時標上一些新的非線性Gronwall-Bellman積分不等式*

朱凡偉, 孟凡偉

(曲阜師范大學數學科學學院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

在20世紀80年代,Hilger創(chuàng)立了時標理論[1],以統(tǒng)一連續(xù)和離散分析. 此后越來越多的學者開始關注這一領域. 近年來,作為最基礎的學科之一,時標上的動力學方程也得到了廣泛的研究,并考慮了兩個自變量的非線性不等式[2]. Gronwall-Bellman不等式[3,4]在許多應用中被用來研究不同動力學方程的解的有界性、全局存在性、穩(wěn)定性等[5]. Pchpatte 不等式一直是一些研究人員討論的主題[6-8]. 不等式被用作研究時標上動力學方程定性性質的重要工具[9-11].

本文給出了一些基于Gronwall-Bellman不等式的動態(tài)不等式,并利用基本動態(tài)不等式建立了大部分結果,其不僅推廣了文獻 [12] 中研究的一些動態(tài)不等式,還統(tǒng)一了一些連續(xù)時間和相應的離散時間的情況.

本文的結構如下:第1節(jié)介紹了時標上微積分的一些基本定義和引理[13,14];第2節(jié)在任意時間尺度上建立了一些新的 Gronwall-Bellman 不等式;第3節(jié)舉例研究所得結果的應用.

1 預備知識

定義1假設是一個時標. 前跳算子σ:→定義為σ(t):=inf{s∈:s>t}, ?t∈.后跳算子 ρ:→同樣定義為 ρ(t):=sup{s∈:s

定義2 假設f:→是一個函數并且t∈k,將fΔ(t) 定義為一個數,只要它存在,其性質是:對任意ε>0,存在t的一個鄰域U=(t-δ,t+δ),對任意δ>0,使得

|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|s∈U,

稱fΔ(t) 為f在t處的Delta或Hilger導數.

注1如果=,那么fΔ即為前向差 Δf(Δf(t)=f(t+1)-f(t)); 如果=,那么fΔ即為通常的導數f′.

定理1假設f,g:→且t∈k,下列結論成立:

(ⅲ) 若f在t點是可微的,那么f(σ(t))=f(t)+μ(t)fΔ(t).

(ⅳ) 若f和g在t點都可微,那么fg滿足(fg)Δ(t)=fΔ(t)g(t)+f(σ(t))gΔ(t).

引理2[19]設u,v≥0 且p≥0,那么(u+v)p≤Kp(up+vp),其中Kp=1,0≤p≤1 或Kp=2p-1,p>1.

定義3R為所有回歸函數和rd-連續(xù)函數的集合, R+={p∈R:1+μ(t)p(t)>0,t∈}.

引理3[20]若p∈R 且 t∈0,那么指數函數ep(t,t0) 是下列初值問題的唯一解，

引理4[15]假設y,f∈Crd(,) 且p∈R+. 若yΔ(t)≤p(t)y(t)+f(t)，則

引理5[13](基本動態(tài)不等式) 設v(t) 是定義在k上的正函數,b(t) 和k(t) 是定義在k上的非負函數,并且b(t) 是回歸函數,α>0 且α≠1 是一個常數. 若

vΔ(t)≤b(t)v(t)+k(t)vα(t)

對所有的t∈k成立且滿足v1-α(t0)+(1-α)k(s)(e?b(σ(s),t0))1-αΔs>0,那么

對所有t∈k成立.

2 主要結果

在本節(jié)中,為了便于閱讀,假設t>t0,0=[t0,∞)∩k.

定理1 假設m,n,p,α,β,γ,q是非負常數且滿足γ≥n>0,γ≥m>0,γ≥α>0,γ≥β>0,γ,p,q>0.v,a,f,g,k,b,c∈Crd(0,R+) ,ρ∈(0,0) 且ρ(t)

(1)

其中t∈0.

(ⅰ) 若 0

(2)

其中

(3)

(4)

(5)

θ(t)=h1(t)+ρΔ(t)l1(ρ(t)).

(6)

(ⅱ)若 0

(7)

其中t2∈0滿足條件

(8)

此外,若(8)式對所有t∈0成立,顯然不等式 (7) 在t∈0上成立，其中

(9)

(10)

(11)

(ⅲ) 若 1

(12)

其中t3∈0滿足條件

(13)

此外,若(13)式對所有t∈0成立,顯然不等式 (12) 在t∈0成立,其中

(14)

(15)

(16)

證明設

可以得出

vγ(t)≤a(t)+z(t).

(17)

由于z(t) 是非負函數,通過(17)式和引理 1,得

(18)

情形1 若 0

(19)

(20)

由(18),(19)和(20)式,可以得出

其中h1(t),l1(t) 和L1(t) 被定義為(3),(4)和(5)式.任取一點T∈0,當t∈[t0,T]∩時，

將上式的右半部分定義為u(t),可以看出來

z(t)≤u(t),u(t0)=L1(T),

(21)

因此,

uΔ(t)=h1(t)z(t)+ρΔ(t)l1(ρ(t))z(ρ(t)).

此外，對任意t∈[t0,T]∩,有ρ(t)∈[t0,T]∩,通過(21)式得z(ρ(t))≤u(ρ(t))≤u(t),那么

uΔ(t)≤h1(t)u(t)+ρΔ(t)l1(ρ(t))u(t)=[h1(t)+ρΔ(t)l1(ρ(t))]u(t)=θ(t)u(t).

由引理2.8有

u(t)≤L1(T)eθ(t,t0).

(22)

設 (22)式中t=T,因為T是從0中任取的,接下來將T替換成t,由 (17) 和(21)式,得

情形2 若 0

(23)

由(18),(19)和(23)式,有

其中K1(t) 被定義為 (10)式. 任取一點T*∈0,當t∈[t0,T*]∩時，

將上述不等式的右半部分定義為χ1(t),可以看出來

z(t)≤χ1(t),χ1(t0)=K1(T*)，

(24)

因此

此外,對任意t∈[t0,t2]∩,有ρ(t)∈[t0,t2]∩. 由(24)式可得z(ρ(t))≤χ1(ρ(t))≤χ1(t),那么

其中A1(t),J1(t) 被定義為(9)和(11)式. 由引理 2.9得

(25)

設(25)式中t=T*,因為T*是從0中任選的,接下來將T*替換為t,由 (17)和(24)式,可得(7)式，其中

情形3 若 1

(26)

由(18),(20)和(26)式,可得

其中H1(t)被定義為(15)式,任取一點T◇∈0,當t∈[t0,T◇]∩時，

將上式的右半部分定義為G1(t),可以看出

z(t)≤G1(t),G(t0)=H1(T◇)，

(27)

因此

此外,對任意t∈[t0,t3]∩,有ρ(t)∈[t0,t3]∩，且由(27)式得z(ρ(t))≤G1(ρ(t))≤G1(t),那么

其中B1(t) 和Q1(t) 被定義為(14)式和(16)式.其余證明與情形2相同,此處省略. 這就完成了證明.

注1如果=,f(t)=g(t)=0,γ=1，定理1退化為文獻[12]中的定理 2.1. 如果a(t)=c,g=f,γ=m=0,b(t)=0,γ=p=1，定理1退化為文獻 [13] 中的定理 4.1.

定理2 假設m,n,p,q是非負常數且滿足q≥n>0,q≥m>0,p>0.v,f,b,a,c∈Crd(0,+)，

其中t∈0.

(ⅰ) 若0

其中

滿足所有的t∈0.

(ⅱ) 若1

(28)

其中t1∈0滿足條件

(29)

此外,若(29)式對所有t∈0成立,顯然不等式 (28) 在t∈0上成立，其中

證明設

(30)

由于z(t) 是非負函數,得出vq(t)≤a(t)+z(t).由引理1,得

(31)

將(31)式代入(30)式中,得

接下來需要討論p的范圍,其余的證明與定理 2.1 中方法相同,此處省略. 這就完成了證明.

注2如果p=q=1,m=0,a(t)=c， 定理2退化為文獻[13]中的定理 4.1. 如果=,f=0,p=n=1,a(t)=c， 定理2退化為文獻[22]中的定理 2.3. 如果=,f=0,q=1， 定理 2 退化為文獻 [18] 中的定理2.1.

3 應 用

給出上述結果的例子.

例1 某些非線性積分不等式在探索一些微分積分的定性性質方面發(fā)揮了作用. 考慮下列動態(tài)方程

(32)

滿足條件vq(t0)=c,c是常數，其中v∈Crd(0,+),F∈Crd(0×+×+,+) 和G∈Crd(0×+,+) 是有界的,且滿足

|F(t,M,N)|≤b(t)(|M|m+|N|)p,t∈0,

(33)

|G(t,W)|≤c(t)|W|n,0≤t<∞，

(34)

q≥n>0,q≥m>0,p>1.b,c∈Crd(0,+). 若?t∈0,

并且

(35)

(36)

證明對方程 (32) 兩邊從t0到t進行積分,得

再由(33)和(34)式可得

這是定理1的一種特殊形式 (當f=0,a(t)=c時),得到下列不等式

其中

上述不等式和假設(35)式,(36)式的逼近表明了(32)式的所有解在0上的有界性.