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    非齊次樹(shù)上馬氏鏈基于韋伯分布的一個(gè)強(qiáng)偏差定理

    2022-09-16 06:10:54任雙雙蘭曉博
    科技資訊 2022年18期
    關(guān)鍵詞:馬氏韋伯測(cè)度

    任雙雙 蘭曉博

    (鄭州科技學(xué)院基礎(chǔ)部 河南鄭州 450064)

    近年來(lái),許多學(xué)者對(duì)樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程的研究至今方興未艾,其中關(guān)于強(qiáng)偏差定理的研究也一直頗受青睞。文獻(xiàn)[1]主要研究并給出了馬氏環(huán)境中關(guān)于齊次樹(shù)指標(biāo)的馬氏鏈的漸進(jìn)均分性,文獻(xiàn)[2]研究并給出了樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈關(guān)于廣義幾何分布的一個(gè)強(qiáng)偏差定理,文獻(xiàn)[3]給出了關(guān)于樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈的廣義熵遍歷定理。該文通過(guò)引入滑動(dòng)相對(duì)熵的概念,構(gòu)造適當(dāng)?shù)膖n(λ,ω),將Doob鞅收斂定理和上、下極限性質(zhì)應(yīng)用到定理中,研究并給出了關(guān)于韋伯分布的強(qiáng)偏差定理,使該方面的內(nèi)容得到了擴(kuò)充。

    1 基本概念

    定義1 定義{Xσ,σ∈T}是概率空間{Ω,F,P}上,且在連續(xù)狀態(tài)(R+,β(R+))取值的隨機(jī)變量族,設(shè)

    是隨機(jī)變量族{Xσ,σ∈T}的初始分布,且正則條件概率族[4]記為

    則稱f(σ,S(σ);Xσ,XS(σ))為轉(zhuǎn)移密度函數(shù),記

    定義fS(σ)(Xσ,XS(σ))是初始分布{Xσ,σ∈T}的一列轉(zhuǎn)移密度函數(shù),將f0定義為{Xσ,σ∈T}對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù),于是稱為具有式(1)和式(2)的在R+上取值的連續(xù)狀態(tài)樹(shù)指標(biāo)非齊次Markov鏈[5]。

    則定義的樹(shù)T上聯(lián)合分布密度函數(shù)[6]為

    設(shè)(Ω,F)上的另一概率測(cè)度為Q,{Xσ,σ∈T}在Q下的聯(lián)合分布密度函數(shù)記為

    也就是{Xσ,σ∈T}在Q下互相獨(dú)立,并且服從的韋伯分布,其中,λξk>0,α>0,xξk∈R+,ξk∈Lk。

    定義2{Xσ,σ∈T}在P和Q下的聯(lián)合分布密度函數(shù)均如上式所定義,設(shè)0 ≤a1≤a2≤…是一列整數(shù)值,分別記

    定義3 設(shè)f(x)是隨機(jī)變量X的密度函數(shù),如果存在0 <δ<1使

    存在,則稱(s)是隨機(jī)變量X的s-矩變換。

    由式(10)知,對(duì)于服從分布g(xξk,λξk)的隨機(jī)變量Xξk的s-矩變換為

    2 強(qiáng)偏差性質(zhì)

    引理1 設(shè){Xσ,σ∈T}為如上定義的連續(xù)狀態(tài)樹(shù)指標(biāo)非齊次Markov 鏈,其中0 ≤a1≤a2≤…是一列整數(shù)值,s為一實(shí)數(shù),f(X Tn),g(X Tn),(s,λξk)如前定義,令

    則{tn(s,ω),σ(Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n),n≥1}在概率測(cè)度P下是一非負(fù)鞅。

    證明由式(5),有

    由式(11)、式(12)、式(13)與式(14),有

    由式(15)與式(16),有

    由(16)式和(17)式,有

    則{tn(s,ω),σ(Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n),n≥1}在概率測(cè)度P下是一非負(fù)鞅[7]。

    定理1 設(shè){Xσ,σ∈T}為如上述定義的連續(xù)狀態(tài)樹(shù)指標(biāo)非齊次Markov鏈,其在Q下的聯(lián)合分布密度函數(shù)如式(6)所定義,實(shí)數(shù)s∈(-1,1),正整值數(shù)列{al,l≥1}如前定義。設(shè)存在M>0,使得

    證明 由引理1 及Doob 鞅收斂定理[8]知,存在A(s) ∈F,P(A(s))=1,使得

    由式(7)、式(11)、式(12)、式(13)與式(14),有

    由(25)式,有

    由式(8)、式(9)、式(21)、式(24)及式(26),有

    取0 <s<1,將(27)式兩端同除以s,有

    由不等式lnx≤x-1(x>0)及式(11)、式(19)、式(29)可知

    由式(31),有式(22)成立。

    取-1 <s<0,將式(27)兩端同除以s,有

    由式(32)及下極限的性質(zhì)

    由式(35),有式(23)成立。

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