幾何直觀多感悟 代數(shù)直觀更精準(zhǔn)
——三角形面積計(jì)算誤區(qū)思考

周婷婷

(江蘇省南京市南師附中江寧分校 211100)

“教材安排和課堂設(shè)計(jì)都注重經(jīng)歷操作促進(jìn)三角形面積公式推導(dǎo)的生成，為什么還有學(xué)生忘記計(jì)算公式中的÷2？”“教師注重引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)完全相同的三角形去拼成一個(gè)平行四邊形，鼓勵(lì)學(xué)生自主推導(dǎo)三角形面積公式，大量計(jì)算鞏固，為什么期末學(xué)業(yè)檢測(cè)還有學(xué)生忘記÷2？”這是很多教師反饋教學(xué)效果不理想的疑問(wèn)所在；“老師，您有沒(méi)有秘訣可以記住計(jì)算三角形和梯形的面積÷2？”也是很多家長(zhǎng)和學(xué)生反饋學(xué)業(yè)成績(jī)不理想的遺憾所在.這個(gè)現(xiàn)象對(duì)數(shù)學(xué)平面幾何，立體幾何，空間幾何中的多邊形面積計(jì)算有影響，對(duì)生活問(wèn)題和科學(xué)問(wèn)題的解決也有影響.怎樣才能消除這個(gè)現(xiàn)象？

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011)》強(qiáng)調(diào)僅僅經(jīng)歷過(guò)程不行，學(xué)生應(yīng)該理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想.幾何直觀在數(shù)學(xué)直觀中最為形象，能看得見、摸得著、好理解，數(shù)學(xué)直觀還包含幾何直觀和統(tǒng)計(jì)直觀，根據(jù)小學(xué)階段兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，常常借助幾何直觀解決代數(shù)問(wèn)題、生活問(wèn)題、科學(xué)問(wèn)題.幾何直觀感悟不充分不通達(dá)不行，一種幾何直觀如果促進(jìn)學(xué)生生成代數(shù)直觀，但學(xué)生在使用時(shí)頻繁計(jì)算錯(cuò)誤，更可能是抽象的結(jié)論和幾何圖形沒(méi)有形成對(duì)應(yīng).

學(xué)生在經(jīng)歷兩個(gè)相同的三角形組成一個(gè)平行四邊形，求出平行四邊形的面積，推導(dǎo)出這個(gè)三角形的面積的過(guò)程中，感受面積公式的水到渠成.但學(xué)生獨(dú)立看圖計(jì)算時(shí)，頭腦接收這個(gè)三角形的圖形和底、高信息，并不會(huì)自行生成平行四邊形，而是產(chǎn)生直接將底和高相乘的直觀反應(yīng).可以通過(guò)加強(qiáng)公式記憶練習(xí)促進(jìn)熟練，改變忘記“÷2”現(xiàn)象，讓計(jì)算在強(qiáng)記的基礎(chǔ)上更精準(zhǔn).也可以通過(guò)增加不同幾何直觀促進(jìn)理解而后記憶，讓計(jì)算在理解的基礎(chǔ)上更精準(zhǔn).《三角形的面積計(jì)算》一課，嘗試從數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度，設(shè)計(jì)三個(gè)角度幾何直觀推導(dǎo)出三角形面積公式，感悟三角形面積公式的邏輯性，從本質(zhì)上掌握三角形面積計(jì)算中“÷2”的含義；組織一個(gè)疑點(diǎn)分析，明晰教材角度“÷2”的含義；設(shè)計(jì)正向思維和逆向思維訓(xùn)練發(fā)揮思維定勢(shì)的正面作用，在靈活中固化三角形面積計(jì)算，消除忘記“÷2”的現(xiàn)象.

1 經(jīng)歷不同幾何直觀，生成相同代數(shù)直觀

布魯納說(shuō)，教學(xué)不是帶領(lǐng)學(xué)生銘記已有的結(jié)果，而是教他們?nèi)绾螀⑴c知識(shí)獲取的過(guò)程.學(xué)生先經(jīng)歷兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的操作推導(dǎo)三角形的面積公式，再根據(jù)教材第10頁(yè)《你知道嗎？》，帶領(lǐng)學(xué)生在畫圖、剪紙、拼接，經(jīng)歷“以盈補(bǔ)虛”推導(dǎo)三角形面積公式的過(guò)程.最后，結(jié)合三種不同拼接方法比較，學(xué)生從分面積的一半，底的一半，高的一半這三個(gè)不同角度，深刻理解 “÷2”這個(gè)代數(shù)形式的幾何含義.

格點(diǎn)圖中兩個(gè)完全相同的銳角三角形拼成一個(gè)平行四邊形，三角形的面積和等底等高平行四邊形面積的關(guān)系.理解“4×4”和“÷2”的含義.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指平行四邊形面積的一半.兩個(gè)完全相同的直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形，三角形的面積和等底等高平行四邊形面積的關(guān)系.兩個(gè)完全相同的鈍角三角形拼成一個(gè)平行四邊形，三角形的面積和等底等高平行四邊形面積的關(guān)系.理解“8×3”和“÷2”的意思.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指三角形對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積的一半.

沿著三角形任意兩條邊的中點(diǎn)連線剪開，再將三角形左右兩側(cè)直角三角形旋轉(zhuǎn)至上方，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形.長(zhǎng)方形的高和三角形的高一樣，還是3厘米，長(zhǎng)方形的底正好是三角形底的一半.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指長(zhǎng)方形的底是原來(lái)三角形底的一半.

沿著三角形任意兩條邊的中點(diǎn)連線剪開，再將三角形上面兩個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)至左右，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形.長(zhǎng)方形的底和三角形的底一樣，還是8厘米，長(zhǎng)方形的高正好是三角形高的一半.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指長(zhǎng)方形的高是原來(lái)三角形高的一半.

學(xué)生通過(guò)三個(gè)幾何直觀經(jīng)歷中領(lǐng)悟，尤其是長(zhǎng)方形的底是原來(lái)三角形底的一半，長(zhǎng)方形的高是原來(lái)三角形高的一半，這些過(guò)程，使得學(xué)生在看到一個(gè)三角形求面積時(shí)，更容易產(chǎn)生“÷2”的代數(shù)直觀.

2 經(jīng)歷一個(gè)疑點(diǎn)分析，深度理解代數(shù)直觀

長(zhǎng)方形的底是原來(lái)三角形底的一半，長(zhǎng)方形的高是原來(lái)三角形高的一半，幫助學(xué)生更好的抽象出“÷2”的代數(shù)直觀，至此，學(xué)生對(duì)三角形的面積公式已經(jīng)有了正確的認(rèn)識(shí).在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生進(jìn)行拼圖操作，先經(jīng)歷不完全相同的三角形(不全等)無(wú)法拼成平行四邊形，再經(jīng)歷“只有完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形”，領(lǐng)悟一個(gè)三角形的面積是兩個(gè)和它完全一樣的三角形拼成的平行四邊形面積的一半.

每個(gè)學(xué)習(xí)小組將信封中的9個(gè)三角形取出，3對(duì)完全一樣的銳角、直角、鈍角三角形；還有3個(gè)分別和這些銳角、直角、鈍角三角形不完全一樣的干擾三角形.學(xué)生在拼圖的舍棄和選擇中深度體驗(yàn)“兩個(gè)完全一樣的三角形”這一前提條件對(duì)三角形面積公式合理的意義.

3 經(jīng)歷多組數(shù)據(jù)計(jì)算，真正掌握面積公式

學(xué)生舍棄3個(gè)干擾圖形，選擇將拼好的3個(gè)平行四邊形的信息填在表1中，并填出平行四邊形和對(duì)應(yīng)三角形的面積，再小組討論他們的面積關(guān)系，達(dá)成共識(shí).

表1

小組討論任務(wù)：

(1)拼成的平行四邊形和每個(gè)三角形有什么關(guān)系？

(2)拼成的平行四邊形的底和高與三角形的底和高有什么關(guān)系？

(3)每個(gè)三角形的面積與拼成的平行四邊形的面積有什么關(guān)系？

(4)根據(jù)平行四邊形的面積，怎樣求三角形的面積？

小組共識(shí)：

(1)拼成的平行四邊形是兩個(gè)相同的三角形拼成.

(2)拼成的平行四邊形的底和高與三角形的底和高相同.

(3)每個(gè)三角形的面積是拼成的平行四邊形的面積的一半.

(4)三角形的面積=底×高÷2.

比較三種不同角度，發(fā)現(xiàn)：計(jì)算三角形的面積只要知道底和高，再“底×高÷2”即得到三角形面積大小.學(xué)生理解和掌握三角形的面積計(jì)算更準(zhǔn)確，對(duì)梯形面積以及組合圖形面積的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定正遷移.

4 經(jīng)歷雙向思維訓(xùn)練，深度固化面積公式

思維定型或形成思維定勢(shì)是思維發(fā)展的必然趨勢(shì)，因此通過(guò)正向思維和逆向思維練習(xí)的設(shè)計(jì)塑造高品質(zhì)的計(jì)算思維定勢(shì).以“三角形的面積計(jì)算”為本，整合變化問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生在已知條件變化的情境中精準(zhǔn)計(jì)算三角形面積.公式正向訓(xùn)練：設(shè)計(jì)一般的銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形底和高，求它們的面積，已知等腰直角三角形的一條腰，求它的面積；設(shè)計(jì)三角形不同的擺放的位置，使底和高出現(xiàn)在三角形的上方、側(cè)面，已知底、高求面積；設(shè)計(jì)已知2個(gè)底和1個(gè)高、1個(gè)底和2個(gè)高求面積；設(shè)計(jì)底、高已知的三角形田地收獲多少千克蘿卜、每平方米有多少棵白菜.公式逆向練習(xí)：已知三角形的面積和底、高中的一個(gè)條件求另一個(gè).例如：“已知三角形的面積是20平方厘米，底是5厘米，則高是多少厘米？”學(xué)生熟練以20×2÷5的思路算出高，突出探討“20×2”的含義，掌握逆向思維中×2和正向思維中÷2的含義和聯(lián)系.

《三角形的面積計(jì)算》一課從三角形圖形的幾何直觀著手，幫助學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生幾何直觀和代數(shù)直觀準(zhǔn)確且穩(wěn)定的對(duì)應(yīng)聯(lián)系，消除忘記“÷2”的現(xiàn)象.

初中階段對(duì)小學(xué)教材已經(jīng)出現(xiàn)的平面圖形計(jì)算公式，不再作為新知識(shí)重新學(xué)習(xí)，重在例題或練習(xí)中運(yùn)用.幾何學(xué)習(xí)采用更加抽象和概括的方式、用邏輯的推理和論證，更加突出“為什么”，對(duì)學(xué)生的能力要求有質(zhì)的飛躍.高中階段需要學(xué)生在探究幾何問(wèn)題時(shí)能聯(lián)系代數(shù)式，看到代數(shù)式時(shí)頭腦中能有幾何圖形.強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終使學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.很多物理學(xué)家、化學(xué)家和生物學(xué)家在思考自己研究領(lǐng)域的科學(xué)問(wèn)題時(shí)，也都是通過(guò)敏銳的數(shù)學(xué)直觀能力解決復(fù)雜的問(wèn)題.因此，在小學(xué)階段，教師要根據(jù)學(xué)情，積極嘗試精心設(shè)計(jì)，消除思維直觀對(duì)數(shù)學(xué)抽象學(xué)習(xí)的限制性，通過(guò)充分的幾何直觀體驗(yàn)，向直觀思維的優(yōu)勢(shì)性轉(zhuǎn)化，更好地開發(fā)兒童的代數(shù)直觀能力，給后續(xù)學(xué)科學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，生活和科學(xué)問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)思維基礎(chǔ).