選用合適的方法，求動點的軌跡方程

張中正

求動點的軌跡方程問題經(jīng)常出現(xiàn)在圓錐曲線問題中.此類問題的命題形式多樣，求解方法眾多，如直接法、定義法、代人法、參數(shù)法、交軌法、待定系數(shù)法等.筆者對其中五種方法進(jìn)行了歸納，希望對大家有所幫助.

一、直接法

直接法是求動點的軌跡方程的基本方法.運用直接法解題的思路為：建系——設(shè)點——列式——代換——化簡——證明或檢驗結(jié)果.在求動點的軌跡方程時，要仔細(xì)分析題意，找出動點所滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，然后列出有關(guān)動點坐標(biāo)的關(guān)系式.

解答本題可采用直接法，先設(shè)出動點坐標(biāo)，根據(jù)已知關(guān)系式得出關(guān)于P點坐標(biāo)的關(guān)系式，化簡該式，就得到了動點的軌跡方程.

二、定義法

有時根據(jù)題意的條件可判斷出動點軌跡為圓、雙曲線、橢圓、拋物線，此時可利用定義法，根據(jù)圓、雙曲線、橢圓、拋物線的定義設(shè)出動點的軌跡方程，將相關(guān)的參數(shù)代人圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，即可求得動點的軌跡方程.

三、代入法

代人法，也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法或相關(guān)點法.若動點隨著另一個動點的變化而變化，則需采用代人法求解.首先設(shè)出動點和相關(guān)點的坐標(biāo)，利用所給條件建立這兩點坐標(biāo)之間的聯(lián)系，用動點的坐標(biāo)表示相關(guān)點，再將相關(guān)點的坐標(biāo)代人所滿足的方程中并進(jìn)行化簡，就得到了動點的軌跡方程

仔細(xì)分析題意可以發(fā)現(xiàn)，動點P隨著動點M的變化而變化，因此本題需采用相關(guān)點法求解.設(shè)出兩個動點的坐標(biāo)，根據(jù)二者之間的關(guān)系建立關(guān)系式，將點M的坐標(biāo)代人方程中，就可求得動點的軌跡方程.

四、參數(shù)法

參數(shù)法是解答圓錐曲線問題的常用方法.在解題時，根據(jù)題意設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，如直線的斜率、方程、圓錐曲線的方程、點的坐標(biāo)等，然后將參數(shù)代人題設(shè)中進(jìn)行求解，通過代換、消元、化簡，求得動點的軌跡方程， 若所給的條件中有許多參變量，可先將待求動點的坐標(biāo)用其他相關(guān)的參數(shù)表示出來，再消去參數(shù)，從而建立關(guān)于x、y關(guān)系式.特別需注意參數(shù)對x、y的影響，這是消去參數(shù)后確定軌跡范圍的重要依據(jù).

五、交軌法

如果動點是兩條曲線的交點，就可以采用交軌法來求解.因為動點為兩條曲線的公共點，那么動點的坐標(biāo)滿足兩條曲線的方程，因此在求動點的軌跡方程時，可將兩條曲線的方程中的參數(shù)消去，得到關(guān)于x、y的方程，即可得到動點的軌跡方程.

運用交軌法求動點的軌跡方程，關(guān)鍵是求出確定動點軌跡的兩個含參數(shù)的曲線方程，消去參數(shù)即可解題.

求動點的軌跡方程，關(guān)鍵是找到與動點相關(guān)的幾何關(guān)系或數(shù)量關(guān)系，建立符合條件的動點的坐標(biāo)的關(guān)系式，可直接設(shè)點建立關(guān)系式，利用直接法求解;也可根據(jù)圓錐曲線的定義建立幾何關(guān)系，采用定義法求解;也可根據(jù)相關(guān)點建立關(guān)系式，采用代人法求解;也可設(shè)出參數(shù)，采用參數(shù)法求解;還可以根據(jù)曲線的方程建立關(guān)系式，利用交軌法求解.同學(xué)們可根據(jù)解題需求，選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解.

（作者單位：山東省聊城第三中學(xué)）