源于直覺 啟于思維 成于極限
——以“圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積”為例

翟洪亮

(太湖高級(jí)中學(xué)，江蘇 無錫 214125)

1 問題提出

自2021年起江蘇省高考采用全國卷，在教材使用上，蘇州市和無錫市從2021年秋開始率先選用人教A版普通高中《數(shù)學(xué)》(以下簡(jiǎn)稱人教A版新教材)．人教A版新教材與蘇教版新教材在立體幾何初步的編排上存在明顯差異，蘇教版新教材和原教材相比基本沒變，人教A版新教材分為兩大單元：一是空間幾何體單元；二是位置關(guān)系單元．空間幾何體單元包含簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積，并按幾何體的形狀分為：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積；圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積．位置關(guān)系單元包含空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；空間直線、平面的平行；空間直線、平面的垂直[1]．這樣編排打破了原來以線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系等空間集合間的關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)，重新以平行和垂直劃分作為兩大體系．

這種標(biāo)新立異的編排，有合理的一面，如位置關(guān)系分為平行與垂直兩大體系就顯得相對(duì)集中；也存在值得商榷之處，如對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積重新組合，在沒有學(xué)習(xí)垂直的前提下進(jìn)行體積教學(xué)，只能通過標(biāo)注的形式給出棱臺(tái)的高.特別是在圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積中，一是直接給出圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式，顯得有些雜亂，不能較好地體現(xiàn)它們側(cè)面積間的內(nèi)在聯(lián)系；二是直接給出球的表面積公式，再推出球的體積公式，顯得有些突兀．筆者在圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積的教學(xué)中對(duì)教材進(jìn)行簡(jiǎn)單整合，凸顯極限思想的運(yùn)用.現(xiàn)將教學(xué)過程整理如下，請(qǐng)同行批評(píng)指正．

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 更新視角，凸顯極限思想本質(zhì)

師：前面我們學(xué)習(xí)了棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積，今天我們一起學(xué)習(xí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積.首先請(qǐng)大家思考：

問題1半徑為r、母線長(zhǎng)為l的圓柱的側(cè)面積公式是什么？

沿著圓柱的任一母線將其側(cè)面展開，可得長(zhǎng)為圓柱底面周長(zhǎng)、寬為母線長(zhǎng)的一個(gè)矩形，故半徑為r、母線長(zhǎng)為l的圓柱的側(cè)面積公式是S圓柱側(cè)=2πrl．

問題2半徑為r、弧長(zhǎng)為l的扇形面積公式是什么？你是如何記憶的？

師：你是怎么想到的？

生1：由公式的形式想到的，特別是當(dāng)扇形弧長(zhǎng)很短時(shí)，當(dāng)作等腰三角形就更直觀了.

圖1

師：這就是數(shù)學(xué)的直覺！如圖1，我們把扇形AOB分成n份，當(dāng)n越大時(shí)，每一份所對(duì)應(yīng)的圓弧可近似地視為線段，每一個(gè)小扇形可以近似地看成一個(gè)以半徑為腰、弧長(zhǎng)為底的等腰三角形，它們的高都為半徑r，于是可得扇形的面積

通過極限分割的方法達(dá)到化曲為直的目的,故可把扇形直觀地視為“等腰三角形”來記憶它的面積．

問題3底面半徑為r、母線長(zhǎng)為l的圓錐的側(cè)面積公式是什么？

如圖2，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為l、弧長(zhǎng)為2πr的扇形，故

圖2 圖3

2.2 運(yùn)用視角，理解記憶圓臺(tái)公式

問題4下底面半徑為r、上底面半徑為r′、母線長(zhǎng)為l的圓臺(tái)的側(cè)面積公式是什么？

如圖3，設(shè)小圓錐的母線長(zhǎng)為x，則

從而圓臺(tái)的側(cè)面積為兩個(gè)圓錐側(cè)面積之差，即

由相似三角形知識(shí)可得

即

從而

(c-c′)x=c′l，

問題5如何記憶和理解圓臺(tái)的側(cè)面積公式？

既然可以把扇形視為“等腰三角形”來記憶它的面積公式，那么圓臺(tái)的側(cè)面展開圖就可視為由大的“等腰三角形”截去一個(gè)小的“等腰三角形”所形成的“等腰梯形”，因此可以用梯形的面積公式來記憶圓臺(tái)的側(cè)面積公式，其中“梯形”的上底邊長(zhǎng)為圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)c′，下底邊長(zhǎng)為圓臺(tái)的下底面周長(zhǎng)c，高為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l，即

設(shè)計(jì)意圖從扇形面積公式出發(fā)，聯(lián)想到三角形的面積公式，通過極限分割化曲為直，從而直觀地理解把扇形抽象為“等腰三角形”的可行性根源所在，快速理解和推導(dǎo)圓臺(tái)的側(cè)面積公式．

2.3 利用極限，構(gòu)建面積公式體系

問題6圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積之間有什么關(guān)系？你能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？

根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，與記憶棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式一樣，也從中間狀態(tài)——圓臺(tái)出發(fā)，擴(kuò)大圓臺(tái)的上底面，圓臺(tái)可以變成圓柱；將圓臺(tái)的上底面縮小成一個(gè)點(diǎn)，圓臺(tái)可以變成圓錐．故將圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別加上它們的底面積可得它們的表面積．

設(shè)計(jì)意圖類比棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式，從中間狀態(tài)——圓臺(tái)出發(fā)，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積之間的公式體系．

2.4 借助棱臺(tái)，構(gòu)建體積公式體系

問題8圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積之間有什么關(guān)系？你能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？

根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，同樣可得

特別地，對(duì)于正n棱柱、正n棱錐、正n棱臺(tái)，當(dāng)n越大時(shí)，

設(shè)計(jì)意圖從棱臺(tái)的體積公式出發(fā)，可聯(lián)想到特殊的正棱臺(tái)的體積公式，再利用極限思想從正n棱臺(tái)的體積公式巧妙過渡到圓臺(tái)的體積公式，結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，再次認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐的體積公式之間的聯(lián)系，結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式，得到柱、錐、臺(tái)的體積公式間的內(nèi)在聯(lián)系，加深對(duì)祖暅原理的理解和認(rèn)識(shí)．

2.5 實(shí)驗(yàn)建模，推導(dǎo)球的體積公式

圖4

由上述實(shí)驗(yàn)可知，半球的體積恰為圓柱的體積與圓錐的體積之差，從而引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)祖暅原理設(shè)計(jì)推導(dǎo)球的體積公式的數(shù)學(xué)模型．如圖4所示，根據(jù)半球的放置方式，若用平行于半球底面的平面去截半球，則上端是半徑為R的圓面，下端是半球的頂點(diǎn)，從而讓學(xué)生自然想到將圓錐放入圓柱內(nèi)，用膠水將圓錐的底與圓柱的底面粘得密閉后，向半球和該模型內(nèi)注入水.若二者的水深度都為h時(shí)，則半球中水面的面積為

S=π[R2-(R-h)2]，

模型內(nèi)圓環(huán)中水面的面積也為

S=π[R2-(R-h)2].

根據(jù)祖暅原理可知

從而

把球的表面分割成n個(gè)小網(wǎng)格,面積分別記為S1，S2，…，Sn，它們與球心構(gòu)成n個(gè)“小錐體”，當(dāng)n越大時(shí)，每個(gè)“小錐體”的底面就越平，從而每個(gè)“小錐體”的高均為R，故

則

S球=4πR2．

設(shè)計(jì)意圖在小學(xué)階段,由圓柱的體積公式推導(dǎo)圓錐的體積公式是通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行的，故本節(jié)課從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，更貼近學(xué)生實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式，再通過極限分割的思想方法推導(dǎo)球的表面積公式，顯得較為自然．

2.6 講解例題，體現(xiàn)新知應(yīng)用價(jià)值

圖5

問題10某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3 m，圓柱高0.6 m.如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么給1 000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料(π取3.14)?

問題11如圖5，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比．

設(shè)計(jì)意圖繼續(xù)強(qiáng)化所學(xué)公式，解決實(shí)際問題，體現(xiàn)新知的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．

3 課后思考

3.1 數(shù)學(xué)教學(xué)要注重自己的理解

數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容[2].任何版本的新教材都很難做到完美無缺，還需在使用過程中廣泛聽取使用者的意見和修改建議，反復(fù)修訂才能日趨完善，因此數(shù)學(xué)教學(xué)是“用教材教”而不是“教教材”，這需要數(shù)學(xué)教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)和自身理解，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一定的整合，創(chuàng)造性地開展教學(xué)．在本節(jié)課中，盡管教材直接給出了表面積公式，這“淹沒”了圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，需要教師以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)重新去“發(fā)掘”；對(duì)于圓臺(tái)側(cè)面積公式的理解與記憶，需要教師“點(diǎn)破”能以梯形面積公式加以理解和記憶的原因所在．所有這些只能建立在教師自己理解的基礎(chǔ)之上，彰顯個(gè)人的教學(xué)特色[3]．

3.2 數(shù)學(xué)教學(xué)要突出思想的滲透

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅傳授知識(shí)內(nèi)容，還要以知識(shí)內(nèi)容為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透．在本節(jié)課教學(xué)中除了進(jìn)行數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的滲透外，還要注重?cái)?shù)學(xué)極限思想方法的滲透.為了便于學(xué)生理解和記憶扇形面積公式，通過極限分割的方法尋找可以視“小扇形”為“等腰三角形”的合理性根源所在，從而用三角形的面積公式來記憶扇形的面積公式，在此基礎(chǔ)上，將“扇環(huán)”視為“等腰梯形”，快速理解和記憶圓臺(tái)的側(cè)面積公式，并通過運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，構(gòu)建圓臺(tái)與圓柱、圓臺(tái)與圓錐的側(cè)面積之間的聯(lián)系．為了不直接給出球的表面積公式，在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式，再用極限分割的方法推導(dǎo)球的表面積公式，這樣設(shè)計(jì)使教學(xué)內(nèi)容顯得自然，學(xué)生在不知不覺中接受數(shù)學(xué)思想方法的熏陶．

3.3 數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)的提升

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是新一輪課程改革的主要任務(wù)，教學(xué)設(shè)計(jì)要把提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)[4]．在新知的探究過程中，可發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力；在構(gòu)建新知體系的過程中，可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)想象能力；在新知的運(yùn)用過程中，可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析能力．如本節(jié)課中，源于直觀可將扇形抽象成“等腰三角形”模型是本課的出發(fā)點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)貫穿于整個(gè)教學(xué)之中，通過問題串的形式，啟迪學(xué)生進(jìn)行思考，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知的探索，加強(qiáng)師生間數(shù)學(xué)思想的交流，以達(dá)到“春風(fēng)化雨，潤物無聲”的效果．