)構(gòu)，顯性結(jié)構(gòu)即學生在教材上可以直接讀到的公式、圖形、定理等明確需要解決的數(shù)學知識；隱性結(jié)構(gòu)即隱藏在教材背后的數(shù)學思想、數(shù)學文化、數(shù)學精神等具有豐富內(nèi)涵的數(shù)學價值因此，如何準確分析數(shù)學教材的顯性結(jié)構(gòu)，挖掘數(shù)學內(nèi)容的隱性結(jié)構(gòu)，是每一位數(shù)學教師必須做到的為了使學生更好地理解配方法，在對蘇教版中的“數(shù)學實驗室”欄目教學有了一定的認識之后，教師可以利用圖形與代數(shù)來描述和分析一元二次方程的配方問題本著這樣的思路，對一元二次方程的配方法的教學設(shè)計進行了以下探究

二、初探——著眼于“代數(shù)運算”

在新課標的要求下，為更好地促進學生的發(fā)展，下面對 “解一元二次方程”的教學設(shè)計展開探究

片段一：

教師引導(dǎo)學生欲解方程+6+4=0，可以嘗試用降次的思想來求解該如何降次？請學生解答大屏幕上的習題問題如下：

根據(jù)完全平方公式的特征，完成填空

(1)+10+( )=(+ );

(2)+( )+36=[+( )];

(3)-4-5=(- )-9

師：對，在上述習題中，可以看出等號右邊都是依據(jù)完全平方公式由等號左邊變形得出的那么，你能想到什么呢？(微笑出示+6+4)

生1：可以先看+6，用完全平方公式變形

生2：(搶答)先加上一次項系數(shù)的一半的平方，再同時減去一次項系數(shù)的平方，也就是+6+4變?yōu)?6+9-9+4，根據(jù)完全平方公式得出(+3)-5這樣的話，方程轉(zhuǎn)化成(+3)-5=0了，就能解這個方程了

片段二：

師：很好，像這樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫作配方法在這里，配方的目的是什么呢？(數(shù)學抽象)

生1：把方程化成(+)=的形式

生2：這還是降次，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解

師：對，配方法的核心仍然是用降次的方法來解一元二次方程(學生出題，各小組進行練習)

師：我們再想一下，如果一元二次方程的二次項系數(shù)不是1，怎么解呢？比如方程2+2=5,可以小組討論(引導(dǎo)學生解答，并對解一元二次方程的解題步驟及方程根的情況做出總結(jié))

在“一元二次方程的解法——配方法”的教學設(shè)計的“初探”中，主要是使學生明確解一元二次方程的根本思路在于將“二次化為一次”的降次的思想

三、再探——著眼于“幾何”與“代數(shù)”的結(jié)合

教師在進行第一輪的教學設(shè)計后，且知道在后續(xù)二次函數(shù)的教學中學生會通過二次函數(shù)的圖像更直觀地去理解一元二次方程的相關(guān)知識點，巧妙地將數(shù)與形結(jié)合在一起但在學習二次函數(shù)之前，教師能否將一元二次方程的解法通過其他形式展示給學生呢？在蘇教版九年級數(shù)學上冊的教材中，“數(shù)學實驗室”的設(shè)置突出在“做數(shù)學”中“學數(shù)學”，通過“做數(shù)學”，旨在使學生感受數(shù)學新知的生成過程，在親身經(jīng)歷中去探索、質(zhì)疑、反思、感悟等，由此，激發(fā)出結(jié)合數(shù)學實驗室的內(nèi)容，以及重新設(shè)計教案的想法

眾所周知，實驗可以極大地提高學生的學習興趣，讓學生直觀感知知識的生成過程下面，我們來看如何結(jié)合“數(shù)學實驗室”把一元二次方程的配方問題變得更直觀、形象以下為第二次增加的教學設(shè)計部分

片段一：

師：上節(jié)課，我們布置了一個思考題：怎樣解方程+6+4=0呢？帶著這個問題，我們一起走進花園，先來做個小實驗，在這塊長為(+6)、寬為的花坪中，因?qū)嶋H需求，要使它變成一個正方形的花坪，該怎么辦呢？(小組討論，有的學生嘗試畫一畫，有的嘗試剪一剪)制圖過程如下：

圖1 配方法的制圖過程

師：在這個環(huán)節(jié)，你可以發(fā)現(xiàn)什么呢？

生：這個長為(+6)、寬為的長方形，不管是通過畫正方形，還是剪正方形，得出的大正方形都缺失了一塊邊長為3的小正方形

師：所以，這個長方形花坪的面積是？(緩慢、反問的語氣)

生1：不變的，可以是(+6)

生2：也可以是(+3)-3

生3：所以(+6)=(+3)-3

師：現(xiàn)在再來看方程+6+4=0，你有什么想法呢？(生沉思，接下來紛紛舉手發(fā)言)

生4：把方程左邊的+6替換為(+3)-3，得出(+3)-3+4=0，整理為(+3)=5

生5：將(+3)=5直接開方，進行求解就行了

師：非常好，我們通過將矩形“割、拼、補”為正方形，非常輕松地解答了+6+4=0這個方程，也實現(xiàn)了將長方形花坪改拼為正方形花坪的需求，解決了實際問題再來觀察方程+6+4=0中的+6，你們還能想到什么呢？

片段二：

師：可以看出，配方是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解(此時，班級里發(fā)出了“咦”的反問信號)

生1：花坪問題是把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這里運用配方法也是把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程

生2：用求正方形面積的方法解方程和用完全平方公式進行配方解方程有沒有什么聯(lián)系呢？

生3：應(yīng)該是一樣的吧

師：數(shù)學上可以說應(yīng)該或者差不多嗎？(生紛紛搖頭)請大家回憶一下我們將長方形轉(zhuǎn)化為正方形時，是如何操作的？

生1：先剪出一個邊長為的正方形，剩余的圖形為長為、寬為6的小矩形，再一分為二，拼得一個缺了一部分(邊長為3的小正方形)的大正方形，拼前、拼后的面積始終是不變的

生2：那就是(+6)=(+3)-3

生3：這不就是用完全平方公式配方的那一步嗎

師：非常好其實，花坪問題中由長方形到正方形的面積轉(zhuǎn)化過程就是運用完全平方公式進行配方的過程(進行對比)

拼圖過程配方過程 x(x+6)(x+3)2-32x(x+6)=(x+3)2-32 x(x+6)=x2+6x+32-32=(x+3)2-9注:32為一次項系數(shù)一半的平方

師：請同學們嘗試一下如何用拼圖的方法來描述一下方程+2-24=0的配方過程這時，缺少的小正方形的面積是多少呢？(小組邊通過畫圖、剪圖的方法操作，邊進行思考、討論)

生：得到一個邊長為(+1)的正方形，這個正方形缺了一個邊長為1的小正方形所以，缺少的小正方形的面積是1(操作過程較之前更嫻熟了)

師：在拼圖的時候，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢？

生：其實缺少的這個小正方體的面積就是一次項系數(shù)一半的平方

師：確定第一個正方形時，剪去矩形的一邊長為一次項系數(shù)，另一邊長等于第一個正方形的邊長，再將這個矩形一分為二，進行拼組，空缺的小正方形的邊長等于一次項系數(shù)一半的平方(邊說邊展示)

教師通過設(shè)置如上環(huán)節(jié)，增加了學生學習一元二次方程的趣味性，學生在直觀的動手操作、動腦思考中感受一元二次方程的配方過程，“數(shù)”與“形”的結(jié)合自然而不失生動有趣學生在“做數(shù)學”的過程中，進行直觀想象，潛移默化地培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力與數(shù)學語言的表達能力，激發(fā)學生不斷地進行思考，逐步地滲透數(shù)學的核心素養(yǎng)

四、教學設(shè)計整體的對比分析

錢珮玲教授曾說過，數(shù)學思想方法是隱形的本質(zhì)的知識內(nèi)容因此，在教學中，教師必須深入鉆研教材，充分挖掘教材中的有關(guān)思想方法而直觀想象素養(yǎng)的核心表現(xiàn)就是數(shù)形結(jié)合思想的形為真正理解蘇教版 “數(shù)學實驗室”的設(shè)置目的與實際意義，并更好地在運用配方法解一元二次方程中融入數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)，下面對上述兩個教學設(shè)計的環(huán)節(jié)和教學設(shè)計理念進行分析，縱向挖掘兩個教學設(shè)計之間的本質(zhì)區(qū)別，通過對圖形直觀操作與對應(yīng)的代數(shù)運算的強調(diào)，旨在通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合增強學生的數(shù)學聯(lián)系能力和培養(yǎng)學生多角度思考問題的習慣，同時增進他們對乘法公式的理解與記憶，進而謀求在設(shè)計理念方面緊緊圍繞新課標中“人人都能獲得良好的數(shù)學教育”，創(chuàng)設(shè)學生主動進行數(shù)學思考的情境，在“會說、會辯、會用”的前提下，培養(yǎng)學生的“四能”，達成學生數(shù)學直觀想象素養(yǎng)的提升，讓學生在快樂中學數(shù)學，在學數(shù)學中尋找快樂

(一)教學設(shè)計理念對比

第一次第二次教學目的以會用配方法解一元二次方程為目的關(guān)注數(shù)學核心素養(yǎng),使學生在理解的基礎(chǔ)上,培養(yǎng)學生從多角度分析問題、思考問題的能力教學方式以講解、引導(dǎo)為主.舊知引入新知,進而總結(jié)相關(guān)概念,使學生會解答常規(guī)的運算問題,概念性較強,內(nèi)容顯得枯燥,學生容易缺乏學習興趣以探究、引導(dǎo)為主.課前,以“數(shù)學實驗”創(chuàng)設(shè)情境,讓學生在“做數(shù)學”中去“學數(shù)學”,在實際的動手操作中激發(fā)學生的學習興趣,通過對一元二次方程的配方法進行數(shù)與形之間的聯(lián)結(jié),培養(yǎng)學生的直觀想象核心素養(yǎng)教學活動無引入“花坪問題”,貼近學生的生活實際.通過畫一畫、剪一剪、拼一拼的形式,學生可以更好地理解、思考并探究解一元二次方程的配方法教學過程設(shè)計在教師的引導(dǎo)下,學生完成學習任務(wù),達成課程目標的要求在創(chuàng)設(shè)的“花坪問題”情境中,通過對圖形的動手操作,不斷激發(fā)學生進行數(shù)學思考.在教學中,積極引導(dǎo)學生去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題,進而解決問題

(二)教學環(huán)節(jié)對比

第一次第二次設(shè)計意圖新課導(dǎo)入PPT出示:根據(jù)完全平方公式的特征,解答習題,引出課題由花坪問題引入課題.創(chuàng)設(shè)實際情境,使學生在動手操作中激發(fā)思考,引發(fā)認知沖突調(diào)動學生的積極性,在“做”中“學”,激發(fā)學生的求知欲,旨在培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)新課教學無通過對矩形進行剪、畫,得出缺失一個小正方形的大正方形,從而直觀地進行一元二次方程的解法探究讓學生動手進行具體操作,利用圖形深入理解“數(shù)與代數(shù)”,感知新知的生成過程依據(jù)完全平方公式的特征將等號左邊變形進而探究一元二次方程x2+6x+4=0的求解過程觀察方程中x2+6x,引發(fā)學生思考,根據(jù)完全平方公式的特征對方程進行變形在舊知的基礎(chǔ)上,引發(fā)認知沖突,建立新舊知識之間的聯(lián)系新課教學無引導(dǎo)學生對兩種解一元二次方程的方法進行對比分析,挖掘解一元二次方程的核心就是配方通過直觀操作,建立起幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系,直觀意會到解一元二次方程的根本思路是“化二次為一次”的“降次”的思想,深入挖掘蘊涵的數(shù)學本質(zhì),增加學生的學習印象

五、結(jié)束語

俗話說，授人以魚不如授人以漁知識的傳授也是如此在教學過程中，單單教給學生數(shù)學顯性層面的知識，只要求學生在一元二次方程的代數(shù)運算方面有所提高，不符合新課標的教學理念，于學生來說，也不利于他們的長足發(fā)展因此，在本節(jié)課第二輪的教學設(shè)計中的圖形操作的環(huán)節(jié)，教師讓學生通過“剪、畫、拼”的動手操作形式，直觀感受一元二次方程的配方過程中數(shù)學知識的生成過程，將“數(shù)”與“形”充分結(jié)合起來，不但極大地激發(fā)了學生主動探究的興趣，而且學生直觀操作的效果遠遠大于教師對數(shù)學知識直接講授的效果在這里，蘇教版中“數(shù)學實驗室”欄目的數(shù)學本質(zhì)就是引導(dǎo)學生在“做數(shù)學”中“學數(shù)學”，在“做”中“感悟”因此，教師在進行教學設(shè)計時，要緊緊圍繞新課標的具體要求，要以學生的發(fā)展為本，在教學過程中，提倡學生主動進行思考與探索，引導(dǎo)學生會用數(shù)學語言進行表達，在“三會”的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學生的“四能”，并注重數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)這是每一位教師成長生涯的“標配”在此基礎(chǔ)上，教師仍需要不斷地進行個人“充電”，跟緊時代的步伐，勇于創(chuàng)新，從而提升個人的專業(yè)能力