普通師范院校代數(shù)類課程設置改革探究

趙正俊，陳文兵

(安慶師范大學數(shù)理學院，安徽 安慶 246133)

代數(shù)學是數(shù)學的重要分支之一。隨著現(xiàn)代數(shù)學及科技的發(fā)展，尤其是20世紀以來，諸多重要數(shù)學猜想的解決(如Fermat大定理、Mordell猜想等)與計算機技術的發(fā)展，代數(shù)學在理論及應用領域的重要性日益凸顯。我國高校數(shù)學專業(yè)代數(shù)課程設置及內容形成于20世紀50年代，普通院校數(shù)學專業(yè)“重分析、輕代數(shù)”的狀況雖然受到許多高校相關任課教師的關注，但是受限于體制、師資及教材等因素，代數(shù)類課程設置的問題與核心代數(shù)及幾何課程缺失的現(xiàn)狀仍然沒有得到緩解。正如著名數(shù)論學家馮克勤教授所說[4]，高校的幾何與代數(shù)教學應該加強，這是必須予以重視的問題。通過分析高校代數(shù)類課程設置的現(xiàn)狀，結合筆者多年代數(shù)類課程教學的體會與部分高校對代數(shù)類課程設置改革的措施及成效，談談對普通師范院校代數(shù)類課程設置的看法，供同行交流參考。

1 代數(shù)類課程設置存在的問題

代數(shù)作為數(shù)學的三大分支之一，包括初等代數(shù)和抽象代數(shù)，以研究代數(shù)方程為中心，其特點是具有高度的抽象性。國內師范院校數(shù)學專業(yè)代數(shù)類課程主要包括“初等數(shù)論”“高等代數(shù)”及“近世代數(shù)”。根據筆者多年教授代數(shù)類課程的經驗及與兄弟院校相關課程任課老師的交流情況，目前普通師范院校代數(shù)類課程設置存在以下幾個問題。

1.1 課程內容銜接的問題

“高等代數(shù)”一直是高校數(shù)學專業(yè)重視的核心基礎課，多數(shù)學校在大學一年級開設兩個學期，每周5-7學時，部分學校會單獨開設習題課?！案叩却鷶?shù)”的基本內容包括線性空間和矩陣理論，對于培養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。普通高校數(shù)學專業(yè)的學生對于該門課程的學習感到吃力，考試及格率低于同期開設的其他課程。學生對該門課程的總體印象是抽象，多數(shù)學生不能理解線性空間與線性變換的定義，更談不上領會該門課程的精髓。

目前，多數(shù)高校采用北京大學于上世紀70年代末編寫的“高等代數(shù)”作為該門課程的教材。這是一部經典教材，其他教材基本都以這本書作為藍本。在內容安排上，首先講解多項式理論，然后圍繞線性方程組這個中心課題，逐步引入行列式、矩陣、線性空間與線性變換、二次型及歐式空間。相對“高等代數(shù)”，高度抽象的“近世代數(shù)”更加使得學生焦頭爛額?！敖来鷶?shù)”主要講授群、環(huán)及域的基本知識，多數(shù)高校選擇在大學二年級開設。雖然“高等代數(shù)”中多項式、矩陣及線性空間與線性變換為“近世代數(shù)”中相關概念提供了實例，但學生依然不能很好地理解“近世代數(shù)”中的相關定義與結論，從“高等代數(shù)”到“近世代數(shù)”的過渡并不自然。“初等數(shù)論”主要講授整數(shù)的相關理論，內容大致包括整數(shù)的整除、同余、二次剩余、原根及指數(shù)與不定方程等。多數(shù)高校選擇將該門課程作為選修課在大三開設。同樣，“初等數(shù)論”也為“近世代數(shù)”中相關概念提供了很好的實例。同時，整數(shù)的整除理論與多項式的整除理論在環(huán)論的意義下又有某種重合。因此，在以“高等代數(shù)”“近世代數(shù)”“初等數(shù)論”開課次序的前提下，授課內容存在一定程度的交叉與重合。事實上，“近世代數(shù)”的思想方法滲透在“初等數(shù)論”與“高等代數(shù)”中，處理好這三門課程的內容安排對于代數(shù)學習尤為關鍵。

1.2 代數(shù)類課程缺失的問題

相對于分析類課程，普通師范院校數(shù)學專業(yè)代數(shù)類課程顯得較為單薄。一些在重點高校開設的“抽象代數(shù)”“交換代數(shù)”“同調代數(shù)”“群與代數(shù)表示”“代數(shù)數(shù)論”與“代數(shù)幾何”等代數(shù)類課程，普通高校沒有作為選修課程開設，原因是多方面的，學生基礎、師資、師范教育類課程的安排等。這些代數(shù)類后續(xù)課程不僅是將來從事代數(shù)研究的學生的基礎課程，對邏輯思維能力與數(shù)學品味及修養(yǎng)的提高也具有重要意義。普通師范類院校不僅要培養(yǎng)合格的中小學教師，也肩負了培養(yǎng)從事科學研究人才的重任。為有意愿從事代數(shù)研究的學生開設代數(shù)后續(xù)課程是有必要的。

進入新世紀以來，眾多高校數(shù)學系開設了信息與計算科學專業(yè)，培養(yǎng)具有扎實數(shù)學基礎的從事與計算機相關工作的人才。然而，一些高校不再為信息與計算科學專業(yè)開設“近世代數(shù)”與“初等數(shù)論”，甚至淡化“高等代數(shù)”。而在一些普通師范院校，數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)也不再開設“初等數(shù)論”。筆者所在師范高校，“初等數(shù)論”僅作為選修課程，教務部門規(guī)定，選課人數(shù)不足30人不開課?！俺醯葦?shù)論”經常與數(shù)學競賽聯(lián)系在一起，對于以培養(yǎng)優(yōu)秀中小學數(shù)學教師為目標的師范院校，掌握初等數(shù)論的相關知識和技巧是有必要的。

1.3 課時壓縮的問題

近年來，隨著高校培養(yǎng)方案中實踐及思政課時的不斷增加，一些重要的專業(yè)基礎課程的課時不斷被壓縮?！敖来鷶?shù)”在一些高校的課時由周4減為周3，“初等數(shù)論”以每周2學時作為選修課開設?！敖来鷶?shù)”的群論中，除了同態(tài)基本定理，群在集合上的作用對群的研究至關重要，簡單介紹群作用及其應用是有必要的。但是，在總課時為51的前提下，很難講透這些重要內容，只能流于表面地介紹群環(huán)域的基本定義與結論?？傉n時為34的“初等數(shù)論”，只能簡單介紹整數(shù)整除、同余及二次剩余與二次互反律的基本結果，而其中與有限群結構關系密切的原根及指數(shù)、不定方程等只能舍棄。

2 部分高校代數(shù)類課程設置改革措施

21世紀以來，高校代數(shù)類課程設置與教學內容的改革一直被廣泛關注。國內眾多代數(shù)學家和從事代數(shù)教學研究的人員對代數(shù)類課程設置改革作了諸多研究和實踐。著名數(shù)論學家馮克勤先生對代數(shù)類課程設置有獨到的見解[4]和豐碩的實踐成果。自1977年開始，在馮先生的領導下，中國科學技術大學數(shù)學系在一年級第一學期開設“初等數(shù)論”，并和余紅兵教授編寫了教材“整數(shù)和多項式”，將整數(shù)與多項式的整除、因式分解等理論納入同一范疇，其中滲透了近世代數(shù)的思想，從主理想整環(huán)的角度統(tǒng)一講授整數(shù)與多項式。2011年以來，在歐陽毅教授的領導下，中國科學技術大學數(shù)學院對代數(shù)類課程設置及教學內容作了重大改革，將“初等數(shù)論”“解析幾何”“高等代數(shù)”“近世代數(shù)”“抽象代數(shù)”等代數(shù)類課程教學內容作了優(yōu)化，出臺了“代數(shù)系列課程綱要”，并編寫了代數(shù)學系列教材?？拼髮Υ鷶?shù)課程設置及內容改革的成果獲得了安徽省教學成果獎。正如歐陽毅教授所說[1]，受老一輩數(shù)學家指導和影響，科大的代數(shù)教學一直維持在很高的水平，培養(yǎng)了許多著名的代數(shù)學家。2000年之后，馮先生調入清華大學數(shù)學系擔任系主任。自2001年起，清華數(shù)學系也在大學一年級為新生開設“初等數(shù)論”，并以專題討論的形式為有志于從事代數(shù)與數(shù)論研究的學生開設相關代數(shù)類課程。在以構建和實施本科人才培養(yǎng)體系為核心的“三三制”本科教學改革的背景下，南京大學數(shù)學系對“高等代數(shù)”課程的內容進行了調整，與科大和清華的做法類似，也是同時講授整數(shù)與多項式的整除理論。早在20世紀90年代，華中師范大學就嘗試對代數(shù)類課程設置進行改革[5]，將“高等代數(shù)”“解析幾何”“近世代數(shù)”與“范疇論”四門課作為一個整體，以代數(shù)結構為主線統(tǒng)一四門課程。

在學生基礎與師資條件較好的前提下，科大等重點高校對代數(shù)類課程的設置是合理有成效的。以“初等數(shù)論”“高等代數(shù)”與“解析幾何”“近世代數(shù)”這樣的順序開課，可以做到與中學課程銜接、與后續(xù)課程銜接、與數(shù)學研究銜接。受限于師資條件與學生基礎，普通師范院校對代數(shù)類課程設置作大刀闊斧的改革并非易事?？茖W分析代數(shù)課程內容及相互聯(lián)系，明確學生培養(yǎng)目標，師范院校對代數(shù)課程設置改革的空間依然很大。一些地方師范院校也作了許多嘗試。早在20年前，湖州師范學院對“高等代數(shù)”“初等數(shù)論”及“近世代數(shù)”三門課程的內容進行整合調整[2]，三門課統(tǒng)一編教材，分四個學期開設。2016年開始，淮陰師范學院在大學一年級第一學期開設“初等數(shù)論”與“解析幾何”，第二學期開設“高等代數(shù)”。

3 代數(shù)類課程教學的體會與改革設想

課程設置改革具有很強的學術性。在明確培養(yǎng)目標的前提下，如何處理課程內容的銜接、知識傳授與能力培養(yǎng)的關系值得深究。在普通師范院校從事“高等代數(shù)”與“抽象代數(shù)”課程教學多年，“高等代數(shù)”的教材幾經更換，而從教學效果及學生反饋情況來看，簡單的教材更換，并不能改變歷屆學生對這門課的印象——抽象、難學、及格率低。一方面，正如歐陽毅教授的分析[1]，受中學數(shù)學新課標與高考指揮棒的影響，學生獨立探索和抽象思維能力受到很大限制；另一方面，“高等代數(shù)”對學生抽象思維能力要求較高，而剛入學的新生還沒能適應大學的授課方式，用功的學生多數(shù)采用中學數(shù)學的學習方法，忽略對數(shù)學定義及結論的理解與記憶，學習效果事倍功半，積極性受挫。教學中除了引導學生積極改變中學數(shù)學學習習慣和學習方法，更應該在課程設置與內容的銜接上下功夫。下面具體談談對普通師范院校代數(shù)類課程設置改革的一些想法。

首先，數(shù)學師范專業(yè)首要任務是培養(yǎng)合格的中小學數(shù)學教師，“初等數(shù)論”與中學數(shù)學及競賽聯(lián)系密切，掌握“初等數(shù)論”中相關知識與技巧對于師范生來說是必要的。在新生入學開設每周4學時的“初等數(shù)論”，一方面，與中學數(shù)學知識自然過渡，另一方面，以整數(shù)為實例，滲透代數(shù)學的思想方法，為后續(xù)抽象代數(shù)做一個鋪墊。而在具體內容安排上，除了介紹整數(shù)整除、同余、原根及指數(shù)等基本知識外同時，以整數(shù)和同余為實例，介紹集合和映射的基本定義與性質，從而過渡到集合的劃分、關系與等價。最后，介紹多項式的整除與因式分解。這里適當介紹集合和映射的相關知識，一是為后續(xù)線性空間與線性映射作準備，同時，也為學習分析與點集拓撲等課程打下了基礎。

第二、三學期，開設每周5學時的“高等代數(shù)”。主要內容包括矩陣與行列式、線性方程組、線性空間與線性映射、二次型與歐式空間、相似標準形。第四學期，開設每周4學時的“近世代數(shù)”。主要內容包括群、環(huán)與域的基本概念。整數(shù)整除及同余、矩陣空間及線性映射為學習群與環(huán)的相關知識提供了實例。要使“近世代數(shù)”摘掉“枯燥、抽象”的帽子，除了盡可能多介紹實例，更關鍵的在于理順群、環(huán)與域的關系，尤其是打通群與域的聯(lián)系，而這正是Galois理論的精髓。

普通師范院校的任務不只是培養(yǎng)優(yōu)秀的中小學教師，也肩負培養(yǎng)優(yōu)秀科研人員的重任，這就需要更多關注優(yōu)秀學生的培養(yǎng)。要為優(yōu)秀學生創(chuàng)造好的學習環(huán)境，開闊眼界，除了在硬件方面提供條件，在軟件方面，落到實處，就需要為優(yōu)秀學生開設豐富的選修課。

在日益重視基礎數(shù)學的形勢下，代數(shù)幾何與微分幾何等主流數(shù)學也日益受到重視。為了減小與歐美等發(fā)達國家的差距，國家在這些方向人才培養(yǎng)與引進方面給予了較大投入，也取得了可喜的成績。即使普通師范院校，為有志于未來從事代數(shù)及相關方向研究的學生開設后續(xù)代數(shù)課程是必要的。因此，后續(xù)的代數(shù)課程，例如“交換代數(shù)”“同調代數(shù)”“群與代數(shù)表示”“代數(shù)數(shù)論”等，也不應該只是出現(xiàn)在重點高校的課程目錄中。在有條件的情況下，應該積極為學生開設這些選修課程。

對于普通師范院校代數(shù)類課程設置改革的總體思路是，按照“初等數(shù)論”—“高等代數(shù)”—“近世代數(shù)”—各類代數(shù)選修課程的開課順序，加強代數(shù)類課程的教學。這其中需要解決的問題是，如何優(yōu)化各門課程的教學內容，做到銜接有序、過渡自然、步步深入，而這需要賦予具體的教學實踐以檢驗效果。

4 總結

結合教學實踐與同行交流的情況，通過分析國內普通師范院校數(shù)學專業(yè)代數(shù)類課程設置存在的問題，借鑒部分高校代數(shù)類課程設置及內容改革的措施與經驗，總結了代數(shù)類課程教學的體會，提出了對普通師范院校代數(shù)類課程設置改革的一些想法，供同行交流參考。