液晶平板光波導中耦合模式的研究

查正桃，張謙述，張耀進，周 琪

(西華師范大學 a.物理與天文學院，b.電子信息工程學院，四川 南充 637009)

向列相液晶具有大的雙折射性、低驅動電壓特性，使其成為非常有前景的電光材料[1]。對于典型的向列相液晶，外加幾個伏特的電壓即可實現(xiàn)Δn>0.2的大雙折射重構[2]，國內外研究人員利用其電控雙折射可重構特性研究了許多基于液晶光波導的電調諧器件，例如光開關[3-7]、光調制器[8-9]、光學濾波器[10]、光衰減器[11]、光束偏轉器[12]、光分束器[13]。這些研究中的光波導均僅工作在橫磁(Transverse Magnetic，TM)或橫電(Transverse Electric，TE)模式，而對于波導以耦合模式工作的研究較少。自上世紀70年代基于橫向各向異性光波導(Transverse Anisotropic Optical Waveguide，TAOW)的耦合模理論[14](Coupled Mode Theory，CMT)被提出以來，較為有效的波導模式分析方法大多為數(shù)值法，包括有限元法[15-17]、有限差分法[18]、矢量偽譜法[19]、矢量變分法[20]，盡管這些數(shù)值方法能求出模折射率和模場分布，但波導中的模式隨電介質張量中非對角項變化的規(guī)律并不清晰。

1 理論分析

(1)

式中，ε∥,ε⊥分別表示平行和垂直液晶分子指向矢的相對介電常數(shù)，α為液晶分子傾斜角。

考慮單色平面波入射，傳輸方向為z軸正方向，傳輸因子為exp(-jβz),β為縱向傳播常數(shù)。對于這種旋轉構型，根據(jù)麥克斯韋方程組可得橫向磁場分量之間的耦合本征方程組為[18]

(2)

式中，k0≡2π/λ0為真空波數(shù)，λ0為真空波長。根據(jù)平板波導理論[22]，場強不隨x變化，則式(2)可化為

(3)

顯然，當非對角項εxy、εyx非零時，磁場分量Hx,Hy之間必定出現(xiàn)耦合，符合CMT[14]。聯(lián)立式(1)(3)可得Hx,Hy的公共波動方程為

(4)

以波導芯區(qū)正中心為坐標原點，聯(lián)立式(3)(4)可得波導芯區(qū)的磁場為

(5)

式中，Hξf,φξ均為待定常數(shù)，ξ=e,o表示各向異性電介質中光波的類型，且

(6)

設包層和襯底層的折射率分別為nc,ns，仿照上述易得包層和襯底層磁場為

(7)

式中，Haξc、Haξs均為待定常數(shù)。此外，這種旋轉構型下尋常光波和非尋常光波的折射率分別為

(8)

式中，θ表示入射光波的波矢量與z軸之間的夾角。根據(jù)式(8)易證式(6)中kye、kyo分別為非尋常光波和尋常光波的橫向傳播常數(shù)，因此，可得到下列重要關系式

(9)

聯(lián)立式(5)—(7)與麥克斯韋方程組可求得其余的所有電磁分量，然后根據(jù)邊界條件及式(9)可得非尋常光波的色散關系為

(10)

式(10)中第1個方程為Hxe、Eze、Dye(純TM模式)的邊界條件產(chǎn)生；第2個方程為Exe、Hze、Bye(純TE模式)產(chǎn)生。應當指出的是，根據(jù)式(6)可知，當α=0°時，Hxe=0，此時非尋常光波的色散方程僅含式(10)中第2個方程；當α=90°時，Hye=0，此時非尋常光波的色散方程僅含式(10)中第1個方程；而當0°<α<90°時，根據(jù)CMT，式(10)中兩個色散方程必須同時滿足，即非尋常光波所激勵的本征模式并非純TE或純TM模式，而是耦合模式。從式(10)可見，波導中本征模式的數(shù)量不僅與波導以及入射光波的固有參數(shù)有關，而且與液晶分子傾斜角有關。尋常光波的色散方程與各向同性平板波導的色散方程相同，這里不再闡述。

2 數(shù)值案例

2.1 模數(shù)曲線

考慮工作波長λ0=1.5 μm，以液晶5CB(4′-n-pentyl-4-cyano-biphenyl)為例，根據(jù)雙系數(shù)柯西方程[21]可知室溫25.1 ℃下液晶分子的主軸介電常數(shù)分別為ε∥=2.8295,ε⊥=2.3092，選擇包層和襯底層的折射率ns=nc=1.48，波導厚度h=5 μm，寬度w=1 mm，滿足h?w。根據(jù)式(10)繪制不同傾斜角α下模數(shù)m、q隨θ變化的曲線如圖3所示。

從上式明顯可見，臨界角θcri也受液晶分子傾斜角的調控。

2.2 模折射率

計算不同傾斜角α下TM、TE模式的模折射率，結果如圖4所示，對于任意一個導模，隨著液晶分子傾斜角α的增加，TE模式的模折射率始終略大于TM模式的模折射率，這個規(guī)律與常規(guī)各向同性薄膜波導是一致的[22]。但考慮到這個模折射率差異非常小，因此可以認為非尋常光波同時激勵的這兩種偏振模式的模折射率是可以簡并的，從而使得式(10)中兩個方程同時成立，即光波能以耦合模式工作。

對于高階模式，其模折射率隨著α的增加而減小，體現(xiàn)了一定的相移特性，這是因為非尋常光波折射率隨α的增加而減小，正如式(8)所示。此外，由于臨界角也受液晶分子指向矢的調控，導致最高階模式(m=q=5)并不是對于任意的α均存在。特別注意到，對于基模，無論是TE模式還是TM模式，其模折射率幾乎不隨液晶分子傾斜角α變化。這是因為液晶分子的光軸始終在xoy平面內，對于非常近軸的光線，其波矢量與z軸之間的夾角非常小，從而使得波矢量始終近似垂直于光軸，其對應的非尋常光波的折射率很難被α有效地調控。

2.3 模場分布

一旦模折射率已知，根據(jù)模場分布函數(shù)即可得到各階模式的模場分布?？紤]到光波導中主要激發(fā)最低階模式，因此，圖5僅展示了不同傾斜角下前2個模式的主要磁場分量。

從圖5可見，在波導芯區(qū)，Hxe與Hye有π的相位差。此外，隨著液晶傾斜角α的增加，Hxe相對于Hye的振幅峰值也增加，即基于液晶材料的TAOW能實現(xiàn)模式轉換功能(TE到TM)。另一方面，根據(jù)最小偏振拍長公式[14]Lmin=λ0/(2ΔNeff)可知，為了能夠在固定波導長度Lmin的輸出端有效地調控其偏振模式，必須保證非尋常光波和尋常光波的有效折射率差ΔNeff不隨液晶分子傾斜角α發(fā)生變化，僅僅是場強振幅被有效調控。根據(jù)尋常光波的折射率與α無關，以及非尋常光波低價模式的模折射率對α也不敏感，滿足偏振調控要求。

3 結 論

本文從麥克斯韋方程組推導出向列相液晶光波導中橫向磁場分量的公共波動方程，并對其進行了解析求解。在邊界條件下進一步得出了耦合模式的色散關系以及模場分布的顯式表達，與以往數(shù)值方法相比，更易于分析向列相液晶TAOW中液晶分子傾斜角對波導模式、模場的調控規(guī)律。盡管色散方程是超越方程，但在求解時不需要大尺寸的存儲矩陣，易于實現(xiàn)液晶光波導的可編程調諧。通過求解色散方程發(fā)現(xiàn)非尋常光波的TE、TM模式的模數(shù)曲線是簡并的，而且其高階模式的存在嚴格地受液晶傾斜角調控。此外，還發(fā)現(xiàn)低階模式的模折射率對液晶傾斜角幾乎不敏感，但橫向模場分量的振幅卻受液晶傾斜角的調控。