一道解析幾何?？荚囶}探究與推廣

唐 洵

(福建省福清第三中學 350000)

1 試題呈現(xiàn)

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點P(4,0)作斜率不為0的直線l與雙曲線C交于M,N兩點，直線x=4分別交直線AM,AN于點E,F.試判斷以EF為直徑的圓是否經過定點，若經過定點，請求出定點坐標；反之，請說明理由.

2 解法探究

2.1 第(1)問解析

解析依題意，a=2.

2.2 第(2)問解析

(3-4k2)x2+32k2x-64k2-12=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2)，則

故以EF為直徑的圓的方程為

由對稱性可知，以EF為直徑的圓過定點，則該點一定在x軸上.

將(*)式代入上式，得

解得x=1或x=7.

所以以EF為直徑的圓經過點(1，0)和(7，0).

(2)當直線l的斜率不存在時，點E(4,3),F(4,-3)，以EF為直徑的圓的方程為(x-4)(x-4)+(y-3)(y+3)=0，該圓經過(7,0)和(1,0).

綜上所述，以EF為直徑的圓經過定點(1,0)和(7,0)

解法2設直線l的方程為x=ty+4，

(3t2-4)y2+24ty+36=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2)，則

由直線AM的方程為

由對稱性可知，若以EF為直徑的圓過定點，則該定點一定在x軸上，設該定點坐標為T(t,0)，則

=(4-t)2-9=0.

解得t=1或t=7，

所以以EF為直徑的圓經過定點(1,0)和(7,0).

3 結論延伸

細品解題過程，筆者感覺第(2)問的解答耐人尋味，似乎隱藏一個定點的結論，于是筆者思考，對于一般形式的雙曲線，上述問題該如何表示？本例中的定點P、以EF為直徑的圓所過的定點、以及a,b之間是否存在著內在聯(lián)系？如果背景的圓錐曲線換成橢圓、拋物線，是否又有類似的結論呢？基于上述思考，筆者得到如下結論：

證明設直線l1:x=my+λ，

整理,得

(b2m2-a2)y2+2mλb2y+b2(λ2-a2)=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2)，則

由對稱性可知，若以EF為直徑的圓過定點，則該定點一定在x軸上，設該定點坐標為T(t,0)，則

=(λ-t)2+

=(λ-t)2+

=(λ-t)2+

=(λ-t)2+

證明橢圓結論的證明過程與雙曲線類似，這里不再給出.

整理,得y2-2pmy-2pλ=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2)，則

y1+y2=2pm，y1y2=-2pλ.

由對稱性可知，若以EF為直徑的圓過定點，則該定點一定在x軸上，設該定點坐標為T(t,0)，則

=(λ-t)2-2pλ=0.

整理,得y2-2pmy-2pλ=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2)，則

y1+y2=2pm，y1y2=-2pλ.

由對稱性可知，若以EG為直徑的圓過定點，則該定點一定在x軸上，設該定點坐標為T(t,0)，則

圓錐曲線中的定點定值問題，可謂一花一世界，一樹一菩提，在解題后，若能夠靜心思考，潛心研究，必能有所收獲.