擴展的同宿檢驗法與(3+1)維廣義KP方程的非行波解*

鄭筱筱, 段風霜, 陳思遠, 張舒涵

(①曲阜師范大學數(shù)學科學學院,273165,山東省曲阜市;②吉林大學數(shù)學學院,130012,吉林省長春市)

0 引 言

隨著現(xiàn)代自然科學和工程技術的高速發(fā)展，各學科自身精確化的要求越來越高，在從實際問題建立數(shù)學模型的過程中，學者們對非線性問題進行簡單的局部線性模擬已不能滿足實際需求，所以模型化出來的非線性偏微分方程也由低階一維向高階高維發(fā)展.因此，高維非線性偏微分方程更具有一般性，更能真實地反映和描述自然界某些實際現(xiàn)象.而精確解可以深刻解釋物理模型、預測實際物理狀態(tài)的演化過程，也可用于檢驗數(shù)值計算結果的正確性和精確度等.

(3+1)維 Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程

uxxxy+3(uxuy)x+utx+uyt-uzz=0

(1)

描述了流體力學、等離子體物理、弱色散介質(zhì)中的孤子以及非線性波的動力學行為,也可描述具有弱非線性恢復力和頻散的小振幅長波水波模型，其中u=u(x,y,z,t) 為振幅波函數(shù).如果令y=x，方程 (1) 退化為經(jīng)典的 KP 方程.若令z=y=x，方程 (1) 退化為勢 KdV 方程.Ma 等[1-3]利用雙線性 B?cklund 變換方法、復合指數(shù)函數(shù)方法等研究了方程 (1) 的精確解形式.Wazwaz[4]運用簡化的 Hirota 方法建立了方程 (1) 的多孤子解.運用 Lie 對稱和奇異流形方法，Rasha等[5]討論了方程 (1) 的新精確解.Kumar等[6]借助 Lie 對稱方法構造了方程 (1) 豐富的群不變解，并通過數(shù)值模擬用三維圖形解釋了孤子解產(chǎn)生的物理意義.除此之外，Dubrovin等[7]研究了幾個廣義 KP 方程的色散激波形成.文獻[8,9]運用簡化的Hirota方法和Hirota雙線性形式研究了更廣義的(3+1)維 KP 方程的精確解.

近些年來，由于非行波解更能準確刻畫方程所描述的物理現(xiàn)象，越來越多的學者專注于研究高維非線性偏微分方程非行波解.Shang等[10,11]首次提出將擴展的同宿檢驗法與變量分離相結合，并分別用此方法研究了Calogero 方程和勢 YTSF 方程的非行波精確解.在文獻 [10,11] 的啟發(fā)下，Zheng 等[12,13]研究了(3+1)維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli 方程和(3+1)維變系數(shù) Date-Jimbo-Kashiwara-Miwa 的非行波解.

受上述文獻的啟發(fā)，本文主要將擴展的同宿檢驗法與加法和乘法形式的變量分離方法相結合，研究(3+1)維 KP方程的非行波解，并對所得到的形式解中的系數(shù)在不同數(shù)域上進行探討，由此得到方程 (1) 更多的精確非行波解.最后利用 Matlab 作圖分析所獲得的部分解的性質(zhì).

1 (3+1)維 KP 方程的精確非行波解

本節(jié)將擴展的同宿檢驗法與乘法和加法形式的變量分離方法相結合，研究(3+1)維 KP 方程 (1) 的非行波解.

根據(jù)方程 (1) 中的最高階導數(shù)項和非行波解的定義，假設方程 (1) 有如下形式的解

u(x,y,z,t)=φ(ξ,t)+q(y,t),

(2)

其中ξ=x+mz+θ(y,t)，m為常數(shù)，φ(ξ,t),q(y,t) 及θ(y,t) 為待定函數(shù).將形式解 (2) 代入方程 (1)，可得

θyφξξξξ+(3qy+θt+θtθy-m2)φξξ+6θyφξφξξ+(1+θy)φξt+θytφξ+qyt=0.

(3)

為了方便求解，本節(jié)需將(3)式轉化成雙線性形式.因此，令

3qy+θt+θtθy-m2=0.

(4)

由此可得，方程 (3) 化簡為

θyφξξξξ+6θyφξφξξ+(1+θy)φξt+θytφξ+qyt=0.

(5)

而且，由 (4) 式，可得

(6)

本節(jié)討論θ(y,t) 具有如下兩種形式.

1.1 和的變量分離形式

假設θ(y,t) 具有和的變量分離形式

θ(y,t)=f(t)+k(y),

(7)

其中f(t),k(y) 是待定的光滑函數(shù).將方程(7)代入(6)式，可得

(8)

為了簡化方程(5)，令f′(t)=常數(shù).因此，有f(t)=αt，其中α為常數(shù).由此，可得θyt=0，qyt=0.方程 (5) 化簡為

k′(y)φξξξξ+6k′(y)φξφξξ+(1+k′(y))φξt=0.

(9)

為了得到雙線性形式，我們通過引入一恰當?shù)淖兞刻鎿Q

(10)

將(9)式轉化成如下常系數(shù)偏微分方程

νξξξξ+6νξνξξ+νξη=0.

(11)

方程 (11) 關于ξ積分一次，并令積分常數(shù)為零，可以得到

(12)

為了求解方程 (12)，在文獻 [10-13] 的啟發(fā)下，通過引入一個非線性的函數(shù)變換

ν=2(lnφ)ξ,

(13)

將(12)式轉化成雙線性方程

(14)

其中φ(ξ,η)是一個待定的實函數(shù)，雙線性算子D定義如下

定理1.1若φ(ξ,η) 是雙線性方程 (14) 的解，則

為方程 (1) 的解，其中ξ=x+mz+k(y)+αt,m,α和c為常數(shù)，k(y) 為任意的連續(xù)可微函數(shù).

為此，通過研究方程 (14) 的解，進而獲得方程 (1) 的精確非行波解.根據(jù)擴展的同宿檢驗法，假設方程 (14) 有如下解

φ=k1cos(ζ1)+k2exp(ζ2)+exp(-ζ2),

(15)

其中ζi=aiξ+biη,i=1,2,k1,k2,a1,a2,b1和b2是待定常數(shù).將(15)式代入方程 (14)，可得到一個關于ai,bi和ki(i=1,2) 的非線性方程組

(16)

借助 Maple 數(shù)學軟件，可得方程 (1) 的精確非行波解.

情形1

(17)

結合 (17)、 (15)、 (13)、 (10)、 (7) 和 (2)式，可以得到方程 (1) 的解

(18)

其中

事實上，如果a2∈，則解 (18) 可表示成

(19)

(20)

其中

如果a2=ik3,k3∈,則解 (18) 可化為

(21)

(22)

其中

E1=sinh(ln(k2))+isin(2b1),

E2=sinh(-ln(k2))-isin(2b1),

如果a2=k4+ik3，k3,k4∈，且都不為零，則解 (18) 可表示為

(23)

(24)

其中

情形2

(25)

結合 (25)、 (15)、 (13)、 (10)、 (7) 和 (2)式，可得到方程 (1) 的解

(26)

其中

事實上，解 (26) 可以化簡為

(27)

(28)

(29)

其中K=k1+k2+1，以及

F5=k2cos2(ζ1)+(k2-1)2sin2(ζ1),

E6=i[Ksinh(D1)±(1-k2)cosh(D1)],

F6=Kcosh(D1)±(1-k2)sinh(D1),

E7=[k2-(1-k2)2]sin(C)cos(C)+i[(k2+(1-k2)2)sinh(D)cosh(D)±

K(1-k2)cosh(2D)],

F7=k2(sinh2(D)+cos2(C))±K(1-k2)sinh(2D)+(1-k2)2(sinh2(D)+sin2(C)),

(30)

(31)

(32)

情形3

(33)

結合(33)、(15)、(13)、(10)、(7)和(2)式，可得到方程 (1) 的解

(34)

其中

事實上，解 (34) 可以表示為

(35)

(36)

(37)

其中

E8=[(k1+1)2-1]sin(ζ1)cos(ζ1)±i(k1+1),

F8=(k1+1)2cos2(ζ1)+sin2(ζ1),

E9=i[(k1+1)sinh(D1)±cosh(D1)],

F9=(k1+1)cosh(D1)±sinh(D1),

E10=[(k1+1)2-1]sin(C)cos(C)+

i[(k1+1)2sinh(D)cosh(D)±(k1+1)cosh(2D)+sinh(D)cosh(D)],

F10=(k1+1)2[cos2(C)+sinh2(D)]±(k1+1)sinh(2D)+sin2(C)+sinh2(D),

C,D和D1由 (30)～(32)式給出.

情形4

(38)

結合(38)、(15)、(13)、(10)、(7)和(2)式，可得到方程(1)的解

(39)

其中

事實上，解 (39) 可以分如下情況：

(40)

(41)

(42)

其中

E11=k1cos(J1)+1-ik1sin(J1),

F11=(k1+cos(J1))2+sin2(J1),

E12=k1exp(-I)cos(J)+exp(-2I)-ik1exp(-I)sin(J),

F12=(k1+exp(-I)cos(J))2+exp(-2I)sin2(J),

在和的分離變量形式下，通過分析a1在不同數(shù)域中的取值，我們得到 15 種精確非行波解，其中u1,u13是類扭結型解，u2是類奇性孤波解，u8,u11是類扭結型解或者類奇性孤波解，u7,u10,u14可看作類周期孤波解，u5,u6,u9,u12,u15是類呼吸扭結解. 下面給出4種不同類型解的三維圖像.

圖1 u1,a2=α=k2=m=1,c=0,x=z=0,k(y)=y. 圖2 u2,a2=α=m=1,k2=-1,c=0,x=z=0,k(y)=y.

圖3 u5,k2=k3=k4=m=α=1,c=0,x=z=0,k(y)=y. 圖4 u7,a1=k1=m=α=1,k2=2,c=0,x=z=0,k(y)=y.

注1.2在精確非行波解u1-u15中，k(y) 是任意的連續(xù)可微函數(shù).當任意函數(shù)k(y) 取常數(shù)時，可得到方程 (1) 豐富的精確行波解.當任意函數(shù)k(y) 取確定的函數(shù)時，可得到方程 (1) 豐富的精確非行波解.

1.2 乘積變量分離形式

假設θ(y,t) 具有乘法形式的變量分離

θ(y,t)=f(t)k(y),

(43)

其中f(t),k(y) 為待定的光滑函數(shù).將(43)式代入(6)式，可以得到

(44)

為了簡化(5)式，將其轉化成方程 (9) 形式，我們需要θyt=0,qyt=0.由(44)式可得f′(t)=0，即f(t)=常數(shù).此時，(43)式轉化為θ(y)=k(y). 這種情況可以看做(7)式的特殊情形(α=0).按照和的分離變量形式相同的推導過程，也可以得到 15種精確非行波解.

2 結 論

在本文中，首先利用加法和乘法兩種形式的變量分離的方法，將(3+1)維KP方程轉化為雙線性方程；進而，利用擴展的同宿檢驗法，獲得了類扭結型解、類奇性孤波解、類周期孤波解、類呼吸扭結解等15種精確解形式，并借助 Matlab 給出了4種不同類型解的三維圖像.擴展的同宿檢驗法是求解非線性偏微分方程精確解非常有效的方法，但直接利用此方法，僅能獲得4種形式的解.本文中，將擴展的同宿檢驗法與變量分離方法相結合，獲得了 15 種精確非行波解.本工作不是單純的運用擴展的同宿檢驗法，而是將此方法與分離變量方法相結合，推廣并完善了擴展的同宿檢驗法的應用.與文獻[1-6]相對比，我們采用的方法不同，得到了更多類型的非行波解，在特殊情形下，還可以獲得豐富的行波解，完善了(3+1)維 KP方程的解類型.