線段長(zhǎng)度問(wèn)題的求解策略探析

盧怦卉 高明

【摘要】數(shù)學(xué)中考試題廣泛而深刻，其解答方式千變?nèi)f化，教師應(yīng)有意識(shí)讓學(xué)生從多種角度思考問(wèn)題，拓展解題思路，優(yōu)化解題技巧.線段長(zhǎng)度問(wèn)題一直以來(lái)都是中考熱點(diǎn)，本文以“數(shù)”、“形”為基礎(chǔ)，結(jié)合代數(shù)、幾何知識(shí)，多角度探究解決這類問(wèn)題的策略，以簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】解題思路;幾何知識(shí);解題步驟

試題再現(xiàn) （2021 成都市中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y= 33x+2 33與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，則弦AB的長(zhǎng)度為 .

1 巧借“三角”，解三角

如圖2設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D.

y= 33x+2 33與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)，則A（0，-2），C（0，2 33）.

則OC=2 33，OA=2，Rt△AOC的正切為 33，則∠CAO=30°;

結(jié)合Rt△AOD，求得AD= 3，由垂徑定理可得AB=2 3.

另解 過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E（圖3），由y= 33x+2 33 ①=1＼*GB3，

圓的方程為 x2+y2=4（OA=r=2） ②=2＼*GB3聯(lián)立①=1＼*GB3②=2＼*GB3可求出B（1， 3），則E（1，0），AE=3，

由上述可知∠BAE=30°，AB=2 3.

2 巧借“勾股”，求弦長(zhǎng)

如圖3由探究1得∠BAE=30°，則ODAD= 33.

在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，

OD= 33AD，得AD= 3，

AB=2 3.

3 巧借相似，解比例尺

如圖4設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E，易知OA=2，OC=2 33.

在Rt△AOC中，OA2+OC2=AC2，

得AC=4 33.

易證△AOD∽△AOC，則AOAC=ADAO，AD= 3，所以AB=2 3.

同理，我們可以證明△AOD～△ABE，這里不做詳細(xì)贅述.

除了利用相似三角形線段相似比求解線段長(zhǎng)度，本題還可以利用相似三角形的面積比求解，易證：△AOD∽△ABE，所以S△AODS△ABE=OD2BE2=13 ，故S△AOD= 32，最后根據(jù)三角形面積公式得到AB=2 3

4 巧借面積，求高線

如圖5過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，連接BO，在△AOB中，

AO=2，h= 3，所以S△AOB= 3.

結(jié)合法1的結(jié)果和特殊的銳角函數(shù)值，

在Rt△AOD中，OD=1，根據(jù)三角形面積公式得AB=2 3.

補(bǔ)充 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

R2=（x1-x2）2+（y1-y2）2.

【基金項(xiàng)目：基于核心素養(yǎng)下的《初等代數(shù)研究》課程開(kāi)發(fā)，西華師范大學(xué)2018教改項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)403350】

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