課程思政融入“高等數(shù)學(xué)”的案例研究
——以求函數(shù)的極值和最值為例

黎 玲 （梧州職業(yè)學(xué)院，廣西 梧州 543002）

一、前 言

自2004 年以來，國家先后出臺了一系列關(guān)于思想道德建設(shè)和大學(xué)生思想政治教育工作的文件，上海以此為契機開啟了學(xué)校思想政治教育課程改革的探索之路，并于2014 年提出了“課程思政”的理念.2020 年在教育部關(guān)于印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》的通知中指出：專業(yè)課程是課程思政建設(shè)的基本載體.要深入梳理專業(yè)課教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合不同課程特點、思維方法和價值理念，深入挖掘課程思政元素，有機融入課程教學(xué)，達(dá)到潤物無聲的育人效果.理學(xué)類專業(yè)課程，要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)理論的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感.

“高等數(shù)學(xué)”是高職院校面向理工類專業(yè)和經(jīng)管類專業(yè)開設(shè)的一門公共基礎(chǔ)課程，以“服務(wù)專業(yè)、服務(wù)學(xué)生素質(zhì)教學(xué)、服務(wù)學(xué)生職業(yè)發(fā)展”為宗旨，以“夠用為度、應(yīng)用為主”的教學(xué)理念實施教學(xué).該門課程除數(shù)學(xué)知識外，還包含豐富的文化資源和歷史底蘊，具有強大的育人功能，是培養(yǎng)學(xué)生立德樹人非常有效的載體，在專業(yè)人才培養(yǎng)方面具有重要的地位和作用.如何充分挖掘課程所蘊含的思想政治教育元素，將思政教育貫穿在教育教學(xué)全過程，是當(dāng)前的一個難點，本文以求函數(shù)的極值和最值為例，將知識點和思政教育結(jié)合進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，以推動課程思政的教學(xué)實踐.

二、教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)目的

1.知識目的

理解函數(shù)極值點、極值和最值的概念；掌握求函數(shù)極值和最值的方法.

2.思政育人目標(biāo)

（1）通過學(xué)習(xí)習(xí)近平“綠水青山就是金山銀山”的理論，使學(xué)生意識到生態(tài)環(huán)保的重要性，并明確這是習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想中生態(tài)文明思想的重要內(nèi)容；

（2）通過對黨員數(shù)學(xué)家華羅庚的簡單介紹，讓其思想觀點，嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、努力拼搏的精神，追求真理、愛黨愛國的事跡對學(xué)生的個人道德意識及品行產(chǎn)生積極的影響，熏陶并提升學(xué)生的思想品格；

（3）使學(xué)生理解掌握大前提條件、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法，局部與整體、變化過程與變化結(jié)果的辯證對立統(tǒng)一的思想方法與思維方法；

（4）極值點的多值性，可以使學(xué)生客觀全面地看問題，不以個人偏見片面地評價事物；

（5）利用函數(shù)的極大值不一定比極小值大，可以培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀，使學(xué)生明白任何事情都沒有絕對的好與壞之分；

（6）人生之路并不是像一條直線一樣，一帆風(fēng)順，而是一條有波峰和波谷的曲線，培養(yǎng)學(xué)生積極樂觀的生活態(tài)度.

（二）教學(xué)重點

函數(shù)的極值和極值點的概念，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值和最值.

（三）教學(xué)難點

函數(shù)的極值和極值點的概念，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值和最值.

（四）教學(xué)過程

1.引入

首先，教師向?qū)W生展示三張圖片，第一張是習(xí)近平于2005 年8 月15 日在浙江湖州安吉考察時提出“綠水青山就是金山銀山”的科學(xué)論斷；第二張是“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷在2017 年10 月18 日寫入中共十九大報告；第三張是2021 年4 月25 日，習(xí)近平到桂林市陽朔縣漓江楊堤碼頭考察，并指出桂林是一座山水甲天下的旅游名城，這是大自然賜予中華民族的一塊寶地，一定要呵護(hù)好.其次，教師將桂林的山抽象出來，得到一條連續(xù)不斷的曲線，并指出山頂就是極大值，山谷就是極小值，從而引出要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值.

課程思政元素：（1）讓學(xué)生懂得“綠水青山就是金山銀山” 是指導(dǎo)中國生態(tài)文明建設(shè)的主要理論，該理論是習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想中生態(tài)文明思想的重要內(nèi)容；（2）讓學(xué)生意識到生態(tài)環(huán)保的重要性；（3）使學(xué)生掌握從具體到抽象的轉(zhuǎn)換思想.

2.函數(shù)的極值和極值點的概念

首先，給出極值的數(shù)學(xué)定義：設(shè)函數(shù)（）在點的某鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任一點（≠），都有：

（1）若（）＜（），則稱（）為函數(shù)的極大值，稱為極大值點；

（2）若（）＞（），則稱（）為函數(shù)的極小值，稱為極小值點.

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.

結(jié)合課件中的曲線，指出，，是極大值點，它們所對應(yīng)的函數(shù)值（），（），（）是極大值；，是極小值點，它們所對應(yīng)的函數(shù)值（），（）是極小值.

其次，教師向?qū)W生說明如下知識點：

（1）極大和極小只具有局部的意義，因為函數(shù)的一個極值只是它在某一點附近的小范圍內(nèi)的極大值或極小值；

（2）函數(shù)在其整個定義域內(nèi)可能有許多極大值或極小值，比如課件中的曲線就有3 個極大值，2 個極小值；

（3）極大值可能會小于極小值，比如曲線中的極大值（）小于極小值（）.

再次，教師將這條具有多個極值的曲線比為一段曲折的人生，指出極大值就是人生的巔峰，極小值就是人生的低谷，起起落落是必經(jīng)之路，是成長的過程.

最后，由2021 年是建黨一百周年，引出我國有著跌宕起伏的一生的著名黨員數(shù)學(xué)家——華羅庚，隨后講述華羅庚努力拼搏、甘于奉獻(xiàn)、愛國愛黨的故事.

課程思政元素：（1）使學(xué)生理解掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）使學(xué)生潛移默化地被華羅庚為探索真理而勤奮艱苦的意志品質(zhì)所熏陶；（3）學(xué)習(xí)華羅庚為了祖國的事業(yè)而放棄國外的優(yōu)等待遇的愛國精神；（4）學(xué)習(xí)華羅庚堅定入黨的決心和百折不撓的意志.

3.函數(shù)的極值和極值點的判斷

首先，教師結(jié)合圖像，一邊演示動畫，一邊給出求極值和極值點的步驟：

（1）確定函數(shù)的定義域，這是一個大前提條件；

（2）找分界點，求出一階導(dǎo)數(shù)（）以及在定義域內(nèi)的所有駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點；

（3）分析上述所求各點附近的導(dǎo)數(shù)符號情況，并填寫在表格中；

（1）確定函數(shù)的定義域≠0；

（3）利用分界點劃分定義域，得到4 個開區(qū)間，并和分界點一起從小到大寫在表格的第一行；然后判斷在每個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號，并寫在第二行中；導(dǎo)數(shù)是正的，則函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)數(shù)是負(fù)的，則函數(shù)單調(diào)遞減，并寫在第三行對應(yīng)的格子中；

（4）先增后降則為極大值，先降后增則為極小值，這些結(jié)果寫在第三行中，并指出這里的極大值是比極小值小的.

表1 極值和極值點的判斷

然后下結(jié)論：函數(shù)的極大值點為＝-1，極小值點為＝1；極大值為（-1）＝-2，極小值為（1）＝2.

課程思政元素：（1）使學(xué)生理解大前提條件、變化過程與變化結(jié)果的辯證對立統(tǒng)一的思想方法與思維方法；（2）利用極值點的多值性，可以使學(xué)生客觀全面地看問題，不以個人偏見片面地評價事物；（3）利用函數(shù)的極大值不一定比極小值大，可以培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀，使學(xué)生明白任何事情都沒有絕對的好與壞之分.

4.函數(shù)極值的應(yīng)用

教師講述利用極值理論拯救生命的故事.1953 年2 月，荷蘭發(fā)生了海水倒灌災(zāi)難，這個災(zāi)難奪去了1 800 人的生命，毀壞了4.7 萬間居民住宅.災(zāi)難之后，荷蘭政府迫切需要修筑能保護(hù)該國數(shù)百年的新海防大堤.由于荷蘭一半以上的國土位于海平面之下，因此該國需要筑起—條條海堤加以防范.科學(xué)家們分析了該國有關(guān)此類極端事件的歷史數(shù)據(jù)，根據(jù)極值理論的數(shù)學(xué)原理設(shè)計，得出了新建堤防為5 米高的標(biāo)準(zhǔn)，這些海堤用來對付大自然可能發(fā)起的最惡劣的挑戰(zhàn).這樣，1 600 萬的荷蘭居民得到了極值理論的保護(hù).除此之外，極值理論還是新的海事安全建議中的核心內(nèi)容.

課程思政元素：（1）通過具體的實例，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在科學(xué)發(fā)展和經(jīng)濟生活中的重要位置；（2）列舉生活中的例子可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性.

5.函數(shù)極值和最值的關(guān)系

首先，先給出函數(shù)最值的定義：設(shè)函數(shù)＝（）的定義域為，如果存在實數(shù)滿足對于任意的∈，都有（）≤（或（）≥）成立，則稱是函數(shù)＝（）的最大值（或最小值），記作＝（）＝（或＝（）＝）.

其次，讓學(xué)生觀察下列曲線，然后提問學(xué)生：最值一定是極值嗎？最值和極值有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

圖1 某函數(shù)的曲線圖

學(xué)生觀察圖形后回答：最小值是（），但它不是極小值；最大值是（），同時它也是極大值.

然后，和學(xué)生一起歸納總結(jié)極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系.

表2 函數(shù)極值和最值的區(qū)別

極值和最值的聯(lián)系：極值有可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值，所以在開區(qū)間（，）上若存在最值，則必是極值.

課程思政元素：（1）使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）使學(xué)生理解局部與整體辯證對立統(tǒng)一的思想方法.

6.最值的求法

首先，教師結(jié)合圖像，一邊演示動畫，一邊給出求極值的步驟：

（1）求出（）的所有駐點和不可導(dǎo)點；

（2）計算駐點、不可導(dǎo)點及端點處的函數(shù)值；

（3）比較上述點的函數(shù)值，最大的為最大值，記為，最小的為最小值，記為.

其次，以求函數(shù)（）＝-8+3 在區(qū)間［-1，3］上的最大值和最小值為例，進(jìn)行鞏固.

（1）由（）＝4-16＝4（-2）（+2）＝0 求出駐點＝0，＝2，＝-2（其中?［-1，3］舍去）；

（2）計算駐點、不可導(dǎo)點及端點處的函數(shù)值：（-1）＝-4，（0）＝3，（2）＝-13，（3）＝12；

（3）比較函數(shù)值.故在［-1，3］上，最大值＝（3）＝12，最小值＝（2）＝-13.

課程思政元素：（1）培養(yǎng)學(xué)生將復(fù)雜問題簡單化、步驟化的習(xí)慣；（2）使學(xué)生能夠有條理、嚴(yán)密地思考，并清晰準(zhǔn)確地表達(dá).

7.最值的應(yīng)用

首先，教師先引入在實際工程中常會遇到的問題：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”……這類問題可歸結(jié)為建立一個目標(biāo)函數(shù)，求這個函數(shù)的最大值、最小值問題（設(shè)計最佳方案）.

其次，教師講解兩道關(guān)于公寓租金和電路方面的例題.

一房地產(chǎn)公司有50 套公寓要出租當(dāng)月租金定為2 000 元時公寓會全部租出去當(dāng)月租金每增加100 元時就會多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花費200 元的維修費試問租金定為多少可獲得最大收入最大收入是多少

所以每套租金定為3 600 元可獲得最大收入，最大收入為115 600 元.

在如圖2 所示的電路中已知電源電壓為內(nèi)阻為求負(fù)載電阻為多大時輸出功率最大.

圖2

由電學(xué)知識可知，消耗在負(fù)載電阻上的功率為＝

課程思政元素：（1）從多角度拓展數(shù)學(xué)知識，并與機電類專業(yè)對接，使學(xué)生深刻領(lǐng)會學(xué)習(xí)函數(shù)極值和最值的目的和用途，深入理解本課程的基本概念和基本知識；（2）提高學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)思想和方法分析問題、解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新意識；（3）通過生活中的例子和專業(yè)課的例子，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，從而提高教學(xué)質(zhì)量.

8.總結(jié)

首先，回顧極值和極值點的定義和求極值的四個步驟：求定義域、找分界點、列表和下結(jié)論；回顧求最值的三個步驟：求駐點和不可導(dǎo)點、計算三類點的函數(shù)值、比較函數(shù)值.

然后，教師告誡學(xué)生：一方面，一個國家、一個民族、一個單位、一個部門以及一個人的一生，本質(zhì)上都是在追求最大值.同學(xué)們在高中是優(yōu)秀的，是所在班級的極大值，但是來到大學(xué)之后，是否還是最大值呢？需要達(dá)到最大值，就需要大家努力學(xué)習(xí)、刻苦鉆研，才能取得好成績.如果沉迷于游戲和網(wǎng)絡(luò)，則會變成極小值.除此之外，還要明白天外有天，人外有人，要不斷努力，爭取更大的進(jìn)步.另一方面，在工作或?qū)W習(xí)生活中，遇到低谷并不可怕，那只是臨時的，從長遠(yuǎn)來看，也許不是真正的低谷，將來還會有高潮，任何時候都不要氣餒.當(dāng)取得成績的時候也要看長遠(yuǎn)，也許還有更高的山峰等待我們?nèi)ヅ实?我們要學(xué)會用發(fā)展的眼光去看待問題，低谷和頂峰只是人生路上的一個個轉(zhuǎn)折點，要積極樂觀地面對生活.

課程思政元素：（1）培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展的眼光看問題；（2）培養(yǎng)學(xué)生積極樂觀的態(tài)度；（3）通過教師對學(xué)生的鼓勵，讓學(xué)生意識到不能荒廢寶貴的大學(xué)時光，要努力拼搏，積極上進(jìn)，不斷拓寬自己的知識結(jié)構(gòu)，提升個人能力，成為一名四有社會主義事業(yè)接班人.

三、教學(xué)反思

以“綠水青山就是金山銀山”“習(xí)近平考察廣西桂林”為導(dǎo)向進(jìn)行引入，在教學(xué)過程中講述華羅庚努力拼搏、追求真理、愛黨愛國的事跡，提升學(xué)生的思想品格，讓學(xué)生理解掌握大前提條件、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法，局部與整體、變化過程與變化結(jié)果的辯證對立統(tǒng)一的思想方法與思維方法.同時讓學(xué)生明白人生之路并不像一條直線一樣一帆風(fēng)順，而是一條有波峰和波谷的曲線，使他們用發(fā)展的眼光看問題，并培養(yǎng)他們積極樂觀的精神.通過將思政教育貫穿于教學(xué)始終，使學(xué)生在學(xué)到知識的同時，學(xué)會做人、做事，最終將學(xué)生的知識、能力升華為數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有效發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能.