談空間Euler 不等式的一種加強

陜西省西安市西安高級中學博愛分校 張 赟 （郵編：710000）

如果R表示四面體的外接球半徑，r表示這個四面體的內切球半徑，那么有空間Euler 不等式[1],[2]R≥3r.

本文介紹空間Euler 不等式在四面體中的又一種加強.

定理設有四面體A1A2A3A4，sk(k=1,2,3,4)表示頂點Ak對面的面積，R、r分別表示四面體A1A2A3A4的外接球半徑和內切球半徑，那么

另一方面

這樣，定理獲證.由于

因此，定理強于Euler 不等式R≥3r.

特別地，如果R和r分別表示三角形△ABC的外接圓半徑和內切圓半徑，同樣有二維Euler不等式R≥2r的一個加強式：