函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中賦值確定參數(shù)范圍后的處理策略

曹鳳山, 朱偉義

(1.余杭區(qū)教育發(fā)展研究學(xué)院，浙江 杭州 311100； 2.浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，浙江 金華321004)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中確定參數(shù)范圍是常見的問題形式.從“數(shù)學(xué)的原點(diǎn)”看，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題中往往涉及一些特殊點(diǎn)(極值點(diǎn)、端點(diǎn)、零點(diǎn)等)，如果能充分利用這些點(diǎn)，通過賦值，得到參數(shù)的取值范圍，往往可以優(yōu)化問題求解.但賦值法只是確定范圍的必要條件，不是充要條件，還要證明充分性，賦值得到的范圍并不一定是問題的解，賦值后還有不少問題需要解決.本文結(jié)合具體案例，給出賦值后的一些處理策略，供讀者參考.

1 賦值后得到參數(shù)單個(gè)值，然后證明充分性

如果可以判斷某個(gè)點(diǎn)為極值點(diǎn)，那么可以利用函數(shù)取極值的必要條件建立關(guān)系式，求出參數(shù)值，然后證明充分性.極值點(diǎn)的判斷要根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)，如指數(shù)函數(shù)要關(guān)注“0”，對數(shù)函數(shù)關(guān)注“1”，代數(shù)形式需留意其零點(diǎn)等.

例1已知函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

2)若g(x)≥2+ax，求a.

(2021年“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)試題第22題)

p(x)≤p(0)=1.

綜上所述，f(x)≥0.

2)若g(x)≥2+ax，則

ex+sinx+cosx-2-ax≥0.

令h(x)=ex+sinx+cosx-2-ax,觀察該函數(shù)的特點(diǎn)可知h(0)=0，又h(x)≥0，從而x=0是函數(shù)h(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).

由h′(x)=ex+cosx-sinx-a，得

h′(0)=2-a=0，

于是

a=2.

下面證明充分性.當(dāng)a=2時(shí)，

h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，

從而

h″(x)=ex-cosx-sinx.

故h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x≥0成立.

2 賦值后得到參數(shù)范圍，化為單值檢驗(yàn)問題

有些極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)賦值后得到的不是參數(shù)的單個(gè)值，而是一個(gè)范圍，要檢驗(yàn)充分性很煩瑣.若能轉(zhuǎn)化為單值,則簡單很多.

例2已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

(2020年全國高考數(shù)學(xué)山東卷理科試題第21題)

分析1)略.

2)取x=1，則a+lna≥1.令函數(shù)g(x)=x+lnx，因?yàn)間(x)單調(diào)遞增，且

g(1)=1，

所以

a≥1.

關(guān)于a的函數(shù)h(a)=aex-1-lnx+lna是增函數(shù)，只要證明

h(1)=ex-1-lnx≥1，

即證

于是f(x)≥1，故a的取值范圍為[1,+∞).

3 賦值得到參數(shù)值，然后逐步調(diào)整，再檢驗(yàn)

有些賦值不是函數(shù)的極值點(diǎn)，也不是區(qū)間端點(diǎn)，賦值只能得到一個(gè)相對壓縮的范圍，檢驗(yàn)時(shí)就需要十分仔細(xì).

例3已知函數(shù)h(x)=(x2-2x)lnx-a(x2+2x)(其中a∈R).

1)若a為整數(shù)，且h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，求a的最大值；

(2021年浙江省新高考聯(lián)盟數(shù)學(xué)聯(lián)考試題第22題)

分析1)根據(jù)函數(shù)h(x)的特點(diǎn)，容易想到當(dāng)x=1時(shí),h(1)=-3a≥0，故a≤0.a=0是最大值嗎？

當(dāng)a=0時(shí)，h(x)=(x2-2x)lnx，當(dāng)1

仔細(xì)分析可知：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)h(x)=(x2-2x)lnx，雖然在(0,+∞)上h(x)≥0不成立，但是只有當(dāng)1

當(dāng)a=-1時(shí)，

h(x)=(x2-2x)lnx+(x2+2x)

h(x)≥0.

綜合以上討論可知：當(dāng)a=-1時(shí)，h(x)≥0.這里，先賦值然后根據(jù)具體情況微調(diào)，得到參數(shù)的值.

2)由題意可知

H′(x)=2[(x-1)lnx-a(x+1)]=0，

得

要證明x2>(2a+1)x1，只要證明

記g(x)=(x+1)2-2lnx(其中x>1)，則

故

g(x)>g(1)>0.

4 賦值后轉(zhuǎn)換主元，再檢驗(yàn)

賦值后若得到的是參數(shù)的取值范圍，又不能轉(zhuǎn)化為單值檢驗(yàn)，則可以轉(zhuǎn)換主元，看成參數(shù)的函數(shù)，從而完成充分性的證明.

(注：e=2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù).)

(2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

(1)

這里不能用區(qū)間端點(diǎn)證明.

式(1)左邊可以看成關(guān)于x的函數(shù)，也可以看成關(guān)于a的函數(shù).

也可以轉(zhuǎn)化為

(2)

式(2)開口方向是確定的.我們選擇式(2)作為研究對象，函數(shù)模型最熟悉，形式相對簡單.

故

p(x)≥p(1)=0，

于是

由以上案例可以看出，賦值確實(shí)是求解一些函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題不錯的選擇，但是賦什么值、賦值后如何處理還是有不少值得探究的，不能一概而論、一賦了之.“回歸數(shù)學(xué)原點(diǎn)”“回歸問題原點(diǎn)”“具體問題具體分析”仍然是解題的不二法門.