基于分布階Maxwell的黏彈性阻尼材料溫頻特性研究

秦 園，董志飛，李占龍，王 瑤，石 欣

（1.太原科技大學(xué)交通與物流學(xué)院，山西太原 030024；2.太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西太原 030024；3.太原重工股份有限公司太重技術(shù)中心，山西太原 030024）

黏彈性阻尼材料具有良好的耗能能力且制造維護(hù)成本相對(duì)低廉，常作為振動(dòng)控制材料，用于工程機(jī)械、軍用特種車輛、航空航天等領(lǐng)域［1-3］。黏彈性阻尼材料是由大量小分子單體以化學(xué)鍵結(jié)合而成的大分子化合物，其微觀組成及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定了材料力學(xué)行為和阻尼特性。因其服役條件復(fù)雜，黏彈性材料在變形過程中往往受到溫度、頻率、振幅等外界條件的影響，表現(xiàn)出溫頻相關(guān)的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性［4］。本文精確可靠地描述寬溫寬頻下的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)行為，為黏彈性阻尼材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供重要理論依據(jù)。

隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展，其在黏彈性本構(gòu)模型中的應(yīng)用潛力受到大量學(xué)者的廣泛關(guān)注［5］。Nutting［6］和Gemant［7］最早以分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型描述黏彈性材料本構(gòu)關(guān)系。為描述黏彈性阻尼材料高頻特性和不對(duì)稱的損耗因子峰，Pritz［8］構(gòu)建了五參數(shù)的分?jǐn)?shù)階模型，定義了模型參數(shù)的物理意義，分析表明材料的黏彈特性取決于應(yīng)力和應(yīng)變的分布階數(shù)。Koeller［9］證明了分?jǐn)?shù)階方程中階數(shù)可表征黏彈性材料由固態(tài)到液態(tài)的變化。高洪波等［10］建立了基于分?jǐn)?shù)階理論的三參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型，對(duì)黏彈性材料的動(dòng)態(tài)模量進(jìn)行了參數(shù)分析。羅文波等［11］基于分?jǐn)?shù)階微分Zener 模型，提出了一種改進(jìn)的分mFDZ 模型，分析了瀝青混合料動(dòng)態(tài)黏彈性能。因其全局相關(guān)性，分?jǐn)?shù)階微積分能夠描述黏彈性材料的歷史依賴性［12］，然而常分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型對(duì)寬溫寬頻下黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的表征精度尚有待提高。

為精確描述寬溫寬頻下的黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)行為，本文將構(gòu)建黏彈性分布階Maxwell本構(gòu)模型，推導(dǎo)分布階動(dòng)態(tài)性能參量，開展參量特征分析；以硅橡膠為對(duì)象開展動(dòng)態(tài)熱機(jī)械分析儀（dynamic mechanical anyalysis，DMA）實(shí)驗(yàn)，探究材料變溫變頻動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，同時(shí)驗(yàn)證該模型的有效性。

1 分布階Maxwell本構(gòu)模型

變溫變頻條件下，黏彈性材料表現(xiàn)出不同的物理狀態(tài)，如橡膠態(tài)、玻璃態(tài)和黏流態(tài)，即黏彈性材料具有動(dòng)態(tài)的本構(gòu)力學(xué)特性。常分?jǐn)?shù)階模型可描述一定時(shí)頻域范圍的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性，然而對(duì)寬溫寬頻下的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)特性表征存在局限，本文將階數(shù)分布取值，構(gòu)建分布階黏彈性本構(gòu)模型，以實(shí)現(xiàn)對(duì)其動(dòng)態(tài)溫頻特性的準(zhǔn)確表征，如圖1所示。

圖1 材料性能隨溫度和頻率的變化趨勢(shì)Fig.1 Properties with temperature and frequency

基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，采用分布階黏彈元件取代經(jīng)典整數(shù)階模型中的牛頓體元件，構(gòu)建黏彈性材料分布階本構(gòu)模型，其一般表達(dá)式為

式中：P、Q為分布階本構(gòu)算子，表征黏彈性材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)中應(yīng)力參量和應(yīng)變參量的分布階關(guān)系。其形式為

采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義［13］：

式中：n=[αmi]，[βnj]，n-1 ＜αmi，βnj≤n。

為體現(xiàn)分布階數(shù)αmi、βnj與黏彈特性存在映射關(guān)系，將階數(shù)αmi、βnj取為分布函數(shù)以體現(xiàn)黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)行為的階段性，即

分布階Maxwell 模型（distributed fractional order maxwell model，DFM）由彈性元k和分布階阻尼元c，αmi，βnj兩者串聯(lián)組成，如圖2（a）所示。串聯(lián)結(jié)構(gòu)的DFM模型總應(yīng)力與彈性元、分布階阻尼元的應(yīng)力均相等，即σ=σe=σf，亦可得Fd=σA=σeA=σfA；而其總應(yīng)變是彈性元和分布階阻尼元兩者的應(yīng)變之和，即ε=εe+εf。此時(shí)，分布階本構(gòu)算子參數(shù)為n=1，m=1，p0=1，p1=c/k，q0=0，q1=c，α0i=0，α1i=αi，β0j=0，β1j=βj，可得DFM本構(gòu)方程為

特別地，當(dāng)αi=0，βj=0 時(shí)，分布階黏彈元件服從胡克定律，即為純彈性元件；當(dāng)αi=1，βj=0 時(shí)，服從牛頓常黏度定律，即為純黏性元件，如圖2（b）所示。

圖2 DFM模型和分布階黏彈元件Fig.2 DFM model and distributed-order component

2 黏彈性材料動(dòng)態(tài)溫頻特性

2.1 分布階動(dòng)態(tài)性能參量

對(duì)DFM 本構(gòu)方程式（6）進(jìn)行拉普拉斯變換，可得其動(dòng)態(tài)復(fù)模量為

分離復(fù)模量的實(shí)部和虛部獲得以下動(dòng)態(tài)性能參量：

儲(chǔ)能模量為

耗能模量為

損耗因子為

2.2 參量特征分析

靈敏度分析是研究系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)或周圍條件變化敏感程度的方法，本文采用解析法開展靈敏度分析，探究本構(gòu)參數(shù)變化對(duì)黏彈性材料動(dòng)態(tài)性能參量的影響規(guī)律。

DFM 模型的儲(chǔ)能模量Ed、耗能模量El、損耗因子η對(duì)階數(shù)αi的靈敏度分別為

儲(chǔ)能模量Ed、耗能模量El、損耗因子η對(duì)βj的靈敏度為

式中：A= cos(αiπ/2)；B= sin(αiπ/2)；C=cos[(αi-βj)π/2]；D= sin[(αi-βj)π/2]；E=cos(βjπ/2)；F= sin(βjπ/2)。

依據(jù)式（11）～式（16），可獲得動(dòng)態(tài)性能參量Ed、El和η對(duì)階數(shù)αi、βj的靈敏度變化趨勢(shì)。在頻率為1～103Hz 范圍，階數(shù)αi取值0.1～0.4 時(shí)，LEd，αi、LEl，αi和Lη，αi均處于正值，即三者與階數(shù)αi呈正相關(guān)；隨頻率升高，三者均呈增大趨勢(shì)。階數(shù)βj取值0.1～0.4時(shí)，LEd，βj、LEl，βj和Lη，βj均處于負(fù)值，即三者與階數(shù)βj呈負(fù)相關(guān)。隨頻率升高，LEd，βj、LEl，βj（βj=0.4 時(shí)除外）和Lη，βj均為負(fù)值，但其絕對(duì)值整體均呈增大趨勢(shì)，而相比LEd，βj，LEl，βj的絕對(duì)值受階數(shù)βj的影響較小。

3 變溫變頻動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)

3.1 DMA實(shí)驗(yàn)方案

以隔振硅橡膠為研究對(duì)象，采用德國NETZSCH 耐馳的DMA 開展變溫變頻動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)。選用雙懸臂模式，實(shí)驗(yàn)溫度為-5～70 ℃，升溫間隔5 ℃，激振頻率選用1.0/1.667/2.0/2.5/3.333/5.0/10.0/16.666/20.0 Hz，為避免過快升溫導(dǎo)致的試樣溫度分布不均勻，升溫速率設(shè)置為2 K/min；絕對(duì)目標(biāo)振幅為40 μm，最大動(dòng)態(tài)力為8 N。試樣尺寸為L×b×h=36 mm×10 mm×2 mm。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

由硅橡膠的DMA 實(shí)驗(yàn)頻率譜可知，硅橡膠的儲(chǔ)能模量Ed、耗能模量El和損耗因子η均隨頻率的增加而增加，且三者均漸趨于定值。頻率對(duì)黏彈性材料性能的影響實(shí)質(zhì)上是分子鏈松弛時(shí)間與應(yīng)力作用時(shí)間、觀察時(shí)間的關(guān)系。①頻率f較小時(shí)，應(yīng)力變化緩慢，分子鏈段有足夠時(shí)間進(jìn)行構(gòu)象轉(zhuǎn)變和解纏結(jié)或松弛，視為可自由運(yùn)動(dòng)，變形易發(fā)生，且鏈段間滑移和摩擦較小，即Ed、El和η三者的值均較小。②隨著頻率f的增大，分子鏈段運(yùn)動(dòng)逐漸趕不上應(yīng)力的變化，視為一定約束下的有限運(yùn)動(dòng)，內(nèi)耗較大，即Ed、El和η均呈增大趨勢(shì)；③隨頻率f的進(jìn)一步增大，預(yù)測(cè)分子鏈構(gòu)象轉(zhuǎn)變和解纏結(jié)或松弛來不及發(fā)生，視為被“凍結(jié)”，即Ed增大，而El和η減小，因本次測(cè)試頻段有限，頻率譜未出現(xiàn)該變化趨勢(shì)。

3.3 模型驗(yàn)證

采用DFM 模型和常分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型（FMM 模型）分別對(duì)硅橡膠DMA 實(shí)驗(yàn)頻率譜進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖3所示，模型參數(shù)見表1。

圖3 DMA實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型擬合Fig.3 DMA experimental results and model fitting

表1 硅橡膠DFM模型參數(shù)Tab.1 Parameters of DFM model for SR

DFM 模型的階數(shù)αi和βj能夠反映不同頻率下材料的黏彈特性，且階數(shù)αi與材料黏性比例呈強(qiáng)正相關(guān)，而階數(shù)βj與材料黏性比例呈弱負(fù)相關(guān)。溫度一定時(shí)，儲(chǔ)能模量的階數(shù)βj取值不變，對(duì)應(yīng)10～20 Hz 時(shí)的階數(shù)αi比1～10 Hz 時(shí)略有增大；而耗能模量對(duì)應(yīng)10～20 Hz時(shí)的階數(shù)αi比1～10 Hz時(shí)略有減小。在t=-5～45 ℃范圍，儲(chǔ)能模量和耗能模量所對(duì)應(yīng)的階數(shù)αi和βj均隨溫度的升高而減小。綜上，階數(shù)αi和βj可體現(xiàn)黏彈性材料具有的“彈黏”中間形態(tài)與其動(dòng)態(tài)力學(xué)特性變化。

選取均方根（RMSE）作為誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)，DFM模型和FMM 模型的擬合誤差RMSE 值見表2，DFM 模型關(guān)于儲(chǔ)能模量和耗能模量的擬合誤差RMSE 值均低于FMM 模型?？梢?，DFM 模型對(duì)DMA 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的擬合精度較高，能夠準(zhǔn)確表征寬溫寬頻條件下的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。

表2 硅橡膠DFM模型的RMSE值Tab.2 RMSE of DFM model for SR

4 結(jié)語

本文構(gòu)建了黏彈性材料分布階DFM 本構(gòu)模型，并推導(dǎo)了分布階動(dòng)態(tài)性能參量表達(dá)式，開展了動(dòng)態(tài)參量特征分析，揭示了模型參數(shù)與黏彈性材料動(dòng)態(tài)溫頻特性的映射關(guān)系。階數(shù)αi對(duì)儲(chǔ)能模量、耗能模量及損耗因子的影響均較大，與三者呈正相關(guān)；而階數(shù)βj與三者呈負(fù)相關(guān)，其影響較小。分析表明，DFM 模型能夠很好地反映黏彈性材料同時(shí)具有彈性固體和黏性流體的性質(zhì)，具有廣泛的表征能力，可為黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)特性分析提供理論依據(jù)。在DMA 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上開展了硅橡膠變溫變頻動(dòng)態(tài)力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了分布階本構(gòu)模型DFM對(duì)黏彈性材料動(dòng)態(tài)性能參量的擬合精度高，能夠準(zhǔn)確表征寬溫寬頻條件下的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。下一步將基于本文方法研究極端環(huán)境下的黏彈性系統(tǒng)服役性能。