高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中函數(shù)思想的應(yīng)用

邵春燕

【摘 要】 在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師需指導(dǎo)學(xué)生有效應(yīng)用函數(shù)思想來解題，提升他們的解題能力.本文據(jù)此展開深入分析與探討，并列舉一些函數(shù)思想的應(yīng)用實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);解題教學(xué);函數(shù)思想

1 有效應(yīng)用函數(shù)思想解答集合問題

集合是高中數(shù)學(xué)課程中最為基礎(chǔ)的一部分，也是深入學(xué)習(xí)函數(shù)的前提，函數(shù)可以看作是兩個實(shí)數(shù)集合之間的映射，即為自變量集合和函數(shù)值集合，但這兩個集合之間的元素不是任意對應(yīng)關(guān)系，而是每個自變量值只能對應(yīng)到一個函數(shù)值.這表明集合問題的處理通常離不開函數(shù)思想的輔助，教師可指引學(xué)生恰當(dāng)使用函數(shù)思想解答集合問題，提高他們的解題效率.

例1 已知集合A={x丨x2-4x+3<0}，集合B={x丨x2-2x+m≤0，且x2-2nx+5≤0}，如果AB，那么實(shí)數(shù)m，n的取值范圍分別是什么？

圖1

解析 由于題目中出現(xiàn)的有不等式，還涉及到集合關(guān)系，如果學(xué)生采用常規(guī)思路解題過程較為復(fù)雜，容易出現(xiàn)錯誤，教師可提示他們運(yùn)用函數(shù)思想.具體解答過程如下：先把集合A化簡，得到A={x丨1<x<3}，設(shè)f（x）=x2-2x+m，g（x）=x2-2nx+5，B1={x丨x2-2x+m≤0}，B2={x丨x2-2nx+5≤0}，則B=B1∩B2，根據(jù)AB，得到AB1且AB2，即為區(qū)間（1，3）應(yīng)該分別被集合B1，B2對應(yīng)的區(qū)間所包含，據(jù)此畫出函數(shù)f（x）與g（x）的圖像，如圖1所示，則有f（1）≤0，f（3）≤0，且g（1）≤0，g（3）≤0，將相應(yīng)的值代入到題干所提供的式子中，通過解不等式組即可求出m與n的范圍，由此降低解題的難度.

2 有效應(yīng)用函數(shù)思想求解方程問題

函數(shù)和方程本身就有著一定的聯(lián)系，雖然初中數(shù)學(xué)教材中涉及到的這方面內(nèi)容較少，但是步入高中后，比較關(guān)注函數(shù)與方程之間的關(guān)系，甚至課本中專門設(shè)置有相關(guān)章節(jié)的內(nèi)容，以“二次函數(shù)與一元二次方程”為代表.因此，高中數(shù)學(xué)教師在日常解題教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有效應(yīng)用函數(shù)思想來求解方程問題，讓他們學(xué)會借助函數(shù)的圖像與性質(zhì)實(shí)現(xiàn)輕松解題.

例2 （1）求方程x6-6x4-x3+12x2-8=0實(shí)數(shù)根;（2）已知方程丨x丨=ax+1有一個負(fù)根，且沒有正根，那么a的取值范圍是什么？

解析 （1）中是高次方程，（2）中則是要一個含有絕對值的方程，這兩個方程均比較特殊，尤其是高次方程，學(xué)生看到以后往往會不知所措，不知道該如何解答，不由自主地產(chǎn)生畏難情緒，他們也不知道如何下手，而含絕對值的方程要進(jìn)行分類討論，同樣難度較大，不過，應(yīng)用函數(shù)思想這些難題就能夠迎刃而解.

解 （1）將原方程轉(zhuǎn)化成x6-6x4+12x2-8=x3，即為（x2-2）3=x3，設(shè)f（x）=x3，則方程是f（x2-2）=f（x），由于f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以x2-2=x，即為x2-2-x=0，解之得x1=-1，得x2=2，即為原方程的實(shí)數(shù)根是-1與2;（2）將看作是函數(shù)中的一個變量，根據(jù)已知方程可得a=丨x丨-1x=1—1x（x〉0）—1—1x（x〈0），畫出它的圖像如圖2所示，根據(jù)圖像能夠直接求出a≥1.

圖2

3 有效應(yīng)用函數(shù)思想解不等式問題

雖然函數(shù)和不等式是兩個性質(zhì)完全不一樣的知識結(jié)構(gòu)，但是在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，函數(shù)與不等式卻有著十分密切的關(guān)系，其中不等式的性質(zhì)是對函數(shù)單調(diào)性的反映.高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，可以引領(lǐng)學(xué)生有效運(yùn)用函數(shù)思想的觀點(diǎn)來分析不等式問題，主推他們掌握不等式的本質(zhì)特征，使其結(jié)合函數(shù)思想順利解決不等式的恒成立問題，以及最值問題.

例3 對任意x∈[-1，1]，f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值大于0恒成立，那么a的取值范圍是什么？

解析 教師要求學(xué)生直接基于函數(shù)思想來審題，發(fā)現(xiàn)本題目的本質(zhì)能夠概括成“在某一閉區(qū)間上有參數(shù)的二次函數(shù)大于0恒成立的問題”，然后讓他們利用分類討論思想把x∈[-1，1]根據(jù)對稱軸x=4-a2展開分類，分成1<4-a2，-1≤4-a2≤1，4-a2<-1，三大段，討論它在函數(shù)的遞增、遞減區(qū)間上f（x）值的情況，分別計算出a的取值范圍，綜合得出a的最終取值范圍a<1.由此以來，通過函數(shù)思想的有效應(yīng)用，學(xué)生在解題時不需要再討論Δ<0的情況，不僅能夠確保每種情況均不被遺漏掉，還能夠提高他們解題的精確度.

4 有效應(yīng)用函數(shù)思想處理數(shù)列問題

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)和高考中的一個核心內(nèi)容，課本中主要涉及到等差數(shù)列與等比數(shù)列兩類，從本質(zhì)上來看，數(shù)列屬于函數(shù)中的特殊產(chǎn)物，即當(dāng)函數(shù)的定義域是正整數(shù)集時，函數(shù)就變成數(shù)列.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，當(dāng)處理部分?jǐn)?shù)列問題時，特別是求數(shù)列的最值問題，教師可以提醒學(xué)生有效運(yùn)用函數(shù)思想，輔助他們形成最佳解題思路，從而輕松處理試題.

例4 已知函數(shù)f（x）=3x2+bx+1是偶函數(shù)，g（x）=5x+c是奇函數(shù)，正向數(shù)列an=（23）n-1，n∈N*，如果bn=2f（an）-g（an+1），那么數(shù)列bn中項(xiàng)的最大值與最小值分別是什么？

解析 根據(jù)題目中提供的已知信息可以得知f（x）=3x2+1，g（x）=5x，則bn=6an2-5an+1，n∈N*，即為bn=6（an-518）2+8354，由于an=（23）n-1是減函數(shù)，所以當(dāng)n=1，2，3，4時，an>518;當(dāng)n≥5，n∈N時，an<518，當(dāng)n=4時，bn=274243;當(dāng)n=5時，bn≈1.576，這表明b4<b5.又因?yàn)閍n=（23）n-1∈（0，1]，所以an=1，即為當(dāng)n=1時，bn的最大值是b1=143.綜上所述，數(shù)列bn中項(xiàng)的最小值是b4=274243，最大值是b1=143.反思：“數(shù)列是一類特殊的函數(shù)”在本道題目中體現(xiàn)的淋漓盡致，“特殊”是指自變量的取值范圍是自然數(shù)，數(shù)列bn能夠看成二次函數(shù)y=6（x-518）2+8354，所以數(shù)列bn的最大值和最小值能夠參考二次函數(shù)求最值的方法來獲得.

參考文獻(xiàn)：

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