如何正確解決高中數(shù)學(xué)問題

周紅文

【摘 要】 在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)階段，學(xué)生最難面對的便是解答數(shù)學(xué)問題這一環(huán)節(jié)，學(xué)生只有合理地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想以及解題方法，才可以得到更高效的解題結(jié)果.本文從數(shù)形結(jié)合、函數(shù)教學(xué)、解析幾何這三個數(shù)學(xué)問題領(lǐng)域出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生具體解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，進而幫助他們掌握更好的解題技巧與方法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】 高中教學(xué);人教版;解決問題

1 前言

下文將以人教版2019高中數(shù)學(xué)教材為例，展開詳細的研討，幫助學(xué)生掌握更多的解題思路和技巧方法，使其不再被數(shù)學(xué)問題所難倒，并逐漸提升他們的學(xué)習(xí)成效.

2 借助“數(shù)形結(jié)合”，解決數(shù)學(xué)問題

數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想通常運用在探究函數(shù)和圖像、曲線和方程等系列內(nèi)容當中，學(xué)生在解決這類數(shù)學(xué)問題的時候，采用數(shù)形結(jié)合的思想不但可以輕松地尋找到解題的思路，而且還可以避免繁雜的計算步驟，以提升解題的時效.數(shù)形結(jié)合不僅對學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題具有一定的幫助，同時也能夠幫助教師指出全新的教學(xué)方向，從而增加數(shù)學(xué)課堂的趣味性，不斷引發(fā)學(xué)生的解題欲望[1].

例如 在進行求解函數(shù)最大值和最小值的數(shù)學(xué)問題時，通常學(xué)生會考慮有沒有定義域，進而逐步算出答案.另外，還有一些學(xué)生對二次函數(shù)單調(diào)性這方面的知識點沒有掌握充分，一般只會采用死記硬背的方法來解決數(shù)學(xué)問題，結(jié)果自然不會理想.為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的思想，讓他們先把二次函數(shù)圖像在平面坐標系中標畫出來，那么便可以對數(shù)學(xué)問題一目了然.這種圖文合一的解題方法，無疑指明了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的前進道路.如，當學(xué)生在求解f（x2）這一數(shù)學(xué)問題當中，假如他們只是采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，那么會不知從哪下手.由于學(xué)生不知x該怎樣取值，這時教師就要利用數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生進行畫圖以及解析題干，進而解決問題：如圖1所示，y=ax2（a>0），通過圖像我們能夠得知這個函數(shù)是一個以y軸為對稱軸，并且開口向上經(jīng)過點O（0，0）的拋物線圖像.當x<0時，函數(shù)圖像將呈遞減的特性;當x>0時，函數(shù)圖像則為遞增特性.學(xué)生通過自己畫出對應(yīng)的函數(shù)圖像，便可以清晰的尋找到解決數(shù)學(xué)問題的方向，再加上系列運算，最后得出整個解題的經(jīng)過.

3 妙用“函數(shù)教學(xué)”，解決數(shù)學(xué)問題

不管是函數(shù)教學(xué)，還是數(shù)學(xué)公式定理課程教學(xué)，教師都能夠采用適當?shù)闹v解方式進行授課.首先，教師可以觀察到學(xué)生實際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)以及解題過程，并根據(jù)他們的改變而進行變動;同時，教師還要重視指引學(xué)生對函數(shù)對象本質(zhì)內(nèi)容的理解與運用;其次，教師還要實際為學(xué)生提供多個回答數(shù)學(xué)問題的機會，進一步調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性，預(yù)防學(xué)生被動的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識點;此外，教師更應(yīng)該適當?shù)貙W(xué)生進行啟發(fā)，既可以引發(fā)他們的思考，又能夠節(jié)省課堂時間，并在課程的最后留下新的數(shù)學(xué)問題，從而引發(fā)學(xué)生的課后探究[2].

例如 教師在為學(xué)生講解兩角和與差的正弦、余弦、正切內(nèi)容時，應(yīng)該注意及時強調(diào)推理和記憶相結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，以更好地幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題.在講解過程中，教師首先要向?qū)W生說明余弦公式，并可用單元圓來證實這一公式，進而引導(dǎo)他們一一推出其他的數(shù)學(xué)公式.具體內(nèi)容如下：

在單位圓中做出∠α，接著再順、逆時針方向依次畫出∠β，則∠AOC=α+β，∠BOC=α+β.由此我們可以得知A的坐標是（1，0），B（cosα，sin a），C（cos（α+β），sin（α+β）），D（cosβ，-sinβ）.

為此，學(xué)生在解決這類三角變換的數(shù)學(xué)問題時，可以使用到以下的解題方法：

（1）利用變換來證實或轉(zhuǎn)換.在上述題干中，教師便可引導(dǎo)學(xué)生采用這種方法，如α=（α+β）-β;α=β-（β-α）等.這些變換在教師的講述下，學(xué)生會得到更加深刻的了解.接著教師再為學(xué)生引進其他的數(shù)學(xué)問題，讓他們通過使用變換的方法，進而得以有效解題.

（2）在解決該類問題時，公式需要正用、逆用以及變形使用.三角部分所涉及的公式眾多，這時就需要教師引導(dǎo)學(xué)生對多種公式進行正用、逆用或者變形使用，進一步增加問題考察的難度.

（3）公式與相關(guān)數(shù)學(xué)知識的綜合考察.在高中數(shù)學(xué)問題當中，三角部分的知識通常是和三角函數(shù)、正余弦定理等內(nèi)容有所關(guān)聯(lián).這就需要學(xué)生不斷扎實基礎(chǔ)知識，從中運用適當?shù)姆绞椒椒ê驼_的思考進行解題.

4 巧用“解析幾何”，解決數(shù)學(xué)問題

除了上述兩種數(shù)學(xué)問題類型之外，教師還要注重引導(dǎo)學(xué)生解決“數(shù)學(xué)幾何”問題，進一步培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)解題的基本技能和方法，以更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績.在“解析幾何”當中，我們要將坐標作為解題的橋梁，再將幾何問題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題，接著利用代數(shù)的運算，進而解得問題的結(jié)果，最后再對代數(shù)結(jié)果作出幾何解析.高中數(shù)學(xué)當中的應(yīng)用問題一直是學(xué)生所面臨的一個學(xué)習(xí)難點，而針對解析幾何的數(shù)學(xué)問題，因為其計算量大、涉及的范圍較廣，更是難上加難[3].

例如 某檢驗人員一般用直徑2cm和直徑1cm的標準圓柱，來檢測一個3cm直徑的圓柱，為確保質(zhì)量，有人提議再插入兩個同號的圓柱，請問這兩個圓柱的直徑是多少？

當教師帶領(lǐng)學(xué)生解決這類數(shù)學(xué)問題的時候，首先要讓學(xué)生注意幾個解題步驟：（1）閱題意;（2）構(gòu)建變量關(guān)系;（3）做出問題結(jié)論.

分析 學(xué)生在解決任何數(shù)學(xué)問題，讀懂題意是最重要的，題中未說怎樣使用直徑為2cm和1cm的圓柱來檢測3cm直徑的圓柱，之后“為確保質(zhì)量，提議再插入兩個同號圓柱”，則可以表明：直徑為2cm和1cm的圓柱剛好插入3cm直徑的圓柱內(nèi)部，進而起到保證質(zhì)量的作用.為此，我們就可以理清解題的思路，并進行數(shù)學(xué)解題.

解 設(shè)直徑為3、2、1圓柱的圓心分別是O、A、B，圓P、Q使它們和圓O內(nèi)切，與圓A、圓B外切，以構(gòu)建坐標系，設(shè)圓P的半徑為R，|PA|=1+r，|PO|=32-r，|PB|=12+r

所以|PA|+|PO|=1+r+32-r=52

橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和等于長軸長，

即點P在以A、O為焦點，長軸長為52的橢圓上，其方程16（X+14）225+2Y23=1①

同理，點P在以O(shè)、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，它的方程（X-12）2+4Y23=1②

解由①②組成的方程組為，

P（914，67），Q（914，- 67）

所以r=32 -|PO|=32 - （914）2+（67）2=37

最終得出圓柱的直徑為67.

5 結(jié)語

總之，在高中階段的數(shù)學(xué)解答過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生采用不同的方法，借助不同的數(shù)學(xué)思想，進而解決數(shù)學(xué)思想，最終使其形成基礎(chǔ)的解題技巧.

參考文獻：

[1]類成方.淺談高中數(shù)學(xué)系統(tǒng)思維的培養(yǎng)路徑——以人教版高中數(shù)學(xué)教材為例[J].新課程，2019，000（001）：118-118.

[2]程斌斌.例說巧用“教材旁白”的教學(xué)策略——以人教A版高中數(shù)學(xué)教材為例[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019，424（04）：37-38.

[3]丘麗娟，鐘世文.“問題解決”教學(xué)三部曲——以人教版一年級上冊數(shù)學(xué)教材為例[J].福建教育，2017，000（040）：53-54.