Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋對(duì)脆性巖石受壓破壞的影響

王體富，周宗紅

(昆明理工大學(xué) 國(guó)土資源工程學(xué)院，昆明 650000)

隨著對(duì)深部地下資源的需求以及地下空間的開(kāi)發(fā)越來(lái)越大，諸多地下工程都面臨著巖體開(kāi)挖的問(wèn)題，如公路隧道以及地下礦產(chǎn)資源的開(kāi)發(fā)等，都需要掌握巖體受載后產(chǎn)生破壞的一系列力學(xué)問(wèn)題，以此作為巖體工程的理論依據(jù)。巖石內(nèi)部的細(xì)觀損傷最終導(dǎo)致巖石整體上的宏觀破壞，因此，采用脆性巖石宏-細(xì)觀損傷相結(jié)合的方法研究其失穩(wěn)破壞具有重要意義。目前，許多學(xué)者基于損傷力學(xué)對(duì)巖體失穩(wěn)破壞進(jìn)行了深入的研究，其成果得到了普遍的認(rèn)可。曹文貴等[1]在損傷力學(xué)的基礎(chǔ)上對(duì)巖石的損傷進(jìn)行了重新定義，建立了圍壓下巖石損傷統(tǒng)計(jì)模型。朱其志等[2]基于熱動(dòng)力學(xué)理論和均質(zhì)化方法從細(xì)觀損傷力學(xué)的方面得到了花崗巖的非彈性應(yīng)變和損傷演化的模型。楊強(qiáng)等[3]考慮到了巖體的損傷和塑性的耦合作用，推導(dǎo)出了在關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下巖體塑性損傷本構(gòu)方程。袁小平等[4]基于細(xì)觀力學(xué)的角度，研究了巖石微裂紋擴(kuò)展的彈塑性損傷本構(gòu)模型。杜修力等[5]通過(guò)巖體受載時(shí)真實(shí)應(yīng)力的概念和應(yīng)變等效假設(shè)，建立了巖石材料的三維彈塑性損傷本構(gòu)方程，并在后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證。此外，有學(xué)者基于線彈性斷裂力學(xué)來(lái)研究脆性巖石內(nèi)部微裂紋對(duì)其承載力的影響，并取得了很大的成果。任利等[6]通過(guò)單個(gè)線性裂紋受到壓縮荷載的剪切斷裂條件，明確了巖石裂紋受到壓縮荷載時(shí)張破裂紋剪切斷裂韌性的物理意義以及求解方法。趙均海等[7]基于雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論得到了不同屈服準(zhǔn)則和不同材料下的斷裂因子，并且適用于不同的受力情況，為充分發(fā)揮材料性能提供了理論支持。

基于細(xì)觀力學(xué)研究巖石受載后微裂紋的擴(kuò)展、貫通直至巖石失穩(wěn)破壞有著重要的意義。在巖石斷裂力學(xué)中，將巖體的裂隙分為Ⅰ型裂紋(張拉型裂紋)、Ⅱ型裂紋(滑開(kāi)型裂紋)、Ⅲ型裂紋(撕裂型裂紋)。并且?guī)r石內(nèi)部的裂紋并非只有一種單一類(lèi)型，而是普遍存在各種裂紋相互作用的復(fù)合型裂紋。李曉照等[8]基于斷裂力學(xué)的理論，研究了巖石中存在的張拉裂紋對(duì)于巖石破壞產(chǎn)生的重要影響，將巖石的裂紋擴(kuò)展、貫通引入到巖石宏觀破壞中，得到了脆性巖石的蠕變失效特性的宏-細(xì)觀力學(xué)模型，但其只考慮了巖石內(nèi)部存在的張拉裂紋，因此其模型存在一定的局限性。

在大多數(shù)巖土工程中，巖石內(nèi)部的微裂紋擴(kuò)展、貫通是在壓剪復(fù)合應(yīng)力下形成的[9]，且Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋是最為普遍的[10-12]，單一裂紋的研究并不能很好地反映巖石內(nèi)部裂紋對(duì)脆性巖石造成宏觀破壞的影響。復(fù)合型裂紋的擴(kuò)展、貫通才是巖石破壞最為關(guān)鍵的影響因素之一。因此，基于Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋來(lái)研究巖石的失穩(wěn)破壞有著更深的意義。鄧宗才等[13]依據(jù)斷裂力學(xué)得出復(fù)合裂紋最大拉應(yīng)變斷裂準(zhǔn)則，但該準(zhǔn)則較適用于混凝土材料，因此存在一定的局限性。除此之外，尹光志等[14]通過(guò)三點(diǎn)彎曲、四點(diǎn)彎曲的實(shí)驗(yàn)對(duì)Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋進(jìn)行了研究，得出了其斷裂判據(jù)。以上研究都是針對(duì)Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的失穩(wěn)，并沒(méi)有體現(xiàn)出Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的擴(kuò)展、貫通對(duì)巖石產(chǎn)生宏觀破壞的影響。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，將Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的強(qiáng)度因子作了變換，得到了受裂紋初始斷裂角和Ⅰ型裂紋參數(shù)影響的Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋強(qiáng)度因子表達(dá)式。通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出了含有Ⅰ型、Ⅱ型裂紋參數(shù)影響的應(yīng)力與裂紋擴(kuò)展的關(guān)系式σ-l，再結(jié)合損傷-應(yīng)變關(guān)系推導(dǎo)出含Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋參數(shù)影響的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式σ-ε。并在此基礎(chǔ)上研究了Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的各種參數(shù)對(duì)于脆性巖石受壓產(chǎn)生失穩(wěn)破壞的影響。

1 理論模型

圖1 三軸壓應(yīng)力作用下巖石微裂紋擴(kuò)展模型Fig.1 crack propagation model of rock under triaxial compressive stress

在三軸壓應(yīng)力作用下微裂紋表面產(chǎn)生一個(gè)正應(yīng)力σn和剪應(yīng)力τ，其表達(dá)式為：

(1)

(2)

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)理論，應(yīng)力強(qiáng)度因子Ke要達(dá)到巖石材料本身的斷裂韌度KIc時(shí)初始裂紋擴(kuò)展才會(huì)發(fā)生。在此，本文忽略應(yīng)力強(qiáng)度因子在將要達(dá)到巖石材料斷裂韌度時(shí)發(fā)生的亞臨界裂紋擴(kuò)展，認(rèn)為只有在應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到巖石材料的斷裂韌度時(shí)裂紋才會(huì)發(fā)生擴(kuò)展。在拉剪復(fù)合應(yīng)力作用下Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ和Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ表達(dá)式為[19]：

(3)

(4)

1.1 軸向應(yīng)力與裂紋擴(kuò)展之間的關(guān)系

在脆性巖石斷裂力學(xué)中，依據(jù)最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則得出了在一般情況下裂紋的失穩(wěn)準(zhǔn)則：

(5)

某種意義上可以將Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋轉(zhuǎn)化成一個(gè)等效的純Ⅰ型裂紋，其失穩(wěn)準(zhǔn)則為：

Ke=KIc

將式(3)、(4)、(5)聯(lián)立起來(lái)，得到Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋和Ⅰ型裂紋之間應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系為：

(6)

脆性巖石初始微裂紋擴(kuò)展后，對(duì)于純Ⅰ型裂紋，考慮到翼型裂紋長(zhǎng)度l，可以得到Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋長(zhǎng)度之間的關(guān)系為[19-21]：

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)，考慮裂紋長(zhǎng)度l，得到Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式：

(8)

當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到巖石材料斷裂韌度時(shí)，裂紋開(kāi)始擴(kuò)展，根據(jù)(8)式可以得到巖石應(yīng)力狀態(tài)與裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度之間的關(guān)系為：

(9)

式中，

X1=(1-cos2β)(1+cosθ0)(A1c1+A1c2)+3sinθ0sin2β(A1c1+A1c2)

式中，β—裂紋角，(°)。

1.2 軸向應(yīng)變與軸向應(yīng)力之間的關(guān)系

在工程實(shí)際中，巖石材料的強(qiáng)度與其自身的內(nèi)部損傷機(jī)制以及流變特性是密切相關(guān)的。由于流變特性使巖石內(nèi)部產(chǎn)生微裂隙，并且隨著時(shí)間的推移，會(huì)導(dǎo)致裂紋的擴(kuò)展，相互貫通，內(nèi)部損傷進(jìn)一步加大，從而使巖石的強(qiáng)度和彈性模量降低，對(duì)于此類(lèi)效應(yīng)的巖石材料，可以定義損傷演化方程為[22]：

D=1-e-mε

(10)

式中，D-損傷因子，m-實(shí)驗(yàn)待定參數(shù)，ε-軸向應(yīng)變。

基于細(xì)觀微裂紋擴(kuò)展的損傷定義為[20]：

(11)

聯(lián)立式(10)、(11)得到宏觀損傷應(yīng)變與細(xì)觀微裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度的表達(dá)式：

(12)

聯(lián)立式(12)、(9)，得到考慮了細(xì)觀微裂紋擴(kuò)展的Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋巖石材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式：

(13)

式中，

Y1=(1-cos2β)(1+cosθ0)(A1J1+A1J2)+3sinθ0sin2β(A1J1+A1J2)；

2 結(jié)果與討論

基于以上理論，得到本文模型的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，并通過(guò)大理巖的常規(guī)三軸實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)驗(yàn)證本文研究的合理性。此外，著重研究了巖體內(nèi)部的初始損傷、裂紋間摩擦系數(shù)以及翼型裂紋長(zhǎng)度對(duì)巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響，其中具體參數(shù)選取如下：

在巖石受壓過(guò)程中，認(rèn)為達(dá)到裂紋臨界應(yīng)力σc時(shí)翼型裂紋才開(kāi)始擴(kuò)展，臨界應(yīng)力與裂紋間摩擦系數(shù)和裂紋尺寸的關(guān)系為[7]：

(14)

2.1 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

基于(13)式(D0取0.032)，得到了應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。大理巖在高地應(yīng)力的情況下會(huì)表現(xiàn)出脆性向延性轉(zhuǎn)化，本文模型在一定圍壓范圍內(nèi)充分表現(xiàn)出了這一特點(diǎn)。圖2中，巖石應(yīng)力起初有一個(gè)上升，在到達(dá)應(yīng)力峰值后巖石應(yīng)力開(kāi)始下降，并且隨著圍壓的增大，巖石的承載力也增大。本文通過(guò)一種均勻化思維對(duì)巖石的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化，無(wú)法準(zhǔn)確地描述巖石應(yīng)變的局部化失效，是以全局化整體失效來(lái)進(jìn)行巖石破壞的分析，進(jìn)而研究Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋參數(shù)對(duì)巖石承載力的影響。因此，該模型得出的應(yīng)力-應(yīng)變曲線趨勢(shì)與圖3常規(guī)三軸實(shí)驗(yàn)結(jié)果相似，并且在數(shù)值上有一定的可比性，表明了該模型具有一定的合理性。

圖2 不同圍壓下的模型軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.2 Axial stress-strain curve of the model under different confining pressure

圖3 常規(guī)三軸實(shí)驗(yàn)全過(guò)程應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.3 stress-strain relationship curve in the whole process of conventional triaxial experiment

2.2 裂紋參數(shù)對(duì)巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

2.2.1 裂紋初始損傷對(duì)巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

在自然狀態(tài)下，巖石受到地應(yīng)力等諸多因素的影響，其內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生初始損傷，這些初始裂紋損傷對(duì)于巖石的承載能力有著較大的影響。

在圖4中可以看出，在圍壓一定時(shí)，當(dāng)軸壓在210 MPa以下時(shí)，初始損傷對(duì)于巖石承載能力的影響并不大，而隨著壓力的增加初始損傷對(duì)于巖石承載能力的影響逐漸明顯，這是由于在微裂紋的發(fā)展過(guò)程中巖石受壓達(dá)到臨界應(yīng)力時(shí)，裂紋才能產(chǎn)生失穩(wěn)破壞，在此之前，巖石承載能力受初始損傷的影響很小。圖5中，在相同初始損傷量時(shí)，圍壓越大巖石的峰值應(yīng)力越大。相同圍壓條件下，巖石的峰值應(yīng)力隨著初始損傷的增大而減小，在圍壓為30 MPa時(shí)，當(dāng)初始損傷量為0.01的巖石峰值應(yīng)力約為299 MPa，初始損傷量為0.07的巖石峰值應(yīng)力約為101 MPa，相比減小了約66.2%，并且圍壓越大，巖石應(yīng)力峰值受初始損傷量的影響越敏感，因此在深埋巖體工程中，應(yīng)適當(dāng)減少工程擾動(dòng)對(duì)于巖體承載能力的破壞。

圖4 圍壓30 MPa下不同初始損傷對(duì)巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響Fig.4 Effect of different initial damage on the stress-strain relationship of rock under confining pressure 30 MPa

圖5 不同圍壓下初始損傷對(duì)峰值應(yīng)力的影響Fig.5 Effect of initial damage on peak stress under different confining pressure

2.2.2 初始裂紋尺寸對(duì)巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

基于(13)式，在圍壓50 MPa條件下，分析不同裂紋尺寸對(duì)于巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。通過(guò)圖6可以看出巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系隨初始裂紋尺寸的變化而變化，在相同的應(yīng)變條件下隨著初始裂紋尺寸的增大巖石的承載能力降低。裂紋尺寸為1 mm時(shí)應(yīng)力峰值約為400 MPa，當(dāng)裂紋尺寸為5 mm時(shí)應(yīng)力峰值只有約320 MPa，應(yīng)力峰值下降了約20%。

圖6 圍壓50 MPa下初始裂紋尺寸對(duì)巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響Fig.6 Effect of initial crack size on stress-strain relationship of rock under confining pressure 50 MPa

2.2.3 裂紋間摩擦系數(shù)對(duì)巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

基于(13)式，在圍壓50 MPa條件下，分析裂紋間不同摩擦系數(shù)對(duì)于巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。通過(guò)圖7可以看出，在相同應(yīng)變量的情況下，隨著裂紋間摩擦系數(shù)的增大，軸向應(yīng)力也隨即增大。裂紋間摩擦系數(shù)為0.5時(shí)，應(yīng)力峰值約為549 MPa，當(dāng)裂紋間摩擦系數(shù)為0.1時(shí)，應(yīng)力峰值達(dá)到了約342 MPa，應(yīng)力峰值下降了約37.7%。由此可見(jiàn)，裂紋間摩擦系數(shù)的降低，使得提高巖石的承載能力也大幅降低。此外，對(duì)比文獻(xiàn)[7]模型，在不同的裂紋尺寸以及不同裂紋間摩擦系數(shù)條件下本文模型得出的巖石承載能力都相對(duì)較小，這也印證了相較于考慮單一的純Ⅰ型裂紋(文獻(xiàn)[7])，巖石承載能力受Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋參數(shù)的影響較大。

圖7 圍壓50 MPa下裂紋間摩擦系數(shù)對(duì)軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響Fig.7 effect of friction coefficient between cracks on axial stress-strain relationship under confining pressure 50 MPa

2.2.4 翼型裂紋長(zhǎng)度對(duì)巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響

基于(9)式得到了圖8巖石在不同圍壓下裂紋的擴(kuò)展與軸壓的關(guān)系。從中可以看出在相同的軸壓下，隨著圍壓的增加，裂紋的擴(kuò)展變得困難，由此可見(jiàn)，圍壓在一定程度上遏制了裂紋的擴(kuò)展。并且，在圍壓相同時(shí)，隨著裂紋的擴(kuò)展軸向應(yīng)力先呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì)，到達(dá)應(yīng)力峰值后，隨著裂紋進(jìn)一步的擴(kuò)展，軸向應(yīng)力逐漸減小，出現(xiàn)這種情況是因?yàn)閹r石受壓之初裂紋開(kāi)始萌生，隨著應(yīng)力逐漸增加，裂紋開(kāi)始進(jìn)一步擴(kuò)展、貫通，到達(dá)應(yīng)力峰值后，巖石內(nèi)部損傷加大，巖石承載能力下降，直至破壞。

圖8 不同圍壓下翼型裂紋長(zhǎng)度與軸壓的關(guān)系Fig.8 relationship between crack length and axial pressure of airfoil under different confining pressure

3 結(jié)論

本文基于損傷力學(xué)和巖石斷裂力學(xué)研究了脆性巖石內(nèi)部Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋的擴(kuò)展、貫通對(duì)于巖石承載能力的影響，將巖石受載后的宏細(xì)觀表征結(jié)合起來(lái)，推導(dǎo)出了脆性巖石受Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋參數(shù)影響的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式。在考慮到裂紋開(kāi)裂角的前提下，研究了巖石的破壞受裂紋尺寸、裂紋間摩擦系數(shù)以及翼型裂紋長(zhǎng)度的影響，對(duì)于從細(xì)觀機(jī)制方面研究巖石受壓產(chǎn)生失穩(wěn)破壞提供了一定的參考。具體結(jié)論如下：

1)細(xì)觀裂紋在巖石達(dá)到起裂應(yīng)力時(shí)開(kāi)始擴(kuò)展，擴(kuò)展到一定程度后，巖石應(yīng)力達(dá)到峰值，隨著裂紋的繼續(xù)擴(kuò)展、貫通，巖石的應(yīng)力下降。此外，不同的圍壓導(dǎo)致巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線有所不同，隨著圍壓的增大，巖石的承載能力上升，從細(xì)觀機(jī)制的角度可以解釋為圍壓的增大限制了裂紋的發(fā)展，宏觀上表現(xiàn)為巖石的承載能力增大。

2)在相同圍壓下，隨著圍壓增大，裂紋的長(zhǎng)度減小，驗(yàn)證了增大圍壓能夠遏制巖石內(nèi)部裂紋的擴(kuò)展、貫通。巖石的承載能力隨著內(nèi)部的裂紋尺寸的增大而減小，其中裂紋尺寸從1 mm增加到5 mm時(shí)應(yīng)力峰值下降約20%。此外，裂紋間的摩擦系數(shù)也有著較大的影響，在相同圍壓下，裂紋間摩擦系數(shù)從0.5下降到0.1時(shí)，應(yīng)力峰值下降了約37.7%。裂紋間摩擦系數(shù)減小，大大降低了巖石的承載能力。