一類二次型遞推數(shù)列中的“倒數(shù)法”
——從2022年浙江卷第10題說起

熊煥煥， 顧予恒

(杭州第二中學錢江學校,浙江 杭州 311215)

2022年的高考大幕已經(jīng)落下，浙江省數(shù)學高考試題(以下簡稱浙江卷)這一座大山依然壓著考生們喘不過氣來,它仍然保持著高難度、高計算量的特點.在近幾年的浙江省數(shù)學高考中，數(shù)列一直作為選擇題壓軸,可見數(shù)列的地位在浙江卷中不可撼動.2022年浙江卷第10題以一類特殊的二次型遞推數(shù)列為背景,考查了數(shù)列的放縮.本文著重從這一類特殊的數(shù)列出發(fā),探索求解此類問題的通性通法.

1 回歸課本，不忘初心

筆者翻閱了人教A版高中《數(shù)學(必修2)》發(fā)現(xiàn)，教材著重強調(diào)等差(等比)數(shù)列的概念、通項公式以及求和公式.粗粗一看，本題和課本內(nèi)容幾乎沒有關聯(lián)，實則不然，它們之間內(nèi)有乾坤.下面進行詳細闡述.

一般地，累加法適用于形如an+1-an=f(n)的數(shù)列問題，其中式子左邊的次數(shù)都是一次，且結構又是差型，右式是可相加的.

2 尋找本質(zhì)，追根溯源

方法1(直接取倒數(shù))

3 細品高考，真題分析

( )

(2022年浙江省數(shù)學高考試題第10題)

一方面，因為

累加得

從而

于是

另一方面，因為

又

=ln(n+1),

于是

評注本題是一道考查一類特殊的二次遞推型通項放縮的好題，需要學生對數(shù)列的概念、單調(diào)性與遞推關系等基礎知識都了解，考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算與邏輯推理等素養(yǎng).本題通過“倒數(shù)法”把原式變形為倒數(shù)齊次式，然后利用累加法進行放縮.

4 例題研究，深入剖析

(2015年浙江省數(shù)學高考理科試題第20題)

1)證明利用方法1，直接取倒數(shù)，化簡得

利用方法2,相除取倒數(shù),化簡得

因此

且

從而

an>0,

于是

故

Sn=a1-an+1.

即

代入得

評注我們驚訝地發(fā)現(xiàn)例1與例2高度相似.師生不應該只停留于做題，而應從做這一題看到其背后的一類題，總結歸納這一系列題目的核心思想方法.

解根據(jù)方法1,直接取倒數(shù),得

累加可得

評注由例2和例3可以發(fā)現(xiàn)：兩種方法雖然殊途同歸，但是在解決具體題目時還應該具體分析.對例2來說，方法2較為簡單；對于例3，方法1會更為快捷，因此遇到各類題目應采用不同的策略，從而使得解題效率達到最高.

5 潛心鉆研，櫟陽雨金

筆者認為對于復雜的高考題也應該追根溯源，不忘初心，回歸教材.針對這一類特殊的二次遞推型數(shù)列，我們只需要真正了解累加模型的結構特征，針對不同的題目應用與之對應的方法，對其累加之后,進行合理放縮就可以快速解決這一類問題.