常微分方程求解中變量替換的應(yīng)用

李祖平，婁默軍，馮強(qiáng)

(濰坊職業(yè)學(xué)院，山東濰坊 261041)

常微分方程是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它不僅在數(shù)學(xué)理論上有著重要的地位，而且在實(shí)際應(yīng)用中也發(fā)揮著極其重要的作用。很多實(shí)際問(wèn)題，從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行抽象，其數(shù)學(xué)模型就是一個(gè)微分方程，要研究該實(shí)際問(wèn)題，求解此微分方程變得更加重要。但一般的教材上對(duì)可求解的常微分方程的類(lèi)型介紹得并不多，而某些常微分方程的求解，可通過(guò)變量替換的方法化為上述已知的可求解的微分方程類(lèi)型。本文就是以一階和二價(jià)的常微分方程為載體，對(duì)求解中的變量替換進(jìn)行了拓展。

一、變量替換在一階常微分方程中的應(yīng)用

（一）齊次常微分方程、Bernoulli方程、Riccati方程中的替換

一階常微分方程中常見(jiàn)的類(lèi)型有：變量分離的方程，齊次方程，一階線性微分方程，Riccati方程，Bernoulli方程等。其中齊次方程、Bernoulli方程中，某些方程可通過(guò)變量替換的方法得到解決。

（二）線性替換

所謂的線性替換是原微分方程中的未知函數(shù)與引入的新變量的等式中，將未知函數(shù)視為變量時(shí)，與新變量之間是一種線性關(guān)系，線性替換是一種簡(jiǎn)單的替換，一般不改變微分方程的價(jià)數(shù)。

(三)參數(shù)替換

（四）極坐標(biāo)替換

（五）替換u=xy

二、變量替換在二階常微分方程的應(yīng)用

（一）二階齊次線性微分方程中的替換

（二）遇xy′?y用變量替換y=xz

若微分方程中含有xy′?y時(shí)，可用替換y=xz，這樣方程就轉(zhuǎn)化為含z，x的方程，求得通解后，可得原方程的通解。

（三）遇yy′′+y′2用變量替換 z=y2

（四）三角替換

（五）歐拉（Euler）方程中的替換y=xk