基于柱殼法及柱坐標(biāo)系求解旋轉(zhuǎn)體的體積

（信息工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，河南 鄭州 450001）

在一元函數(shù)積分學(xué)中，微元法[1-3]是定積分的幾何應(yīng)用[4-5]和物理應(yīng)用的理論基礎(chǔ).利用微元法可以求解旋轉(zhuǎn)體的體積，但是當(dāng)曲線圍成的平面區(qū)域繞不同的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)[6]，積分變量和體積微元的選取方式可能大相徑庭，其中主要有柱片法和柱殼法2 種方式[7-8].在多元函數(shù)積分學(xué)中，也可以利用二重積分或三重積分求幾何體的體積，對(duì)于旋轉(zhuǎn)體而言，利用柱面坐標(biāo)系[9-10]求解其體積計(jì)算過(guò)程非常簡(jiǎn)便.本文從利用定積分中的柱殼法求解旋轉(zhuǎn)體的體積逐步過(guò)渡到利用三重積分在柱坐標(biāo)系下計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積，將2種情形下求解旋轉(zhuǎn)體的體積建立起聯(lián)系，以達(dá)到學(xué)生對(duì)柱坐標(biāo)系更容易接受和理解的目的.

1 柱殼法求解旋轉(zhuǎn)體的體積

設(shè)函數(shù)y=f(x) ≥0,x=a,x=b及x軸圍成的平面區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V（見(jiàn)圖1）.

取x為積分變量，積分區(qū)間為[a,b]，任取小典型區(qū)間[x,x+dx]?[a,b]，相應(yīng)于[x,x+dx]的窄曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積近似于以2πx為長(zhǎng)，以f(x)為寬，以dx為高的長(zhǎng)方體的體積，即體積元素為dV=2πxf(x)dx，將體積元素在[a,b]上作定積分，則得到旋轉(zhuǎn)體的體積.柱殼法是求解此類型旋轉(zhuǎn)體體積最常用的方法，其形式簡(jiǎn)單，計(jì)算起來(lái)方便快捷.

圖1 利用柱殼法求解平面區(qū)域繞y 軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積

當(dāng)y=f(x) ≥ 0且在[a,b]上單調(diào)減少時(shí)，可類似討論.

圖2 當(dāng)y =f (x) ≥ 0且在[a ,b ]上單調(diào)增加時(shí)，以y 為積分變量分割旋轉(zhuǎn)體求其體積

討論當(dāng)y=f(x) ≥ 0，但不是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)時(shí)的情形.由于y=f(x)在[a,b]上不單調(diào)，因此可以通過(guò)求y=f(x)在[a,b]上的單調(diào)性發(fā)生變化的點(diǎn)將區(qū)間[a,b]分成若干單調(diào)區(qū)間，分別求取每個(gè)單調(diào)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積，求和即得總旋轉(zhuǎn)體的體積.假設(shè)分點(diǎn)為x1,x2,L,xk-1，令x0=a,xk=b，若[xi,xi+1]是y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由分析可知

若[xi,xi+1]是y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間，同理可得，因此整個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為.至此，以y為積分變量求解旋轉(zhuǎn)體的體積問(wèn)題便得到了解決.

至此，分別以x,y為積分變量，利用微元法解決了旋轉(zhuǎn)體體積的求解問(wèn)題.有的學(xué)生自然會(huì)想到能否以另一種方式對(duì)旋轉(zhuǎn)體進(jìn)行分割，即以過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面將旋轉(zhuǎn)體分割成多個(gè)底面為扇環(huán)的曲頂柱體（見(jiàn)圖3）.但遺憾的是，即使兩張平面的夾角可以取很小，設(shè)為Δθ，此時(shí)由于x∈[a,b]，y=f(x)在[a,b]上的增量很大，不能找到一個(gè)體積微元來(lái)近似代替兩張平面截旋轉(zhuǎn)體所得的底面為扇環(huán)的曲頂柱體的體積.但如果繼續(xù)分割，添加以旋轉(zhuǎn)軸為軸的圓柱面和y為常數(shù)的水平面對(duì)此曲頂柱體進(jìn)行分割，也即將3種分割方式結(jié)合在一起對(duì)旋轉(zhuǎn)體分割，切割出來(lái)的小扇環(huán)柱體體積的近似值就是柱坐標(biāo)系下的體積微元（見(jiàn)圖4）.由此以平面極坐標(biāo)中的極角為橫坐標(biāo)，極徑為縱坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)軸為豎坐標(biāo)建立柱坐標(biāo)系.

圖3 以旋轉(zhuǎn)角θ 為積分變量對(duì)旋轉(zhuǎn)體進(jìn)行分割

圖4 以 r,θ,y為積分變量對(duì)旋轉(zhuǎn)體進(jìn)行分割

2 柱坐標(biāo)系下求解旋轉(zhuǎn)體的體積

在柱坐標(biāo)系下，用3 組坐標(biāo)面r=常數(shù)，θ=常數(shù)，y=常數(shù)分割旋轉(zhuǎn)體，把旋轉(zhuǎn)體分成若干個(gè)小立體，任取其中一個(gè)小立體，它的體積可近似看成以dr,rdθ,dy為長(zhǎng)、寬、高的立方體的體積，因此旋轉(zhuǎn)體的體積微元dv=rdrdθdy.曲線y=f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)面方程為，在柱坐標(biāo)系下也即是y=f(±r)，記旋轉(zhuǎn)體所占空間區(qū)域?yàn)棣?，則利用直角坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算中的“先一后二”法可得旋轉(zhuǎn)體的體積為.

在對(duì)旋轉(zhuǎn)體的不同分割下如何求體積的思考中，引出了利用柱坐標(biāo)求解旋轉(zhuǎn)體體積的方法.隨著問(wèn)題的逐步推進(jìn)，從柱殼法到柱坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)了一元函數(shù)定積分求解旋轉(zhuǎn)體體積到重積分求解立體體積方法的跳躍，既解答了學(xué)生在定積分應(yīng)用中求旋轉(zhuǎn)體的體積時(shí)產(chǎn)生的疑問(wèn)，又給了柱坐標(biāo)系一個(gè)較為自然的引入.這種拓展有利于開闊學(xué)生的思維，幫助學(xué)生建立前后知識(shí)間的深層鏈接.