張衡及其數(shù)學成就

吳文俊

張衡（78年-139年），字平子，河南南陽人，是中國歷史上著名的科學家.張衡青少年時期在京師洛陽游學，寫了一些文學作品.24歲時為南陽郡主簿;34歲成為京官郎中;38歲升為太史令，這是當時國家天文歷法機構(gòu)的最高官職;44歲為公車司馬令，6年后又復為太史令，最后升為尚書.

在兩度擔任太史令期間，張衡的科學研究卓有成效，他做過渾儀和渾象等天文儀器，制造過指南車，而他制造的候風地動儀則是我國科學史上的杰作.渾儀和渾象等天文儀器在中國影響深遠，可以說后來有關(guān)天文的儀器都是在張衡制作的基礎(chǔ)上改進和發(fā)展起來的.他著有《靈憲》《渾儀圖注》《漏水轉(zhuǎn)渾天儀注》《算罔論》等科學著作.其中的《算罔論》被認為是數(shù)學著作，但早已失傳，其內(nèi)容無法確知.

張衡研究過《九章算術(shù)》則是肯定的.《九章算術(shù)》卷四“少廣”第24題是：已知球的體積，求其直徑.但其求解的步驟（公式）很不精確，競有大于1/6的誤差.張衡是首先注意到這個問題并試圖將其解決的人.劉徽在對該題作注時，引了張衡的一段話，并對張衡進行了批評：“張衡算又謂立方為質(zhì)，立圓為渾.衡言質(zhì)之與中外之渾：六百七十五尺之面開方除之，不足一，謂外渾積二十六也，內(nèi)渾二十五之面，謂積五尺也，今徽令質(zhì)言中渾，渾又言質(zhì)，則二質(zhì)相與之率，猶衡二渾相與之率也.衡蓋亦先二質(zhì)之率推以言渾之率也.衡又言質(zhì)六十四之面，渾二十五之面.質(zhì)復言渾，謂居質(zhì)八分之五也.又云：方八之面，圓五之面.圓渾相推，知其復以圓困為方率，渾為圓率也，失之遠矣.衡說之自然，欲協(xié)其陰陽奇偶之說而不顧疏密矣.雖有文辭，斯亂道破義，病也，”

張衡為了敘述簡便，把立方叫做“質(zhì)”、立圓叫做“渾”.“張衡算”有可能是對張衡《算罔論》的簡稱.

參考白尚恕的今譯，對上面的大段文字作如下解釋：

那么問題就歸結(jié)到“以圓柱（高與直徑相等）為方率，其內(nèi)切球為圓率”上，即“以圓困為方率，渾為圓率”，于是劉徽指出：“失之遠矣.”劉徽認為，張衡失誤的原因在于他想?yún)f(xié)調(diào)陰陽、奇偶之說，而不考慮所得的結(jié)果是否精密，

雖然張衡的研究結(jié)果不可取，但是有兩點是可以肯定的：其一是所研究的問題來自《九章算術(shù)》，盡管現(xiàn)在沒有資料能直接地證明這一點，但他研究過《九章算術(shù)》則是可以肯定的，從張衡的地位和工作性質(zhì)可以看出，他看到《九章算術(shù)》是順理成章的事情.其二是張衡考慮問題的思路對后人有很大的啟發(fā)作用，為研究球的體積與直徑的關(guān)系開辟了新道路，

與上面的問題相聯(lián)系的還有圓周率問題.《九章算術(shù)》中的圓周率值為3，劉歆雖然用過新值，但未將其寫進《九章算術(shù)》.張衡在研究球的問題時已注意到了這一點.劉徽在注中說：“如按衡術(shù)，方周率八之面，圓周率五之面也.令方周六十四尺之面，即圓周四十尺之面也.又令徑一尺，方周四尺，自乘得十六尺之面，是為圓周率一十之面，而徑率一之面也.”