旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算方法的探討

孟獻(xiàn)青

(1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009;2.山西大同大學(xué)量子信息科學(xué)研究所，山西大同 037009）

旋轉(zhuǎn)體是指平面圖形繞平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周所得的立體。旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)定積分應(yīng)用的一個(gè)重要考點(diǎn)，有著非常重要的實(shí)際意義。用多種方法研究旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算，不僅有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，而且有助于學(xué)生把碎片知識(shí)一體化，形成更容易接受的知識(shí)網(wǎng)。多數(shù)教材只介紹了平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積，但是局限性比較大。一方面，有些題型雖然可以寫出體積表達(dá)式，但計(jì)算難度比較大，很難求出最終解；另一方面，在實(shí)際問題中，平面圖形可能繞任意直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所以有必要介紹一下旋轉(zhuǎn)體體積的其他求法，簡(jiǎn)化計(jì)算過程。文中涉及到的定義和術(shù)語(yǔ)參見文獻(xiàn)[1]。

1 平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)

利用元素法求體積微元時(shí)，把體積微元近似地看成圓柱體的體積。常規(guī)的方法是把體積微元一層一層進(jìn)行疊加，但是當(dāng)平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，有時(shí)按常規(guī)方法做起來比較困難，甚至無法求解。通過觀察卷紙發(fā)現(xiàn)，體積微元也可以一圈一圈進(jìn)行疊加，這個(gè)思想就是柱殼法[2]。

定理1設(shè)a,b為常數(shù)且0＜a＜b，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且滿足f(x)≥0，則由平面圖形a≤x≤b,0≤y≤f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體積為V=。

分析平面圖形雖然繞y軸旋轉(zhuǎn)，但是不妨對(duì)x軸進(jìn)行分割，小曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)就近似地看成小矩形繞y軸旋轉(zhuǎn)，這樣就得到一個(gè)圓柱殼，即體積微元可近似看成兩個(gè)小圓柱體的體積差，如圖1。

圖1 柱殼

證明從[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx]，

ΔV≈π(x+dx)2f(x)-πx2f(x)=2πxf(x)dx+πf(x)(dx)2，

當(dāng)區(qū)間分割很細(xì)時(shí)，體積元素

dV=2πxf(x)dx，

從而可得旋轉(zhuǎn)體體積為

為了便于理解，也可以把柱殼展開，則柱殼就近似看成長(zhǎng)為2πx，寬為dx，高為f(x)的長(zhǎng)方體，故長(zhǎng)方體的體積為dV=2πxf(x)dx，從而整個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為V=。

例1計(jì)算曲線y=sinx(0≤x≤π)和x軸所圍圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

解（1）繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

（2）繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

方法1（常規(guī)方法）繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積可以看成是曲邊梯形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體積減去曲邊梯形OBC繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積的差，如圖2。

圖2 旋轉(zhuǎn)圖形

利用常規(guī)方法計(jì)算繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，涉及到求函數(shù)的反函數(shù)。有些題目反函數(shù)不太容易求解，或者計(jì)算難度表較大，所以可以用柱殼法進(jìn)行計(jì)算，以x為積分變量進(jìn)行計(jì)算。

方法2（柱殼法）繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積可以看成是以2πx為長(zhǎng)，以dx為寬，以sinx為高的長(zhǎng)方體的體積，所以

在計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，是選用常規(guī)方法還是柱殼法，與旋轉(zhuǎn)體的形狀有關(guān)。一般情況下，如果曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)，用常規(guī)方法計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積；若曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)，則利用柱殼法相對(duì)簡(jiǎn)單。從定理中1很容易得到繞平行于y軸的直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

推論1設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0，則平面圖形a≤x≤b,0≤y≤f(x)繞直線x=x0旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：

（1）當(dāng)x0≤a時(shí)，

（2）當(dāng)x0≥b時(shí)，

例2求y=x2,y=x所圍成的圖形分別繞y軸，直線L1:x=-1 和L2:x=2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

解聯(lián)立方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0），（1,1），由柱殼法得，繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為：

由推論1 知，繞直線x=-1 旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為：

繞直線x=2旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為：

2 平面圖形繞任意直線y=kx+b旋轉(zhuǎn)

定理2由光滑曲線段y=f(x)，a≤x≤b與直線y=kx+b所圍平面圖形繞直線y=kx+b旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：

證明旋轉(zhuǎn)曲面的橫截面半徑可以看成是光滑曲線段任意一點(diǎn)(x,f(x))到直線y=kx+b的距離d=；

橫截面對(duì)應(yīng)的高為：

h=，其中θ為直線y=kx+b的傾斜角。故體積元素為：

從而旋轉(zhuǎn)體體積為：

當(dāng)k=0,b=0 時(shí)，可得繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。

例3求y=x2,y=x所圍成的圖形繞直線y=x旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

解交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(1,1)，且k=1,b=0,f(x)=x2，由定理2 可知，所得旋轉(zhuǎn)體體積為：

3 利用Pappus定理計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積

古希臘數(shù)學(xué)家Pappus 總結(jié)出了特殊旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算公式，尤其當(dāng)平面圖形為對(duì)稱圖形時(shí)，計(jì)算起來特別簡(jiǎn)便。

定理3設(shè)D是與直線l不相交的平面閉區(qū)域，面積為S。D的形心到直線l的距離為d，則平面圖形D繞直線l旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為Vl=2πdS[4]。

例4求圓x2+(y-1)2=1 繞直線y=x-1 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

解由對(duì)稱性知，圓的形心坐標(biāo)為(0,1)，故由點(diǎn)到直線的距離公式知，形心(0,1)到旋轉(zhuǎn)軸y=x-1 的距離為：

又圓的面積為π，所以由Pappus 定理知，旋轉(zhuǎn)體的體積為V=。

所以當(dāng)平面圖形內(nèi)部與旋轉(zhuǎn)軸沒有交點(diǎn)時(shí)，求旋轉(zhuǎn)體的體積可以轉(zhuǎn)換成求平面圖形的面積及形心到旋轉(zhuǎn)軸的距離，利用Pappus定理進(jìn)行計(jì)算。

4 結(jié)論

利用元素法討論了平面圖形繞坐標(biāo)軸及任意直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積，當(dāng)平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，用常規(guī)方法及柱殼法兩種方法進(jìn)行解題，并對(duì)比了兩種方法的優(yōu)劣；對(duì)于形心坐標(biāo)比較好計(jì)算的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積，可以利用Pappus 定理，轉(zhuǎn)化為計(jì)算平面圖形的形心到直線的距離和平面圖形的面積進(jìn)行計(jì)算，從而可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程。