多參數(shù)加權p-Laplacian奇異Lane-Emden系統(tǒng)

趙 雪，姜曉威，高 丹，王立波

(北華大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

Lane-Emden系統(tǒng)的研究源于物理學家和天文學家對氣體動力學、傳熱學以及天體物理學的探索，通過對Lane-Emden系統(tǒng)解的存在性的研究可間接獲得行星內(nèi)部的信息及其他相關物理量.對Lane-Emden系統(tǒng)的研究無論是在理論上還是在應用上都具有非常重要的價值.自20世紀90年代，MITIDERI[1]、SERRIN和ZOU[2-3]，VAN DER VORSTT[4]等學者對Lane-Emden系統(tǒng)的臨界曲線進行了系統(tǒng)研究.2002年，BUSCA等[5]研究了Lane-Emden系統(tǒng)

的Liouville型定理，其中p、q>0.對臨界曲線下方Lane-Emden系統(tǒng)正解不存在性的猜想給出了部分回答.2016年，QUASS等[6]研究了分數(shù)階Lane-Emden系統(tǒng)

的Liouville型定理，其中α∈(0，1)，N>2α，p、q>0.

受上述文獻的啟發(fā)，本文利用單調(diào)迭代技巧研究一類具有p-Laplace算子及奇異非線性項的非線性多參數(shù)加權Lane-Emden系統(tǒng)

(Pλμ)

(H)a≥0，0≤f、g≤1，x∈Ω，且在Ω上的一個非零測度子集上f、g>0.

本文的結構如下：第1節(jié)主要研究Lane-Emden系統(tǒng)臨界曲線的估計；第2節(jié)主要研究Lane-Emden系統(tǒng)解的序和參數(shù)的序之間的關系.值得一提的是，對于給定的問題，我們只需要半對上下解(而不是一對上下解)就可以得到存在性結果，這顯然是一個較弱的假設條件.

1 臨界曲線

本節(jié)討論將正象限分成兩個連通分支的臨界曲線的存在性及其上下界估計.

首先給出一些相關的定義及引理.

引理1[7]設F(x，u)：Ω×→關于x可測，關于u單調(diào)不減.設u1、u2∈W1，p(Ω)在空間W-1，p′(Ω)上滿足

-Δpu1(x)+F(x，u1(x))≤-Δpu2(x)+F(x，u2(x))，

其中p′=p/(p-1).則當u1≤u2，x∈?Ω時，有u1≤u2，x∈Ω.

由文獻[7]可知，p-Laplacian特征值問題

(Eλ)

具有如下性質(zhì)：

引理2[7](ⅰ)問題(Eλ)的第一特征值λ1是正的單重特征值；

(ⅲ) 當λ>λ1時，問題(Eλ)不存在正解；

引理3假設條件(H)成立，λ、μ為正參數(shù).若(U，V)是 Lane-Emden系統(tǒng)(Pλμ)的古典上解，則Lane-Emden系統(tǒng)(Pλμ)至少存在一對正解(u，v)，使得u≤U，v≤V.進一步，Lane-Emden系統(tǒng)(Pλμ)存在最小的正解(u*，v*)，使得u*≤U，v*≤V.

證明：設u0=U，v0=V.定義迭代序列(un，vn)如下：

易見(un，vn)是定義好的.由定義1和引理1，可得

0

0

從而存在(u，v)，使得un(x)→u(x)和vn(x)→v(x)，x∈Ω.再由基本的緊性討論可知，在W1，p(Ω)內(nèi)，un→u且vn→v.因此，(u，v)是系統(tǒng)(Pλμ)的解.再由引理2知，u、v>0，x∈Ω.證畢.

定義集合

下面我們分別證明集合Λ是非空的、連通的且有界的.

引理4假設條件(H)成立，則Λ非空.

證明：選取0<ρ

定義

，

(1)

由函數(shù)h的定義知，(φ，φ)是(Pλ*λ*)的上解.從而由引理3可知，系統(tǒng)(Pλ*λ*)存在正解，即(λ*，λ*)∈Λ.證畢.

由引理3和上下解方法，我們可以很容易地得到如下引理.

引理5假設條件(H)成立.如果(λ，μ)∈Λ，則(0，λ]×(0，μ]?Λ.

引理6假設條件(H)成立，則集合Λ有界.

證明：設λ*為特征值問題

(Pλ)

的第一特征值，φ*是相應的特征函數(shù)且在Ω上φ*>0.

從而u是問題(Pλ′)的正的上解.另一方面，φ*是(Pλ′)的正的下解.由上下解方法可知，問題(Pλ′)存在解w，使得φ*≤w≤u.這與引理2(ⅱ)矛盾.即問題(Pλ′λ′)不存在正解.再由引理4可知，集合Λ有界.證畢.

證明：對于每個s>0，我們考慮線段

由引理4和引理5，對于每個固定的s，曲線Ls(λ)是非空有界的.

定義

對于任意的(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈O1，設k*=min{λ1，λ2，μ1，μ2}.由引理4可知，(k*，k*)∈O1，我們可以在O1中分別建立從(k*，k*)到(λ1，μ1)和從(k*，k*)到(λ2，μ2)的兩條路徑.因此O1是連通的.此外，由引理3，對于(λ，μ)∈O1，問題存在正的最小解(uλ，vμ).

對于任意的(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈O2，設k*=max{λ1，λ2，μ1，μ2}.由引理4可知，(k*，k*)∈O2，我們可以建立O2中的兩條路徑，分別從(k*，k*)到(λ1，μ1)和從(k*，k*)到(λ2，μ2).由此可知O2是連通的.證畢.

接下來，由定理1、引理3及引理5的證明，我們很容易獲得臨界曲線的上下界估計.這些估計只依賴于f、g、p、q以及Ω和BR上相應特征值問題的第一特征值，即：

定理2假設條件(H)成立，則

(0，λ*]×(0，λ*]?O1?(0，λ*]×(0，μ*]，

其中λ*由式(1)定義，λ*是問題(Pλ)的第一特征值，μ*是如下特征值問題

的第一特征值.

2 解的序和參數(shù)的序之間的關系

在這一節(jié)中，我們將給出解的序和參數(shù)的序之間的關系.

定理3假設條件(H)成立.設(λ，μ)∈O1，(u，v)是問題(Pλμ)的一對正解.則

(ⅰ)若λ≥μ且f≥g>0，x∈Ω，則ku≤v≤u，x∈Ω，其中

(ⅱ)若u≥v且g≥f，x∈Ω，則λ≥μ.

證明：(ⅰ)定義

將問題中的兩個方程做差，所得等式兩端同乘(u-v)-并在Ω-上積分，我們有

因此，Ω-=?，即v≤u，x∈Ω.

由引理1可知，ku≤v，x∈Ω.

(2)

由引理1可知，u≤v，x∈Ω，即u=v，x∈Ω.

矛盾，即λ≥μ.證畢.