用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法探究圓中的幾何性質(zhì)

錢秋平 （南京市第二十九中學(xué)幕府山初級中學(xué)，江蘇 南京 210000）

一、數(shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用，帶著普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想.

在學(xué)生認(rèn)知水平和已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、交流等方式來發(fā)現(xiàn)和歸納幾何圖形的共性特征，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念.通過猜想得出特殊幾何圖形的性質(zhì)，然后利用已有的知識理論證明、驗(yàn)證自己的猜想，從而得出一般幾何圖形的共性特征.從“一般”出發(fā)，發(fā)現(xiàn)其共性的性質(zhì)，并以一般為依據(jù)，探究特殊幾何圖形的個性特征，從而感受“一般與特殊”之間的聯(lián)系.

圓是中學(xué)數(shù)學(xué)中研究的第一個曲線類幾何圖形，“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)方法是轉(zhuǎn)化思想方法中的一種，是探究圓中幾何性質(zhì)的重要數(shù)學(xué)思想方法之一.在研究圓中的問題時，運(yùn)用特殊化、具體化的方法，總結(jié)出一般性的結(jié)論，并用已有的理論知識去驗(yàn)證一般性的結(jié)論，可以幫助學(xué)生降低問題的難度，從而找到解決問題的方法.

二、用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法探究圓中的幾何性質(zhì)

1.圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半

在圓中，同弧所對的圓心角只有一個，而同弧所對的圓周角卻有無數(shù)個，在探究同弧所對的圓心角和圓周角兩者之間的數(shù)量關(guān)系時，可將同弧所對的無數(shù)個圓周角和圓心之間的位置關(guān)系分為如圖1 所示的三類情形：圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角的內(nèi)部和圓心在圓周角的外部.

圖1

回到情形一的特殊位置關(guān)系，當(dāng)圓心角是等腰三角形的一個外角時，易得兩者之間的數(shù)量關(guān)系，故在情形二和情形三中，通過添加輔助線：連接AO 并延長交⊙O 于點(diǎn)D，構(gòu)造圓心角是等腰三角形頂角的一個外角.

如圖2，當(dāng)圓心在圓周角的內(nèi)部時，連接AO，并延長交⊙O 于點(diǎn)D，

圖2

如圖3，當(dāng)圓心在圓周角的外部時，連接AO，并延長交⊙O 于點(diǎn)D，

圖3

綜上所述，圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.

在探究圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半的過程中，先通過對“圓心在圓周角的一邊上”這一特殊情形的探究，得出一般情形下的猜想，再對其余兩種情形進(jìn)行演繹推理.在這個過程中，通過添加輔助線，在一般情形中構(gòu)造特殊情形時的基本圖形，借助特殊圖形的結(jié)論去驗(yàn)證猜想.

2.圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)

如圖4，在⊙O 的內(nèi)接四邊形ABCD 中，∠A 與∠C、∠ADC 與∠ABC 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖4

一組對角∠A 和∠C 是弦BD 所對的一組圓周角，從特殊情形考慮，當(dāng)弦BD 是一條直徑時，如圖5，直徑BD 所對的兩個圓周角∠A ＝∠C ＝90°，所以∠A+∠C ＝180°.再由四邊形ABCD 的內(nèi)角和為360°，得∠ADC+∠ABC ＝360°-（∠A+∠C）＝180°.因此，可以猜想：圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

圖5

或者從特殊情形∠A 為直角考慮，則弦BD 是直徑，所以∠C 為直角，故∠A+∠C ＝180°.再由四邊形ABCD 的內(nèi)角和為360°，得∠ADC+∠ABC ＝360°-（∠A+∠C）＝180°.因此，也可以猜想：圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

如圖6，在一般情形中，通過連接DO 并延長交⊙O 于點(diǎn)E，構(gòu)造直徑DE，將一般情形下的圓周角∠DAB 和∠DCB轉(zhuǎn)化成直徑DE 所對的90°的圓周角∠DAE 和∠DCE，

圖6

此時，∠DAE+∠DCE＝180°，

即∠DAB+∠BAE+∠DCB-∠ECB＝180°.

又∵∠BAE＝∠ECB，

∴∠DAB+∠DCB＝180°，

∴在四邊形ABCD 中，有

∠ADC+∠ABC＝360°-（∠DAB+∠DCB）＝180°.

因此，圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

在探究圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的過程中，先通過直徑所對的圓周角為直角的結(jié)論，特殊化這一組對角，得出一般情形下的猜想.在推理證明過程中，根據(jù)特殊情形的基本圖形特征，通過構(gòu)造直徑，將一般情形下的一對圓周角轉(zhuǎn)化為直徑所對的圓周角，從而驗(yàn)證猜想.

3.對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形的對邊平方和等于一個定值

如圖7，⊙O 的半徑為R，在⊙O 的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，則AB+CD＝________，AD+BC＝________，AB+CD＝AD+BC＝________.（用含R 的代數(shù)式表示）

⊙O 的內(nèi)接四邊形ABCD 的對角線是相互垂直的兩條弦，當(dāng)這兩條弦特殊化為兩條直徑時，四邊形ABCD 為如圖8 的正方形ABCD，此時，AB＝CD＝AD＝BC＝OA+OB＝2R，所以AB+CD＝AD+BC＝4R.因此，可以猜想：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形的對邊平方和相等，且等于4R.

如圖7，邊AB 和邊CD 是兩個直角三角形的斜邊，想要得到AB+CD＝4R，則需要重新構(gòu)造直角三角形，使得邊AB 或邊CD 是直角邊，由圖8 可知，可以通過將弦特殊化，構(gòu)造直徑，得到直徑所對的圓周角為直角，從而將圓內(nèi)接四邊形的邊放到直角三角形里.

圖7

圖8

如圖9，連接CO，并延長交⊙O 于點(diǎn)E，連接DE，則

圖9

在Rt△CDE 中，∠CDE＝90°，

有DE+CD＝CE，

∴DE+CD＝4R，

且∠E+∠ECD＝90°.

勿忘初心，平臺建設(shè)的目的是更好的進(jìn)行人才培養(yǎng)，提高實(shí)驗(yàn)教學(xué)質(zhì)量。實(shí)體實(shí)驗(yàn)?zāi)苠憻拰W(xué)生各方面的能力，這是仿真實(shí)驗(yàn)無法達(dá)到的。除了高危、極端環(huán)境、不可及、不可逆操作、高成本高消耗、大型或綜合訓(xùn)練類的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目外，其他常規(guī)實(shí)驗(yàn)都應(yīng)以實(shí)體實(shí)驗(yàn)形式進(jìn)行。深刻理解“虛實(shí)結(jié)合、相互補(bǔ)充、能實(shí)不虛”三原則，以人才培養(yǎng)為綱，規(guī)劃研發(fā)仿真實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。

又AC⊥BD，

∴∠CBD+∠BCA＝90°.

∵∠E＝∠CBD，

∴∠ECD＝∠BCA.

又∵∠EOD＝2∠ECD，∠BOA＝2∠BCA，

∴∠EOD＝∠BOA，

∴DE＝AB，

∴AB+CD＝4R.

同理，AD+BC＝4R，

∴AB+CD＝AD+BC＝4R.

在探究對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形的對邊平方和等于一個定值的過程中，先通過兩條相互垂直的直徑得到圓內(nèi)接四邊形的對邊平方和等于4R的結(jié)論，從而得出一般情形下的猜想.在推理證明的過程中，通過作直徑，構(gòu)造特殊情形時的基本圖形特征，將圓內(nèi)接四邊形的邊轉(zhuǎn)化為直角三角形的直角邊，得到兩邊平方和等于4R.再通過等量代換，可以得到對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形的對邊的平方和等于4R.

三、在一般情形中，構(gòu)造特殊情形下的基本圖形模塊

當(dāng)利用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法探究幾何圖形的基本性質(zhì)時，我們不僅可以利用特殊情形下的結(jié)論作為一般情形下的猜想，還可以在一般情形中，構(gòu)造特殊情形下的基本圖形去驗(yàn)證猜想.

在探索圓的幾何性質(zhì)的過程中，根據(jù)已知圖形中的邊、角屬性，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造特殊圖形，這是解決圓中一類問題的一個有效的方法.但有時會發(fā)現(xiàn)很難將圖形中的已知條件建立聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生對在圓中添加適當(dāng)?shù)妮o助線感到無助.此時，我們可以指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會基于對幾何圖形特征的深入觀察和分析，通過對特殊情形中的幾何圖形進(jìn)行研究，形成大膽的猜想，并以特殊情形中的基本圖形作為構(gòu)造輔助線的一個方法，然后進(jìn)行推理論證，體現(xiàn)了幾何模型思想的應(yīng)用.

四、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法在課堂教學(xué)中的滲透

數(shù)學(xué)思想方法不同于具體的數(shù)學(xué)知識，它往往隱藏于數(shù)學(xué)知識的生成和應(yīng)用的過程中.數(shù)學(xué)思想的體驗(yàn)和領(lǐng)悟，要以數(shù)學(xué)知識為載體，經(jīng)歷分析、解決問題的過程，逐漸成為一種培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的方法.在教學(xué)過程中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動過程中潛移默化地體驗(yàn)、感受知識生成過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

數(shù)學(xué)來源于生活，在教學(xué)中，教師可以把學(xué)生熟悉的、了解的、感興趣的生活事例搬進(jìn)數(shù)學(xué)課堂.在對實(shí)際情境問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過程中，讓學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、猜想、論證、概括，看到知識形成的過程及其中蘊(yùn)涵的思想.如此，學(xué)生在課堂上所獲得的知識就是自己的，并且是可遷移的、可發(fā)散的.教師要將數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)過程中顯化，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而使他們對數(shù)學(xué)思想方法的感悟得到提高.

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的獲取、理解和應(yīng)用不是一蹴而就的，而是在不同階段，從不同角度逐步認(rèn)識、加強(qiáng)理解的一個反復(fù)的過程.所以，教師可以針對相應(yīng)的知識塊、一節(jié)課，或單元的章節(jié)復(fù)習(xí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的過程性滲透，從而使學(xué)生在不斷拓展中逐步感悟數(shù)學(xué)思想方法，并且加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識.教師還可以有意識地培養(yǎng)學(xué)生的自我分析、自我提煉以及自我概括數(shù)學(xué)思想方法的能力，幫助學(xué)生逐步建立起自己的數(shù)學(xué)思想方法體系.

數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與研究，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用能有效指導(dǎo)我們更好地研究數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題，因此在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中、在問題探究中、在例題分析中，我們應(yīng)該有意識、有目的地將數(shù)學(xué)思想方法滲透到數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維策略，使學(xué)生進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，才能真正深入透徹地理解與掌握數(shù)學(xué)知識.