運(yùn)用逆向思維巧解數(shù)學(xué)問題

封回美

【摘要】逆向思維能夠解放學(xué)生的思維方式，能夠加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度與深度;靈活應(yīng)用逆向思維有利于優(yōu)化初中解題教學(xué)的質(zhì)量與效率.因此，數(shù)學(xué)教師要從概念、公式、解題方式等多角度出發(fā)，指導(dǎo)學(xué)生從對立面發(fā)散思維，從求解倒推回已知條件，從而另辟蹊徑，以逆向的思路來輕松解決難題，從最本質(zhì)的角度提升學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】逆向思維;解題能力;發(fā)散思維

多數(shù)初中生經(jīng)過長時(shí)間系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步形成了自己固定的思維方式.而在數(shù)學(xué)解題中，這種一成不變的定式思維容易禁錮學(xué)生的解題靈感，使得數(shù)學(xué)解題思路復(fù)雜化.針對這種問題，教師要指導(dǎo)學(xué)生從對立面發(fā)散思維，從求解倒推回已知條件，從而另辟蹊徑，以逆向的思路來輕松解決難題.由此可見，靈活應(yīng)用逆向思維有利于優(yōu)化初中解題教學(xué)的質(zhì)量與效率，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度與廣度.

本文例舉了利用逆向思維解題的典型例題，綜合分析，提出了在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的可行策略.

1 逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

相比傳統(tǒng)的思維方式，逆向思維更能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，有利于打破僵化的解題模板，進(jìn)而拓寬數(shù)學(xué)課程的邊界，開辟全新的解題思路.學(xué)生利用逆向思維進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，能夠?qū)⒔忸}條件化隱為顯，將數(shù)學(xué)問題化難為易，將解題思路化繁為簡，從而高效提升數(shù)學(xué)解題的效率與準(zhǔn)確性.逆向思維已經(jīng)深入滲透著初中數(shù)學(xué)題的各個(gè)領(lǐng)域之中，發(fā)揮著不可替代的重要作用.本文從三角形相關(guān)問題、不等式和一次函數(shù)這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，簡單分析利用逆向思維解題的典型例題.

1.1 利用逆向思維，巧解不等式

以不等式問題的解題教學(xué)為例，教師可以充分利用逆向思維，按照反設(shè)-歸謬-結(jié)論的步驟，證明結(jié)論的可行性.

例如設(shè)x，y都是正數(shù)，且x+y>2，試用反證法證明1+x<2y和1+y<2x中，至少有一個(gè)成立.

證明 假設(shè)1+x<2y和1+y<2x都不成立，則有+x≥2y和1+y≥2x，

將兩式相加得 2+（x+y）≥2（x+y），

所以x+y≤2，這與x+y>2矛盾，

所以1+x<2y和1+y<2x中至少有一個(gè)成立.

1.2 利用逆向思維，巧解三角形問題

在解決三角形相關(guān)問題的過程中，逆向思維能幫助學(xué)生更好地拓展思路，根據(jù)題目的求解與特點(diǎn)，來靈活巧妙地運(yùn)用相關(guān)的定理與性質(zhì).教師可以以勾股定理逆定理這一教學(xué)內(nèi)容為例，向?qū)W生分析逆向思維的具體應(yīng)用.勾股定理逆定理從勾股定理的對立面進(jìn)行思考，充分體現(xiàn)了逆向思維，幫助我們更靈活高效地判定直角三角形.

例如已知△ABC，三邊長分別是a、b、c，a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n>0），求證△ABC是直角三角形.

證明 因?yàn)閚>0，

所以2n2+2n+1>2n2+2n>2n+1，

即c>b>a，

又因?yàn)閍2+b2=（2n+1）2+（2n2+2n）2

=4n4+8n3+8n2+4n+1，

c2=（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，

所以a2+b2=c2 ，

根據(jù)勾股定理思維逆命題可得，△ABC是直角三角形.

1.3 利用逆向思維，巧解一次函數(shù)

一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)是初中數(shù)學(xué)課程的重難點(diǎn).由于初中生尚未形成系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)思維，難以靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)公式，因此多數(shù)學(xué)生難以深入掌握一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，無法快速解答一次函數(shù)的相關(guān)問題.針對這個(gè)教學(xué)問題，教師便可以指導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維，幫助學(xué)生深化對于一次函數(shù)知識(shí)的理解與掌握.

例如 以“當(dāng)k>0時(shí)直線經(jīng)過第一、三象限，由左到右遞進(jìn)上升;當(dāng)k<0時(shí)，經(jīng)過第二、四象限，由左到右下降”這一定義法則為例，教師可以指導(dǎo)學(xué)生先掌握該定義法則.再利用逆向思維，將其轉(zhuǎn)換為“直線經(jīng)過一、三象限時(shí)，由左到右上升，k>0;直線經(jīng)過第二、四象限時(shí)，由左到右下降，k<0.”從而有效鍛煉學(xué)生的逆向思維，幫助學(xué)生高效解題.

2 在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的可行策略

2.1從基礎(chǔ)概念出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維

逆向思維的培養(yǎng)要細(xì)化到數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)之中.基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)是初中數(shù)學(xué)課程的重要環(huán)節(jié).教師在傳授數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念時(shí)，要深入分析知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵與外延.

對于部分具有互逆性、雙面性的數(shù)學(xué)概念，教師可以采用“先正后逆”的教學(xué)方法，指導(dǎo)學(xué)生雙向思考，深化學(xué)生對概念的理解與掌握.并打破學(xué)生的定式思維，培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考的解題習(xí)慣.這不僅僅能夠優(yōu)化初中數(shù)學(xué)理論教學(xué)的質(zhì)量，還能夠鍛煉學(xué)生思維的靈活性與廣泛性，在本質(zhì)上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

例如 “相反數(shù)”這一教學(xué)內(nèi)容，教師便可以從正反兩個(gè)角度進(jìn)行設(shè)問：“7的相反數(shù)是什么？”、“0.3的相反數(shù)是什么.”、“-4和什么互為相反數(shù).”這能促進(jìn)學(xué)生更全面地理解相反數(shù)的概念，從而熟練地求出一個(gè)已知數(shù)的相反數(shù).

例如 一元二次方程這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)過程中，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個(gè)角度來理解“根”的概念.教師要先找準(zhǔn)教學(xué)切入點(diǎn)，從正向角度出發(fā)，分析基礎(chǔ)概念：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，則ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0.進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維，從反向教學(xué)出發(fā)，分析基礎(chǔ)概念：若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，則x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根.比起傳統(tǒng)的單向教學(xué)，“先正后逆”的策略能在日常的基礎(chǔ)教學(xué)中循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生形成辯證思考的解題習(xí)慣，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性與全面性.

2.2從數(shù)學(xué)公式出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中數(shù)學(xué)公式發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的必要工具.數(shù)學(xué)公式的內(nèi)容是一成不變的，但數(shù)學(xué)公式的形式卻是千變?nèi)f化的.倘若學(xué)生懂得靈活變換公式，就能夠快速找準(zhǔn)破題點(diǎn)，高效解決數(shù)學(xué)難題.然而多數(shù)學(xué)生的公式運(yùn)用能力有限，他們對于數(shù)學(xué)公式的掌握僅僅止于機(jī)械記憶，而沒有正確認(rèn)識(shí)公式的雙向性，難以得心應(yīng)手地運(yùn)用公式，無法充分發(fā)揮數(shù)學(xué)公式在解題中的作用.

針對這個(gè)問題，教師便應(yīng)該加強(qiáng)逆向指導(dǎo)，通過變式的手段來鍛煉學(xué)生的逆向思維，幫助學(xué)生開展深層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

例如平方差公式的教學(xué)過程中，學(xué)生倘若只是死記硬背，將難以高效的運(yùn)用.因此教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生將公式a2-b2=（a+b）（a-b），轉(zhuǎn)化為a2-b2= a2-ab+ab-b2，再消去-ab、ab兩項(xiàng).通過簡單的逆向推導(dǎo)，使得抽象的公式變得一目了然，在鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也培養(yǎng)了逆向思維.

例如 在正弦定理的教學(xué)過程中，教師可以先進(jìn)行驗(yàn)證推導(dǎo)，得出正弦定理公式：asinA=bsinB=csinC= 2，r=D.幫助學(xué)生初步掌握正弦定理的內(nèi)在規(guī)律.進(jìn)而循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散逆向思維，開展多維度的分析思考，要求學(xué)生思考正弦定理的變式形式.

最后，教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)言，認(rèn)真傾聽學(xué)生的回答.進(jìn)行梳理總結(jié)，列出正弦定理的所有變式形式;

1、a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;

2、asinB=bsinA;bsinC=csinB;asinC=csinA;

3、a：b：c=sinA：sinB：sinC.

從而給予學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，有效開拓學(xué)生的思路，幫助學(xué)生將所學(xué)知識(shí)吸收內(nèi)化為自身能力.

2.3 從解題方法出發(fā)，鍛煉學(xué)生逆向思維

在傳統(tǒng)的填鴨式教育中數(shù)學(xué)解題教學(xué)普遍存在模板化的問題.這便嚴(yán)重導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生的解題思路被模板所禁錮，缺乏創(chuàng)新與多樣性.在解題過程中，學(xué)生常常因?yàn)樗季S的僵硬固化，而沒有靈活運(yùn)用逆向思維，使得解題效率低下.因此教師必須打破模板，傳授給學(xué)生多元化的解題方法，指導(dǎo)學(xué)生正確應(yīng)用逆向思維.

一是反證法.反證法是一種間接證法，其巧妙地應(yīng)用了逆向思維，能夠構(gòu)建快捷高效的解題思路.反證法通過提出結(jié)論的對立面來制造矛盾，例如與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設(shè)矛盾;自相矛盾.進(jìn)而分析矛盾，證明結(jié)論的對立面的不可行性，從而來證明結(jié)論的可行性.教師要指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握反證法，按照反設(shè)-歸謬-結(jié)論的步驟，將其靈活應(yīng)用至代數(shù)、立體幾何、解析幾何等等知識(shí)領(lǐng)域.

二是舉反例法.在判斷數(shù)學(xué)命題時(shí)，只要可以舉出該命題的反例，便能證明該命題為假.教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過文字、數(shù)據(jù)和圖形這三個(gè)形式，舉出簡單、清晰、有力的反例，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生辯證地思考數(shù)學(xué)問題.

三是倒推分析法.正向思維和逆向思維兩者密不可分、相輔相成.教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生先應(yīng)用正向思維進(jìn)行思考，進(jìn)而在正向思維的基礎(chǔ)上合理應(yīng)用逆向思維.

例如 當(dāng)學(xué)生應(yīng)用正向思維解題遇到困難時(shí)，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生采取倒推分析法，從結(jié)論出發(fā)，分析充分條件，最后倒推至已知條件來反向證明結(jié)論.學(xué)生掌握了這三種解題方法，便能做到雙管齊下，從正反兩個(gè)角度出發(fā)，利用發(fā)散性思維與創(chuàng)造性思維，高效開展數(shù)學(xué)解題.進(jìn)而充分鍛煉自身數(shù)學(xué)思維的深刻性與條理性，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)自身的逆向思維.

2.4 從解題運(yùn)算出發(fā)，鍛煉學(xué)生逆向思維

運(yùn)算是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵步驟，其在極大程度上影響著學(xué)生的解題效率與解題準(zhǔn)確性.而逆向思維被廣泛應(yīng)用至初中數(shù)學(xué)解題運(yùn)算步驟之中.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生了解運(yùn)算方式之間的互逆關(guān)系，幫助學(xué)生利用逆向思維，更加靈活高效地開展數(shù)學(xué)運(yùn)算.

例如（1）已知∣a-2∣+（b-3）2=0，求代數(shù)式a2+3ab-b3的值.

（2）已知x2+x-1=0，求代數(shù)式2x3+4x2+3的值.

分析 （1）先應(yīng)用非負(fù)數(shù)的知識(shí)，求出a、b后，再直接把a(bǔ)、b的值代入式子就可以求值了，這使用了直接代入的方法.（2）如果用同樣的方法則很繁瑣，如果用和（1）逆向的思維方法，考慮整體代入，先把已知變?yōu)閤2+x=1，再把2x3+4x2+3作如下的變化逐步代入：2x3+4x2+3=2x3+2 x2+2 x2+3=2x（x2+x）+ 2 x2+3=2x+2 x2+3=2（x2+x）+3=5.這里在代入的方法上，一個(gè)是直接代入字母的數(shù)值，另一個(gè)是不求出x的值，而是求出x的代數(shù)式的值，這是互逆的兩種思維方法.

除此之外，逆向思維還被廣泛應(yīng)用于加、減、乘、除、多項(xiàng)式乘法等等運(yùn)算方法之中，其具有不可替代的解題優(yōu)勢.教師必須加強(qiáng)解題運(yùn)算訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握多元的運(yùn)算方式，在無形之中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)化的逆向思維模式.

逆向思維能靈活運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是學(xué)生解題過程中必不可少的工具.逆向思維能夠打破填鴨式教學(xué)下學(xué)生僵化的思維方式，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度與深度.因此教師必須從概念、公式、解題方式等多角度出發(fā)，強(qiáng)化逆向指導(dǎo)，從最本質(zhì)的角度提升學(xué)生的解題能力.

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