巧妙進行“1”的代換，快速解答證明題

劉遠桃

數(shù)字“1”，簡單而又神秘.在解數(shù)學題時，巧妙地進行“1”的代換，可快速求解證明題.下面，我們結合幾個例題來探討一下如何巧妙地進行“1”的代換.

一、乘（除）“1”

我們知道，任何數(shù)乘（除）以“1”等于任何數(shù).若某個代數(shù)式等于1，則可將所證目標式或者某個代數(shù)式乘（除）以“1”，這樣不僅不會改變目標式或者代數(shù)式的大小，還會改變目標式或者代數(shù)式的結構、形式，這便給我們解題帶來了新的契機.通過通分、約分、正負相消等，化簡目標式或者代數(shù)式，即可證明結論.

二、將等于“1”的式子代入求解

該思路比較簡單，只需根據(jù)解題需求，將等于“1”的代數(shù)式直接代人目標式或者某個代數(shù)式中進行運算，運用一些相關的定理、法則、公式等，即可證明結論.

三、變換等于“1”的式子，再代入求解

變換等于“1”的式子，一般難度較大.往往需要根據(jù)解題需求，將等于1的代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?，如湊系?shù)、乘（除）以某一常數(shù)、拆項、添項等，使等于1的代數(shù)式變形為方便解題的式子.

將不等式左邊的式子化簡為只含有?；?的式子，再來求最小值，這與例1的證明思路相同，這也是證明這種題型的常規(guī)思路，理論上說可行，但就此題而言，這種證明方法卻較為繁瑣，主要有兩個原因：一是a與b的表達式比較復雜，二是代人的式子本身比較復雜，因此不能同例1那樣直接乘“1”，而是要變“1”，采用整體思想，進行代人和換元，把式子轉化為只含有一個未知數(shù)的形式，再來求最小值.

四、構造出等于“1”的式子，再代入求解

要構造出等于“1”的式子，需根據(jù)解題需求、已知條件、相關的公式、定理、法則等構造出等于1的代數(shù)式，然后將其代人題設中進行求解. 此題有一定難度.首先設a+b+c+d=1，這便構造出等于“1”的式子，再運用琴生不等式進行證明即可.這種證明方法在證明不等式時應用廣泛，不失為一種具有普遍意義的解題方法.

通過上述分析，不難發(fā)現(xiàn)“1”在解題中能發(fā)揮巨大的作用，但數(shù)字“1”是比較容易被忽視的，忽視它往往就會錯失了解題的重要依據(jù).這也給我們一個啟示：在解題過程中要仔細審題，深入挖掘隱含條件，尤其要關注等于“1”的式子，找到過程最簡潔的解題方案.

（作者單位：貴州師范大學數(shù)學科學學院）